Fiche de mathématiques
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Bac ES-L Métropole 2019

Obligatoire et Spécialité

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Durée : 3 heures

Coefficients

ES : 5 / L : 4 / ES spé : 7

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 : Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité ou candidats de L

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5 points

exercice 2 : Candidats de ES ayant suivi l'enseigenemnt de spécialité

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5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Commun à tous les candidats

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Bac ES-L obligatoire et spécialité Métropole 2019

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5 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 1\ :\ }\text{La probabilité de }\overline{R}\text{ sachant }S\text{ est 0,06}}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse }}}

Considérons l'arbre de probabilité pondéré suivant :
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La probabilité de \overline{R}  sachant S  se calcule par  P_S(\overline{R})=\dfrac{\blue{P(\overline{R}\cap S)}}{\red{P(S)}}.

\text{Or }\ P(\overline{R}\cap S)=P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S) \\\phantom{\text{Or }\ P(\overline{R}\cap S)}=0,3\times0,2 \\\phantom{\text{Or }\ P(\overline{R}\cap S)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{\blue{P(\overline{R}\cap S)=0,06}}

De plus, en utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(S)= P(R\cap S)+P(\overline{R}\cap S) \\\phantom{P(S)}=P(R)\times P_R(S)+0,06\\\phantom{P(S)}=0,7\times0,4+0,06\\\phantom{P(S)}=0,34 \\\\\Longrightarrow\boxed{\red{P(S)=0,34}}

\text{D'où }\ P_S(\overline{R})=\dfrac{\blue{P(\overline{R}\cap S)}}{\red{P(S)}}=\dfrac{0,06}{0,34} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_S(\overline{R})=\dfrac{0,06}{0,34}\neq0,06}
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.


{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 2\ :\ }\text{La valeur de }k\text{ est 9}}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse }}}
Si une variable aléatoire suit la loi uniforme sur [a ; b], alors son espérance est égale à  \dfrac{a+b}{2}.
Soit X  une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [k ; 18].
\text{Dès lors, }\ E(X)= 12\Longleftrightarrow\overset{.}{\dfrac{k+18}{2}=12} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{\text{Dès lors, }\ E(X)= 12}\Longleftrightarrow k+18=24} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{\text{Dès lors, }\ E(X)= 12}\Longleftrightarrow \boxed{k=6\neq9}}
Par conséquent, l'affirmation 2 est fausse.


{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 3\ :\ }\dfrac{1}{\text{e}}\text{ est l'unique solution de cette équation}}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie }}}
\text{Soit l'équation } \ln(x^2)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\text{e}}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5 \\\\\text{Conditions :}\left\lbrace\begin{matrix}x^2>0\\\\\dfrac{x^5}{\text{e}}>0\\\\2x>0\end{matrix}\right.\ \ \Longleftrightarrow\ \ \boxed{x>0}

\ln(x^2)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\text{e}}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5\Longleftrightarrow2\ln(x)-\left(\overset{}{5\ln(x)-\ln(\text{e})}\right)+\ln(2)=\ln(2)+\ln(x)+5 \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow2\ln(x)-5\ln(x)+\ln(\text{e})=\ln(x)+5 \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow\overset{\frac{}{}}{-4\ln(x)=5-\ln(\text{e})} \\\phantom{\ln(x^2)-\ln\left(\dfrac{x^5}{\text{e}}\right)+\ln(2)=\ln(2x)+5}\Longleftrightarrow-4\ln(x)=5-1

                                                                                            \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow-4\ln(x)=4 \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow\overset{\frac{}{}}{\ln(x)=-1} \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow \overset{\frac{}{}}{x=\text{e}^{-1}} \\\phantom{...........................................................}\Longleftrightarrow \overset{\frac{}{}}{\boxed{x=\dfrac{1}{\text{e}}}}
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.


{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 4\ :\ }\text{La courbe représentative }C_f \text{ de la fonction }f\text{ admet une et une seule}}}\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \blue{\mathbf{\text{ tangente parallèle à l'axe des abscisses}}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse }}}
D'une part, la fonction dérivée f'  est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [0 ; 5].
f' (0) = 30 > 0 et f' (5) = -5 < 0.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f' (x ) = 0 admet une solution unique x 1 sur l'intervalle [0 ; 5].
D'où la courbe Cf  admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point de coordonnées (x 1 ; f (x 1)).

D'autre part, la fonction dérivée f' est continue et strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 15].
f' (5) = -5 < 0 et f' (15) = 20 > 0.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f' (x ) = 0 admet une solution unique x 2 sur l'intervalle [5 ; 15].
D'où la courbe Cf  admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point de coordonnées (x 2 ; f (x 2)).

Nous en déduisons que la courbe Cf  admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses.
Par conséquent, l'affirmation 4 est fausse.


{\red{\text{5. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 5\ :\ }\text{La fonction }f\text{ est convexe sur [5 ; 15]}}}\longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie }}}
Le tableau de variations de la fonction dérivée f'  nous indique que f'  est croissante sur l'intervalle [5; 15].
D'où la fonction f  est convexe sur cet intervalle [5 ; 15].
Par conséquent, l'affirmation 5 est vraie.

5 points

exercice 2 : Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de
                                spécialité ou candidats de L

Pour tout entier naturel n , nous notons un  le nombre de pommiers par hectare l'année (2018 + n ).
Nous avons ainsi u 0 = 300.

Une diminution de 4 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 - 0,04 = 0,96.

1. a)  Le nombre u n +1 de pommiers par hectare l'année 2018 + (n +1) se calcule comme suit :
d'abord une diminution de 4 % du nombre un  de pommiers , ce qui revient à calculer 0,96 multiplie un
ensuite une augmentation fixe de 22 nouveaux pommiers, ce qui revient à calculer 0,96 multiplie un + 22.
D'où pour tout entier naturel n ,  \boxed{u_{n+1}=0,96 u_n+22.}

1. b)  Le rang correspondant à l'année 2020 est n  = 2.

            u_0=300\\\\u_1=0,96\times u_0+22\\\phantom{u_1}=0,96\times300+22\\\phantom{u_1}=310  \\\\ u_2=0,96\times u_1+22\\\phantom{u_2}=0,96\times310+22\\\phantom{u_2}=319,6 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2\approx320}
D'où, en 2020, il y aura 320 pommiers à l'hectare.

2. a)  Algorithme complété :

            \begin{array}{|c|}\hline N\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\U\longleftarrow300\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }U\,{\red{\le400}}\ \ \text{faire}\ \ \ \ \\N\longleftarrow N+1\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ U\longleftarrow\,{\red{0,96\times U+22}}\\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

2. b)  L'exécution de l'algorithme est retranscrit dans le tableau suivant (les valeurs de U  sont arrondies au dixième):

               \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline\text{Test } U\le400&\cellcolor{grey}&\text{vrai}&\text{vrai}& \text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}\\\hline \text{Valeur de } U&300&310&319,6&328,8&337,7&346,2&354,3 \\\hline \text{Valeur de } N&\ \ \ \ 0\ \ \ &\ \ \ 1\ \ \ \ &2&3&4&5&6\\\hline \end{array} \\\\\\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Test } U\le400&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}&\text{vrai}& \cellcolor{red} \text{FAUX}\\\hline \text{Valeur de } U&362,1&369,7&376,9&383,8&390,4&396,8&\cellcolor{red}402,9 \\\hline\text{Valeur de }  N&7&8&9&10&11&12&13\cellcolor{green}\\\hline \end{array}

La valeur de la variable N à la fin de l'exécution de l'algorithme est N = 13.

3.  Pour tout entier naturel n , nous posons : vn  = un  - 550.

3. a)  Montrons que la suite (vn ) est une suite géométrique.

v_{n+1}=u_{n+1}-550 \\\phantom{v_{n+1}}=(0,96\times u_{n}+22)-550 \\\phantom{v_{n+1}}=0,96\times u_{n}-528 \\\phantom{v_{n+1}}=0,96\times u_{n}-0,96\times550 \\\phantom{v_{n+1}}=0,96\times (u_{n}-550) \\\phantom{v_{n+1}}=0,96\times v_{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,96\times v_{n}} \\\\\text{Remarque :}\ v_0=u_0-550=300-550\Longrightarrow \boxed{v_0=-250}
Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = 0,96 dont le premier terme
est v 0 = -250.


3. b)  Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{v_n=-250\times0,96^{n}}}

\left\lbrace\begin{matrix}v_{n}=u_{n}-550\ \ \ \ \ \ \\v_n=-250\times0,96^n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}u_n=550+v_n\ \ \ \ \ \ \\v_n=-250\times0,96^n\end{matrix}\right. \\\\\Longrightarrow\boxed{ u_n=550-250\times0,96^n}

3. c)  Le rang correspondant à l'année 2025 est n  = 7 car 2025 = 2018 + 7.
D'où  u_7=550-250\times0,96^7\Longrightarrow\overset{.}{\boxed{u_7\approx362}\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})}
Nous estimons donc qu'en 2025, le nombre de pommiers à l'hectare s'élèvera à 362.
Puisque l'exploitation de Laurence comprend 14 hectares, le nombre de pommiers de l'exploitation de Laurence en 2025 peut être estimé à 14 multiplie362, soit à 5068 pommiers.

3. d)  Résolvons dans l'ensemble N l'inéquation un  > 400.
\overset{.}{u_n>400\Longleftrightarrow550-250\times0,96^n>400} \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow -250\times0,96^n>-150 \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow 0,96^n<\dfrac{-150}{-250} \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow 0,96^n<0,6 \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow \ln(0,96^n)<\ln(0,6) \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow n\times\ln(0,96)<\ln(0,6) \\\\\phantom{u_n>400}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,96)}\ \ \ \ (\text{changement de sens de l'inégalité car }\ln(0,96)<0) \\\\\text{Or }\dfrac{\ln(0,6)}{\ln(0,96)}\approx12,51
Puisque n  est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 13.
Nous retrouvons donc le résultat obtenu à la question 2. b).

5 points

exercice 2 : Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a)  Graphe probabiliste représentant la situation :
            
Bac ES-L obligatoire et spécialité Métropole 2019 : image 16


1. b)  La matrice de transition M  du graphe probabiliste dans l'ordre D-R est  \boxed{M=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}}

2. a)  Le premier jour, Julie emprunte la voie rapide.
Si pour tout entier naturel n  non nul, nous notons  P_n=\begin{pmatrix}d_n & r_n\end{pmatrix}  la matrice exprimant l'état du n ième jour où dn  désigne la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le n ième  jour et rn  la probabilité que Julie emprunte la voie rapide le n ième  jour, alors  \boxed{P_1=\begin{pmatrix}d_1 & r_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}}.

2. b)   Calculons M 2.

M^2=\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix} \\\\\phantom{M^2}=\begin{pmatrix}0,8\times0,8+0,2\times0,4&0,8\times0,2+0,2\times0,6\\0,4\times0,8+0,6\times0,4&0,4\times0,2+0,6\times0,6\end{pmatrix} \\\\\phantom{M^2}=\begin{pmatrix}0,64+0,08&0,16+0,12\\0,32+0,24&0,08+0,36\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{M^2=\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44 \end{pmatrix}}

La matrice exprimant l'état du 3ième jour est P 3.

P_{3}=P_1\times M^{2}\\\phantom{P_{3}}=\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,72&0,28\\0,56&0,44\end{pmatrix}\\\\\phantom{P_{3}}=\begin{pmatrix}0\times0,72+1\times0,56 & 0\times0,28+1\times0,44\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\boxed{P_{3}=\begin{pmatrix}0,56 &{\red{0,44}}\end{pmatrix}}
D'où, la probabilité que Julie emprunte les routes départementales le 3ième jour est égale à 0,44.

{\red{3. \text{ a)}}}\ P_{n+1}=P_n\times M\\\phantom{{\red{3. \text{ a)}}}\ P_{n+1}}=\begin{pmatrix}d_n&r_n\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,8&0,2\\0,4&0,6\end{pmatrix}\\\\\phantom{{\red{3. \text{ a)}}}\ P_{n+1}}=\begin{pmatrix}0,8\times d_n+0,4\times r_n & 0,2\times d_n+0,6\times r_n\end{pmatrix}\\\\\Longrightarrow\begin{pmatrix}d_{n+1}&r_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,8d_n+0,4r_n&0,2d_n+0,6r_n\end{pmatrix} \\\\\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}d_{n+1}=0,8d_n+0,4r_n\\r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n\end{matrix}\right.}

3. b)  L'algorithme 1 ne convient pas.
En effet, dans la ligne  \overset{.}{''D\longleftarrow 0,8D+0,4R\,''} , la valeur de la variable D est modifiée.
La nouvelle valeur de cette variable D  ne convient donc pas pour la ligne  \overset{.}{''R\longleftarrow 0,2D+0,6R\,''} .
L'algorithme 2 ne convient pas.
En effet, à l'issue de cet algorithme sont d 4 et r 4.
Donc, seul l'algorithme 3 convient.

{\red{4. }}\ r_{n+1}=0,2d_n+0,6r_n \\\phantom{{\red{4. }}\ r_{n+1}}=0,2(1-r_n)+0,6r_n \\\phantom{{\red{4. }}\ r_{n+1}}=0,2-0,2r_n+0,6r_n \\\phantom{{\red{4. }}\ r_{n+1}}=0,2+0,4r_n \\\\\Longrightarrow\boxed{r_{n+1}=0,4r_n+0,2}

5.  Soit la suite (vn  ) définie  v_n=r_n-\dfrac{1}{3}\ \ \ (n\in\N^*)

5. a)   Montrons que la suite (vn  ) est géométrique.

v_{n+1}=r_{n+1}-\dfrac{1}{3} \\\phantom{v_{n+1}}=(0,4 r_n+0,2)-\dfrac{1}{3} \\\\\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{5}\,r_n+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{5}\,r_n+\dfrac{3-5}{15} =\dfrac{2}{5}\,r_n-\dfrac{2}{15} \\\\\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{5}\,r_n-\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{5}\,(r_n-\dfrac{1}{3}) \\\\\phantom{v_{n+1}}=\dfrac{2}{5}\,v_n=0,4v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=0,4\times v_n} \\\\\text{N. B. :}\ v_1=r_1-\dfrac{1}{3}=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}\Longrightarrow\boxed{v_1=\dfrac{2}{3}}
Par conséquent, la suite (vn  ) est une suite géométrique de raison q = 0,4 dont le premier terme est  v_1=\dfrac{2}{3}.

5. b)   Le terme général de la suite (vn  ) est donné par v_n=v_1\times q^{n-1}.
Donc \overset{.}{\boxed{v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}}}

De plus,

\left\lbrace\begin{matrix}v_{n}=r_{n}-\dfrac{1}{3}\ \ \ \ \ \\\\v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}r_{n}=v_{n}+\dfrac{1}{3}\ \ \ \ \ \\\\v_n=\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}

r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}\Longleftrightarrow r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^n\times0,4^{-1} \\\\\phantom{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}\Longleftrightarrow r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^n\times\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} \\\\\phantom{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}\Longleftrightarrow r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^n\times\dfrac{5}{2} \\\\\phantom{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}\Longleftrightarrow r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{\cancel2}{3}\times\dfrac{5}{\cancel2}\times 0,4^n \\\\\phantom{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\times 0,4^{n-1}}\Longleftrightarrow \boxed{r_{n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times 0,4^n}

{\red{5.\ \text{c)}}}\ \ 0<0,4<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0,4^{n}=0\\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,4<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{5}{3}\times0,4^{n})=0 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}}\ \ 0<0,4<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{3}\times0,4^{n})=\dfrac{1}{3} \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{d.}}\ \ 0<0,8<1}}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}r_n=\dfrac{1}{3}}
A long terme, nous pouvons prévoir que Julie empruntera la voie rapide 1 fois sur 3.

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Partie A

La variable aléatoire D  soit la loi normale d'espérance mu = 15,5 et d'écart-type sigma = 6.

1.  Nous devons déterminer P (D  < 8).
Nous savons que  \overset{.}{P(D\le\mu)=0,5} , soit que  \overset{.}{\boxed{P(D\le15,5)=0,5.}}
\text{Dès lors, }P(D<8)=P(D\le15,5)-P(8\le D\le15,5) \\\phantom{\text{Dès lors, }P(D<8)}\approx0,5-0,39\\\phantom{\text{Dès lors, }P(D<8)}\approx0,11 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(D<8)\approx0,11}
Par conséquent, la probabilité qu'il y ait pénurie d'eau est environ égale à 0,11.

2.  Nous devons déterminer P (8 infegal D  infegal 26).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : P (8 infegal D  infegal 26) environegal 0,85.
Par conséquent, la probabilité qu'il n'y ait pas de vigilance particulière est environ égale à 0,85.

3.  Nous devons déterminer P (3,5 infegal D  infegal 27,5).
Nous savons que si D  suit la loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma,
alors \overset{.}{P(\mu-2\sigma\le D\le\mu+2\sigma)\approx0,954.}

\text{Dès lors, }\ P(3,5\le D \le27,5)=P(15,5-2\times6\le D\le15,5+2\times6) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(3,5\le D \le27,5)}=P(\ \mu\ \ \ -\ 2\sigma\ \ \ \le D\le\ \mu\ \ +\ 2\sigma) \\\phantom{\text{Dès lors, }\ P(3,5\le D \le27,5)}\approx0,954 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(3,5\le D \le27,5)\approx0,95}

Partie B

1.  Nous répétons 10 fois la même expérience aléatoire.
Tous les tirages de relevés sont identiques et indépendants.
Chaque expérience possède exactement deux issues :
 S : "le relevé a été exécuté par l'équipe de Sébastien" dont la probabilité est p  = 0,25.
  \overline{S}  "le relevé n'a pas été exécuté par l'équipe de Sébastien" dont la probabilité est 1 - p = 0,75.
Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de relevés effectués par l'équipe de Sébastien parmi les 10 relevés, alors X suit la loi binomiale de paramètres n  = 10 et p  = 0,25.

2.  Nous devons calculer P (X  = 4).

P(X=4)=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\times0,25^{4}\times(1-0,25)^{10-4} \\\phantom{P(X=4)}=\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}\times0,25^{4}\times0,75^{6} \\\phantom{P(X=30)}\approx0,145998 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=4)\approx0,15}

D'où la probabilité que 4 relevés exactement soient effectués par l'équipe de Sébastien est environ égale à 0,15 (valeur arrondie au centième).

2.  Nous devons calculer P (X  supegal 2).

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

P(X\ge2)=1-P(X<2) \\\phantom{P(X\ge2)}=1-P(X\le1) \\\phantom{P(X\ge2)}\approx1-0,24402523 \\\phantom{P(X\ge2)}\approx0,75597477 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge2)\approx0,76}
Par conséquent, la probabilité qu'au moins 2 relevés soient effectués par l'équipe de Sébastien est environ égale à 0,76 (valeur arrondie au centième).

Partie C

Un intervalle de confiance au niveau de confiance à 95% de la proportion de relevés de qualité "satisfaisante" dans un échantillon de taille n   est de la forme   \overset{.}{[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]}   où f est la fréquence observée.
L'amplitude de cet intervalle est  (f+\dfrac{1}{\sqrt{n}})-(f-\dfrac{1}{\sqrt{n}})=f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}-f+\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\boxed{\dfrac{2}{\sqrt{n}}}
Cette amplitude doit être inférieure à 0,1.

\text{Donc }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1\Longleftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{n}}>\dfrac{1}{10} \\\\\phantom{\text{Donc }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1}\Longleftrightarrow\dfrac{\sqrt{n}}{2}>10 \\\\\phantom{\text{Donc }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1}\Longleftrightarrow\sqrt{n}>20 \\\phantom{\text{Donc }\ \dfrac{2}{\sqrt{n}}<0,1}\Longleftrightarrow \boxed{n>400}

Par conséquent, il faudra effectuer au minimum 400 relevés pour obtenir un intervalle au niveau de confiance de 95 % dont l'amplitude est inférieure à 0,1.

5 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

Soit  f(x)=70+(14x+42)\text{e}^{-\frac{x}{5}}\ \ \ \ \text{avec }x\in[0\,;60]

Partie A

1.  Le graphique ci-dessous nous montre que les points de coordonnées (0 ; 112) et (60 ; 70) semblent appartenir à la courbe Cf .
Nous en déduisons que selon la précision autorisée, f (0) = 112 et f (60) = 70.

Bac ES-L obligatoire et spécialité Métropole 2019 : image 17


2.  D'après l'énoncé, nous admettons que le point A de Cf  d'abscisse 7 est un point d'inflexion de Cf .
Par conséquent, f'' (7) = 0.

3. a)  On considère la surface située entre l'axe des abscisses, la courbe Cf , et les droites d'équation x  = 0
et x  = 60.
Cette surface est hachurée en lignes obliques sur le dessin ci-dessus.

3. b)  Cette surface hachurée contient le rectangle représenté en bleu dont les dimensions sont 60 et 70.
L'aire de ce rectangle est égale à 60 multiplie 70 = 4200 unités d'aire.
Par conséquent, l'aire de la surface hachurée est supérieure à 3800 unités d'aire.
L'estimation de l'ébéniste n'est donc pas correcte.

Partie B

1.  Calcul de f'  (x ).

f'(x)=70'+[(14x+42)'\times\text{e}^{-\frac{x}{5}}+(14x+42)\times\left(\text{e}^{-\frac{x}{5}})']
             \\\phantom{f'(x)}=0+14\times\text{e}^{-\frac{x}{5}}+(14x+42)\times (-\dfrac{x}{5})'\times\text{e}^{-\frac{x}{5}}  \\\phantom{f'(x)}=14\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}+(14x+42)\times (-\dfrac{1}{5})\times\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\phantom{f'(x)}=14\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}-\dfrac{1}{5}(14x+42)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\\\phantom{f'(x)}=[14 -\dfrac{14x+42}{5}]\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} =\dfrac{70-14x-42}{5}\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}  =\dfrac{-14x+28}{5}\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}  \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{1}{5}(-14x+28)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}}

2. a)  Etudions le signe de f' (x ) sur l'intervalle [0 ; 60].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) sera le signe de  \dfrac{1}{5}(-14x+28) , soit le signe de -14x  + 28.

\begin{matrix}-14x+28=0\Longleftrightarrow 14x=28 \\\phantom{-14x+28}\Longleftrightarrow x=2\end{matrix} \ \ \begin{matrix}|\\|\end{matrix} \begin{matrix}\ -14x+28<0\Longleftrightarrow 14x>28 \\\phantom{-14x+28...}\Longleftrightarrow x>2\end{matrix} \ \ \begin{matrix}|\\|\end{matrix} \begin{matrix}\ -14x+28>0\Longleftrightarrow 14x<28 \\\phantom{-14x+28...}\Longleftrightarrow x<2\end{matrix}
D'où le tableau de signes de f' (x ) sur [0 ; 60] :

          \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&2&&60\\\hline -14x+28&&+&0&-&\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline \end{array}

2. b)  Nous en déduisons le tableau de variations de f  sur [0 ; 60]

\underline{\text{Calculs préliminaires}} \\f(0) =70+(14\times0+42)\text{e}^{0}= 70+42=112 \\f(2)=70+(14\times2+42)\text{e}^{-\frac{2}{5}}=70+70\text{e}^{-\frac{2}{5}}\approx117 \\f(60)=70+(14\times60+42)\text{e}^{-\frac{60}{5}}=70+882\text{e}^{-12}\approx70 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\ \text{sur [0 ; 60]}} \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&0&&2&&60\\\hline f'(x)&&+&0&-&\\\hline&&&&&&&&&\approx117&&& f(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&112&&&&\approx70&&&&&&\\\hline \end{array}

3.  Selon le logiciel de calcul formel, nous obtenons l'expression de la dérivée seconde de la fonction f .

f''(x)=14\text{e}^{-\frac{1}{5}x}\times\dfrac{x-7}{25}

La convexité de la fonction f  est donnée par le signe de la dérive seconde.

Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, le signe de f' (x ) sera le signe de 14\times\dfrac{x-7}{25} , soit le signe de x  - 7.

x - 7 < 0 equivaut x < 7.
x - 7 = 0 equivaut x = 7.
x - 7 > 0 equivaut x > 7.

D'où le tableau de signes de f''  (x ) et la convexité de la fonction f   sur l'intervalle [0 ; 60].

                         \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&&x&0&&7&&60\\&&&&& \\\hline x-7&&-&0&+&\\\hline&&&&&& f''(x)&&-&0&+&\\&&&&&\\\hline&&&&&&\text{Convexité de }f&&f\text{est concave}&&f\text{est convexe}&\\&&&&&\\\hline \end{array}

Par conséquent, f  est concave sur l'intervalle [0 ; 7] et est convexe sur l'intervalle [7 ; 60].

{\red{4.\ }}\text{ Soit }\left\lbrace\begin{matrix}g(x)=(14x+42)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}\ \ \ \\G(x)=(-70x-560)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \end{matrix}\right. \ \ \ \ \ \ \text{avec }x\in[0\, ; 60]

4. a)  La fonction G  est dérivable sur l'intervalle [0 ; 60] comme produit de deux fonctions dérivables sur [0 ; 60].

G'(x)=(-70x-560)'\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} +(-70x-560)\times\,(\text{e}^{-\frac{x}{5}} )' \\\phantom{G'(x)}=(-70)\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} +(-70x-560)\times(-\dfrac{x}{5} )'\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\phantom{G'(x)}=-70\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} +(-70x-560)\times(-\dfrac{1}{5} )\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\phantom{G'(x)}=(-70 +14x+112)\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\phantom{G'(x)}=(14x+42)\times\,\text{e}^{-\frac{x}{5}} \\\phantom{G'(x)}=g(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{G'(x)=g(x)\ \ \ \ \text{où }x\in[0\ ;60]}
Nous en déduisons que la fonction G  est une primitive de la fonction g  sur l'intervalle [0 ; 60].

4. b)  Pour tout réel x  dans l'intervalle [0 ; 60], f (x ) = 70 + g (x ).

Dès lors, une primitive de la fonction f  est la fonction F  définie par F (x ) = 70x  + G (x ), soit  F(x)=70 x +(-70x-560)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}.

{\red{4.\ \text{c) }}}\ \int\limits_0^{60}f(x)\,dx=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_{0}^{60}=\left[\overset{}{70 x +(-70x-560)\,\text{e}^{-\frac{x}{5}}}\right]\limits_{0}^{60} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c) }}}\ \int\limits_0^{60}f(x)\,dx}=\left[\overset{}{70 \times60 +(-70\times60-560)\,\text{e}^{-\frac{60}{5}}}\right]-\left[\overset{}{70 \times0 +(-70\times0-560)\,\text{e}^{0}}\right] \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c) }}}\ \int\limits_0^{60}f(x)\,dx}=\left[\overset{}{4200 -4760\,\text{e}^{-12}}\right]-\left[\overset{}{-560\times1}\right] \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c) }}}\ \int\limits_0^{60}f(x)\,dx}=4200 -4760\,\text{e}^{-12}+560=4760 -4760\,\text{e}^{-12} \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_0^{60}f(x)\,dx=4760 -4760\,\text{e}^{-12}\approx4760\ \text{unités d'aire.}}

Partie C

Si le pot entier de vernis peut couvrir 10 m², alors un quart de pot pourra couvrir  \dfrac{1}{4}\times10 = 2,5\ \text{m}^2.

L'ébéniste souhaite vernir les deux faces de chaque accoudoir (soit une aire de 4 multiplie 4760 cm2) ainsi que le dossier du fauteuil dont l'aire est égale à 5400 cm2.

L'aire totale à couvrir est égale à 4 multiplie 4760 cm2 + 5400 cm2= 24440 cm2, soit 2,444 m2.

Par conséquent, l'ébéniste a suffisamment de vernis car 2,5 > 2,444.
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