Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques S 2019 Obligatoire et spécialité

Antilles-Guyane

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Durée : 4 heures

Coefficient : 7 (Obligatoire) - 9 (Spécialité)

6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2019

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

f(x)=\dfrac{a}{1+\text{e}^{-bx}}\ \ \ \ \ \text{où }x\in[0\, ;+\infty[

1.  La courbe Cf  passe par le point A(0 ; 0,5).
Donc f (0) = 0,5.

f(0)=0,5\Longleftrightarrow\dfrac{a}{1+\text{e}^{0}}=0,5 \\\\\phantom{f(0)=0,5}\Longleftrightarrow\dfrac{a}{1+1}=0,5 \\\\\phantom{f(0)=0,5}\Longleftrightarrow\dfrac{a}{2}=0,5 \\\\\phantom{f(0)=0,5}\Longleftrightarrow\boxed{a=1}

\text{D'où }\ \boxed{f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-bx}}}\ \ \ \ \ \text{où }x\in[0\, ;+\infty[

2.  Calcul de f' (x ).

f'(x)=-\dfrac{(1+\text{e}^{-bx})'}{(1+\text{e}^{-bx})^2}=-\dfrac{1'+(\text{e}^{-bx})'}{(1+\text{e}^{-bx})^2} \\\\\phantom{f'(x)}=-\dfrac{0+(-bx)'\text{e}^{-bx}}{(1+\text{e}^{-bx})^2}=-\dfrac{-b\,\text{e}^{-bx}}{(1+\text{e}^{-bx})^2}=\dfrac{b\,\text{e}^{-bx}}{(1+\text{e}^{-bx})^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{b\,\text{e}^{-bx}}{(1+\text{e}^{-bx})^2}}

3.  La tangente à la courbe Cf  au point A(0 ; 0,5) passe par le point B(10 ; 1).
Nous en déduisons que f' (0) est égal au coefficient directeur mAB  de la droite (AB).

\text{Or }\ f'(0)=\dfrac{b\,\text{e}^{0}}{(1+\text{e}^{0})^2}=\dfrac{b\times1}{(1+1)^2}\Longrightarrow\boxed{f'(0)=\dfrac{b}{4}} \\\\\phantom{\text{Or }\ }m_{AB}=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-0,5}{10-0}=\dfrac{0,5}{10}\Longrightarrow\boxed{m_{AB}=0,05} \\\\\\\text{D'où }\ f'0)=m_{AB}\Longleftrightarrow\dfrac{b}{4}=0,05\\\\\phantom{\text{D'où.................. }\ }\Longleftrightarrow \boxed{b=0,2}
Par conséquent,  \boxed{f(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}}.

Partie B

La proportion d'individus qui possèdent un certain type d'équipement dans une population est modélisée par la fonction p définie sur [0 ; +infini[ par  \overset{.}{p(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}}.

1.  Au 1er janvier 2010, nous observons que x  = 10 car 10 années se sont écoulées depuis le 1er janvier 2000.
\overset{.}{p(10)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2\times10}}}=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-2}}\Longrightarrow\boxed{p(10)\approx0,88}
Par conséquent, au 1er janvier 2010, environ 88% des individus possèdent l'équipement.

2. a.  Etudions le signe de p' (x ) sur l'intervalle [0 ; +infini[.
Pour tout x  dans l'intervalle [0 ; +infini[,  \overset{.}{p(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}}=f(x)

Les fonctions p  et f  étant égales, nous déduisons que p' (x ) = f' (x ) .
En remplaçant b par 0,2 dans l'expression de f'(x) obtenue dans la Partie A, exercice 2, nous obtenons :  \overset{.}{p'(x)=\dfrac{0,2\,\text{e}^{-0,2x}}{(1+\text{e}^{-0,2x})^2}}
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur R, nous déduisons que p' (x ) > 0 pour tout x  dans [0 ; +infini[.
Par conséquent, la fonction p est strictement croissante sur l'intervalle [0 ; +infini[.

2. b.  Limite de la fonction p  en +infini.

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x \to +\infty}(-0,2x)=-\infty \\\\ \lim\limits_{X \to -\infty} \text{e} ^X=0\ \ \ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\text{ par composée (X=-0,2x) }}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \ \ {\red{\lim\limits_{x \to +\infty} \text{e} ^{-0,2x}=0}}  \\\\\text{D'où, }\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}=\dfrac{1}{1+0} =1\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x \to +\infty}p(x)=1}

2. c.  A très long terme, nous pouvons prévoir que 100 % des individus seront équipés.

3.  Déterminons la valeur du plus réel positif x  vérifiant l'inégalité p (x ) > 0,95.

p(x)>0,95\Longleftrightarrow\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}}>0,95 \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow1+\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95} \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1}{0,95}-1 \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1-0,95}{0,95} \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{0,05}{0,95} \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,2x}<\dfrac{1}{19} \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow\ln(\text{e}^{-0,2x})<\ln(\dfrac{1}{19}) \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow-0,2x<-\ln(19) \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow x>\dfrac{-\ln(19)}{-0,2} \\\\\phantom{p(x)>0,95}\Longleftrightarrow x>\dfrac{\ln(19)}{0,2} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(19)}{0,2}\approx14,7
Nous en déduisons que la proportion d'individus équipés dépassera 95 % lorsque 14,7 années seront écoulées après le 1er janvier 2000.
Par conséquent, le marché sera saturé au cours de l'année 2014.

{\red{4.\ \text{a. }}}\ \text{Pour tout réel }x\ge0, \ p(x)=\dfrac{1}{1+\text{e}^{-0,2x}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ \text{Pour tout réel }x\ge0, \ p(x)}=\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{\text{e}^{0,2x}}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ \text{Pour tout réel }x\ge0, \ p(x)}=\dfrac{1}{\dfrac{\text{e}^{0,2x}+1}{\text{e}^{0,2x}}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ \text{Pour tout réel }x\ge0, \ p(x)}=1\times\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{\text{e}^{0,2x}+1} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ \text{Pour tout réel }x\ge0, \ p(x)}=\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{\text{e}^{0,2x}+1} \\\\\ \ \ \phantom{.............}\Longrightarrow\boxed{p(x)=\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}}}

{\red{4.\ \text{b. }}}\ p(x)=\dfrac{\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b. }}}\ p(x)}=\dfrac{{\red{0,2\times}}\,\text{e}^{0,2x}}{{\red{0,2\times}}\,(1+\text{e}^{0,2x})} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b. }}}\ p(x)}=\dfrac{1}{0,2}\times\dfrac{0,2\,\text{e}^{0,2x}}{1+\text{e}^{0,2x}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b. }}}\ p(x)}=\dfrac{1}{0,2}\times\dfrac{(1+\text{e}^{0,2x})'}{1+\text{e}^{0,2x}} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{b. }}}\ p(x)}=\dfrac{1}{0,2}\times\left(\overset{}{\ln(1+\text{e}^{0,2x})}\right)'
Nous en déduisons qu'une primitive de la fonction p  est la fonction P  définie sur [0 ; +infini[ par  P(x)=\dfrac{1}{0,2}\times\ln(1+\text{e}^{0,2x}).

{\red{4.\ \text{c. }}}\ m=\dfrac{1}{2}\int\limits_{8}^{10}p(x)\,dx=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{P(x)}\right]\limits_{8}^{10}=\dfrac{1}{2}\left[\overset{}{\dfrac{1}{0,2}\times\ln(1+\text{e}^{0,2x})}\right]\limits_{8}^{10} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}}\ m}=\dfrac{1}{0,4}\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^{0,2x})}\right]\limits_{8}^{10} \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}}\ m}=\dfrac{1}{0,4}\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^{0,2\times10})-\ln(1+\text{e}^{0,2\times8})}\right] \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}}\ m}=\dfrac{1}{0,4}\left[\overset{}{\ln(1+\text{e}^{2})-\ln(1+\text{e}^{1,6})}\right] \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{c. }}}\ m}=\dfrac{1}{0,4}\ln(\dfrac{1+\text{e}^{2}}{1+\text{e}^{1,6}}) \\\\\Longrightarrow\boxed{m=\dfrac{1}{0,4}\ln(\dfrac{1+\text{e}^{2}}{1+\text{e}^{1,6}})\approx0,86}
D'où, entre 2008 et 2010, en moyenne, 86% des individus sont équipés.

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

Partie A : Etude de la trajectoire du drone d'Alex

1.  Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB).

La droite (AB) est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{AB} .

\left\lbrace\begin{array}l A(2\,;\,4\,;\,0,25)\\B(2\,;\,6\,;\,0,75)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-2\\6-4 \\0,75-0,25\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}{\red{0}}\\ {\red{2}}\\ {\red{0,5}}\end{pmatrix}}

La droite (AB) passe par le point A({\blue{2}}\,;\,{\blue{4}}\,;\,{\blue{0,25}}).

D'où une représentation paramétrique de la droite (AB) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{2}}+{\red{0}}\times t\\y={\blue{4}}+{\red{2}}\times t\\z={\blue{0,25}}+{\red{0,5}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(AB):\left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

2. a.  Montrons que le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}  est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{PQ}  et  \overrightarrow{PU}  du plan (PQU).

\left\lbrace\begin{array}l P(0\ ;\,10\,;\,0))\\Q(0\,;\,11\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}0-0\\11-10\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l P(0\ ;\,10\,;\,0))\\U(10\,;\,10\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{PU}\begin{pmatrix}10-0\\10-10\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PU}\begin{pmatrix}10\\0\\0\end{pmatrix}}

Manifestement, les vecteurs \overrightarrow{PQ}  et  \overrightarrow{PU}  ne sont pas colinéaires.

De plus,

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PQ}\ \ &\ 0\times0+1\times1-1\times1\\\ \ &\ 0+1-1\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PQ}}

\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{PU}\ \ &\ 0\times10+1\times0-1\times0\\\ \ &\ 0+0-0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{PU}}

Par conséquent, le vecteur  \overrightarrow{n}  étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires  \overrightarrow{PQ}  et  \overrightarrow{PU}  du plan (PQU), nous en déduisons que le vecteur  \overrightarrow{n}  est normal au plan (PQU).

2. b.  Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}  admet une équation cartésienne de la
forme  ax  + by  + cz  + d  = 0.

Puisque le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}   est normal au plan (PQU), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (PQU) est de la forme  y  - z  + d  = 0.

Or le point P(0 ; 10 ; 0) appartient au plan (PQU).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 10 - 0 + d  = 0 , soit d  = -10
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (PQU) est  \boxed{y-z-10=0}.

3.   Les coordonnées du point I sont les solutions du système composé par les équations de la droite (AB) et du plan (PQU), soit du système :

\left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\\y-z-10=0 \end{array}\ \ \ \  \left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\\ (4+2t)-(0,25+0,5t)-10=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\\1,5t-6,25=0 \end{array}

\left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2t\\z=0,25+0,5t\\\\t=\dfrac{6,25}{1,5}=\dfrac{25}{6} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=4+2\times\dfrac{25}{6}\\z=0,25+0,5\times\dfrac{25}{6}\\\\t=\dfrac{25}{6} \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=2\\y=\dfrac{37}{3}\\\\z=\dfrac{7}{3}\\\\t=\dfrac{25}{6} \end{array}

D'où les coordonnées du point I sont \boxed{I(2\,;\,\dfrac{37}{3}\, ;\, \dfrac{7}{3})}.

4.  Les ordonnées de tous les points appartenant à l'obstacle PTQU sont comprises entre 10 et 11.
Or l'ordonnée du point I est égale à  \dfrac{37}{3}\approx12,2  est supérieure à 11.
Par conséquent, en suivant la trajectoire (AB), le drone d'Alex ne rencontrera pas l'obstacle.

Partie B : Distance minimale entre les deux trajectoires

1.  En utilisant la relation de Chasles, nous obtenons :

\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} \\\phantom{\overrightarrow{MN}}=-\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MN}=-a\,\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+b\,\overrightarrow{CD}}

Calculons les coordonnées des vecteurs  \overrightarrow{AB} , \overrightarrow{AC}  et  \overrightarrow{CD}.

\boxed{\overrightarrow{AB}:\begin{pmatrix}{0\\2\\0,5\end{pmatrix}}}\ \ \ \ \text{(Voir Partie A : question 1)} \\\\\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,4\,;\,0,25))\\C(4\,;\,6\,;\,0,25)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}4-2\\6-4\\0,25-0,25\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l C(4\,;\,6\,;\,0,25)\\D(2\ ;\,6\,;\,0,25)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}2-4\\6-6\\0,25-0,25\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CD}\begin{pmatrix}-2\\0\\0\end{pmatrix}}

\text{D'où }\ \overrightarrow{MN}:-a\begin{pmatrix}0\\2\\0,5\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-2\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0+2-2b\\-2a+2+0\\-0,5+0+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2-2b\\-2a+2\\-0,5a\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MN}:\begin{pmatrix}2-2b\\2-2a\\-0,5a\end{pmatrix}}

2.  La droite (MN) est perpendiculaire à la fois à la droite (AB) et à la droite (CD) lorsque le vecteur  \overrightarrow{MN}  est orthogonal aux vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{CD}.

\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{AB} \\\overrightarrow{MN}\perp\overrightarrow{CD}\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{AB}=0 \\\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{CD}=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.....................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0(2-2b)+2(2-2a)+0,5(-0,5a)=0 \\-2(2-2b)+0(2-2a)+0(-0,5a)=0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.....................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2(2-2a)-0,25a=0 \\-2(2-2b)=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}4-4a-0,25a=0 \\-4+4b=0\end{matrix}\right.

                                 \\\\\phantom{.....................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}4-4,25a=0 \\-4+4b=0\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}4,25a=4 \\4b=4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.....................}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{4}{4,25} \\b=1\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.....................}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=\dfrac{16}{17} \\b=1\end{matrix}\right.}

Par conséquent, la distance MN est minimale lorsque  a=\dfrac{16}{17}  et  b=1.

3.  Nous avons montré dans la question 1. que les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{MN}  sont  \begin{pmatrix}2-2b\\2-2a\\-0,5a\end{pmatrix}.

Remplaçons a par  \dfrac{16}{17}  et b par 1.

\overrightarrow{MN}:\begin{pmatrix}2-2\times1\\\\2-2\times\dfrac{16}{17}\\\\-0,5\times\dfrac{16}{17}\end{pmatrix}\Longrightarrow\overrightarrow{MN}:\begin{pmatrix}0\\\\\dfrac{2}{17}\\\\-\dfrac{8}{17}\end{pmatrix}

\text{Dès lors}\ MN=\sqrt{0^2+\left(\dfrac{2}{17}\right)^2+\left(-\dfrac{8}{17}\right)^2} \\\\\phantom{\text{Dès lors}\ MN}=\sqrt{\dfrac{4}{289}+\dfrac{64}{289}}=\sqrt{\dfrac{68}{289}}=\sqrt{\dfrac{4\times17}{17^2}}=\dfrac{2}{17}\sqrt{17} \\\\\Longrightarrow\boxed{MN=\dfrac{2}{17}\sqrt{17}\approx0,485}

Nous savons par l'énoncé qu'une unité correspond à 10 m.
Par conséquent, la distance minimale MN est environ égale à 0,485 multiplie 10 mètres, soit 4,85 mètres.
Puisque cette distance minimale est supérieure à 4 mètres, la consigne est respectée.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 1\ :\ }\text{Le nombre }c\text{ peut s'écrire }c=\dfrac{1}{4}(1-\sqrt{3})}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse }}}

c=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}(\cos(\dfrac{\pi}{3})+\text{i}\sin(\dfrac{\pi}{3})) \\\\\phantom{c=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}+\text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \\\\\phantom{c=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{1}{4}(1+\text{i}\sqrt{3}) \\\\\Longrightarrow\boxed{c=\dfrac{1}{4}(1+\text{i}\sqrt{3})\ {\red{\neq}}\ \dfrac{1}{4}(1-\text{i}\sqrt{3})}
Par conséquent, l'affirmation 1 est fausse.


{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 2\ :\ }\text{Pour tout entier naturel }n,\ c^{3n}\text{ est un nombre réel }}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie }}}

c^{3n}=\left(\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^{3n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3n}\,\left(\overset{}{\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}\times3}} \right)^{n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3n}\,\left(\overset{}{\text{e}^{\text{i}\pi}} \right)^{n} \\\\\Longrightarrow\boxed{c^{3n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3n}\,(-1)^{n} \ {\red{\in\R}}}}
Par conséquent, l'affirmation 2 est vraie.


{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 3\ :\ }\text{Les points O, S et T sont alignés}}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie }}}

\text{Soit }\ z_{\overrightarrow{OS}}\ \text{l'affixe du vecteur }\overrightarrow{OS}.
Alors  z_{\overrightarrow{OS}}=c^2=\left(\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\right)^2\Longrightarrow\boxed{z_{\overrightarrow{OS}}=\dfrac{1}{4}\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}

\text{Soit }\ z_{\overrightarrow{OT}}\ \text{l'affixe du vecteur }\overrightarrow{OT}.
\text{Alors }\ z_{\overrightarrow{OT}}=\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}\Longrightarrow\boxed{z_{\overrightarrow{OT}}=2\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}

\text{De plus }\dfrac{z_{\overrightarrow{OS}}}{z_{\overrightarrow{OT}}}=\dfrac{\dfrac{1}{4}\,\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}}{2\,\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}}=\dfrac{1}{8}\,\text{e}^{\text{i}(\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{3})}=\dfrac{1}{8}\,\text{e}^{\text{i}\pi}=\dfrac{1}{8}\times(-1)\\\\\phantom{\text{De plus }}\Longrightarrow\dfrac{z_{\overrightarrow{OS}}}{z_{\overrightarrow{OT}}}=-\dfrac{1}{8} \\\\\phantom{\text{De plus }}\Longrightarrow\boxed{z_{\overrightarrow{OS}}=-\dfrac{1}{8}\,z_{\overrightarrow{OT}}}
D'où les vecteurs  z_{\overrightarrow{OS}}  et  z_{\overrightarrow{OT}}  sont colinéaires. Les points O, S et T sont donc alignés.
Par conséquent, l'affirmation 3 est vraie.


{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ 4\ :\ }\text{Pour tout entier naturel non nul}\ n, |c|+|c^2|+...+|c^n|=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie }}}

c=\dfrac{1}{2}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\Longrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}|c|=\dfrac{1}{2}\\|c^2|=|c|^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\\...\\|c^n|=|c|^n=\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\end{matrix}\right.

|c|+|c^2|+...+|c^n|  représente la somme S  des n  premiers termes d'une suite géométrique de raison  \dfrac{1}{2}  et de premier terme  \dfrac{1}{2} .

S=\text{premier terme}\times\dfrac{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}} \\\\\phantom{S}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{\dfrac{1}{2}}=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\\\\Longrightarrow\boxed{|c|+|c^2|+...+|c^n|=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}
Par conséquent, l'affirmation 4 est vraie.


5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

1.  Arbre pondéré illustrant la situation :
Bac S obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2019 : image 14


2.  Nous devons déterminer  P(M\cap E).

      P(M\cap E)=P(M)\times P_M(E) \\\phantom{P(M\cap E)}=0,56\times0,25 \\\phantom{P(M\cap E)}=0,14 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(M\cap E)=0,14}

3. a.  En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(E)= P(M\cap E)+P(\overline{M}\cap E) \\\phantom{P(E)}=0,14+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(E)\\\phantom{P(E)}=0,14+0,44\times x \\\\\Longrightarrow\boxed{P(E)=0,44x+0,14}

3. b.  16,2% des téléspectateurs ont regardé l'émission.
Donc P (E ) = 0,162.
Or nous avons montré dans la question 3. a. que P (E ) = 0,44x + 0,14.

\text{Dès lors : }\ 0,44x+0,14=0,162\Longleftrightarrow0,44x=0,162-0,14 \\\phantom{\text{Dès lors : }\ 0,44x+0,14=0,162}\Longleftrightarrow0,44x=0,22 \\\\\phantom{\text{Dès lors : }\ 0,44x+0,14=0,162}\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,22}{0,44} \\\\ \phantom{\text{Dès lors : }\ 0,44x+0,14=0,162}\Longleftrightarrow \boxed{x=0,5}

4.  Nous devons déterminer  P_{\overline{E}}(M)

P_{\overline{E}}(M)=\dfrac{P(M\cap \overline{E})}{P(\overline{E})} \\\\\phantom{P_{\overline{E}}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(\overline{E})}{1-P(E)} \\\\\phantom{P_{\overline{E}}(M)}=\dfrac{0,56\times0,75}{1-0,162} \\\\\Longrightarrow\boxed{{P_{\overline{E}}(M)}=\dfrac{0,42}{0,838}\approx0,50}
Par conséquent, sachant que le téléspectateur interrogé n'a pas regardé l'émission, la probabilité, arrondie à 10-2, qu'il ait regardé le match est environ égale à 0,5.

Partie B

La variable aléatoire T  soit la loi normale d'espérance mu = 1,5 et d'écart-type sigma = 0,5.

1.  Nous devons déterminer P (1 infegal T  infegal 2).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : P (1 infegal T  infegal 2) environegal 0,68.
Par conséquent, la probabilité qu'un téléspectateur ait passé entre une heure et deux heures devant sa télévision le soir du match est environ égale à 0,68.

2.  Nous devons trouver la valeur de t  vérifiant la relation  P (T  supegal t ) = 0,066.
Nous savons que P (T  supegal t ) = 0,066 equivaut P (T < t ) = 1 - 0,066 = 0,934.
Par la calculatrice, nous obtenons  \overset{.}{P(T < t)=0,934\Longrightarrow t\approx2,25.}
Nous savons que 2,25 heures = 2 heures + 0,25 heure = 2 heures + 15 minutes.
D'où, 6,6 % des spectateurs ont consacré plus de 2h 15min à regarder la télévision le soir du match.

Partie C

La durée de vie d'un boîtier individuel, exprimée en année, est modélisée par une variable aléatoire notée S  qui suit une loi exponentielle de paramètre lambda strictement positif.
L'institut de sondage a constaté qu'un quart des boîtiers a une durée de vie comprise entre un et deux ans.
Nous obtenons alors :

P(1\le S\le2)=0,25\Longleftrightarrow P(S\ge1)-P(S\ge2)=0,25 \\\\\phantom{P(1\le S\le2)=0,25}\Longleftrightarrow \text{e}^{-\lambda}-\text{e}^{-2\lambda}=0,25 \\\phantom{P(1\le S\le2)=0,25}\Longleftrightarrow \text{e}^{-2\lambda}-\text{e}^{-\lambda}+0,25=0 \\\phantom{P(1\le S\le2)=0,25}\Longleftrightarrow \left(\text{e}^{-\lambda}\right)^2-\text{e}^{-\lambda}+0,25=0 \\\\\text{Soit }\ X=\text{e}^{-\lambda} \\\text{alors }\ X^2-X+0,25=0\Longleftrightarrow (X-0,5)^2=0 \\\phantom{\text{alors }\ X^2-X+0,25=0}\Longleftrightarrow X-0,5=0 \\\phantom{\text{alors }\ X^2-X+0,25=0}\Longleftrightarrow X=0,5 \\\\X=0,5\Longleftrightarrow\text{e}^{-\lambda}=0,5 \\\phantom{X=0,5}\Longleftrightarrow-\lambda=\ln(0,5) \\\phantom{X=0,5}\Longleftrightarrow\lambda=-\ln(0,5)=-\ln(\dfrac{1}{2}) \\\phantom{X=0,5}\Longleftrightarrow\boxed{\lambda=\ln(2)}

L'usine qui fabrique les boîtiers affirme que leur durée de vie moyenne est supérieure à trois ans, soit que l'espérance E (S ) est supérieure à 3.

\text{Or }\ E(S)=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{\ln(2)}\Longrightarrow \boxed{E(S)\approx1,44\ {\red{<3}}}
Par conséquent, l'affirmation de l'usine est incorrecte.

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. a.  Graphe probabiliste complété :

              
Bac S obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2019 : image 16

D'après le graphe probabiliste, nous déduisons que  \boxed{a_{n+1}=0,5\,a_n+0,1\,b_n+0,2\,c_n}

Nous aurions également pu démontrer cette relation en utilisant l'arbre pondéré de probabilité.

Bac S obligatoire et spécialité Antilles Guyane 2019 : image 15


En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(A_{n+1})=P(A_n\cap A_{n+1})+P(B_n\cap A_{n+1})+P(C_n\cap A_{n+1}) \\\phantom{P(A_{n+1})}=P(A_n)\times P_{A_n}(A_{n+1})+P(B_n)\times P_{B_n}(A_{n+1})+P(C_n)\times P_{C_n}(A_{n+1}) \\\phantom{P(A_{n+1})}=a_n\times0,5+b_n\times0,1+c_n\times0,2 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,5\,a_n+0,1\,b_n+0,2\,c_n}

{\red{1.\ \text{b. }}}\left\lbrace\begin{matrix}a_n+b_n+c_n=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}c_n=1-a_n-b_n\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2c_n\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.............................................................}\Longrightarrow a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2(1-a_n-b_n) \\\\\phantom{.............................................................}\Longrightarrow a_{n+1}=0,5a_n+0,1b_n+0,2-0,2a_n-0,2b_n \\\\\phantom{.............................................................}\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=0,3a_n-0,1b_n+0,2}

Selon l'énoncé, nous admettons que, pour tout entier naturel n , bn +1 = 0,2an  + 0,2.

2. a.  Pour tout entier naturel n ,

MU_n+R=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix} \\\\\phantom{MU_n+R}=\begin{pmatrix}0,3\times a_n-0,1\times b_n\\0,2\times a_n+0\times b_n\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix} \\\\\phantom{MU_n+R}=\begin{pmatrix}0,3\,a_n-0,1\,b_n+0,2\\0,2\,a_n+0,2 \end{pmatrix} \\\\\phantom{MU_n+R}=\begin{pmatrix}a_{n+1}\\b_{n+1} \end{pmatrix}=U_{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{U_{n+1}=MU_n+R}

{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3&-0,1\\0,2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3\alpha-0,1\beta\\0,2\alpha\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}0,2\\0,2\end{pmatrix} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\0,2\alpha+0,2\end{pmatrix}  \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \alpha=0,3\alpha-0,1\beta+0,2\\\beta=0,2\alpha+0,2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \   \end{matrix}\right.

                                                  \phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} 0,7\alpha+0,1\beta=0,2\\-0,2\alpha+\beta=0,2\ \ \ \ \ \  \end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ Y=MY+R}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} 7\alpha+\beta=2\\-0,2\alpha+\beta=0,2\ \ \  \end{matrix}\right.

                                                  \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \beta=2-7\alpha\\-0,2\alpha+\beta=0,2\ \ \  \end{matrix}\right.\\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \beta=2-7\alpha\\-0,2\alpha+2-7\alpha=0,2\ \ \  \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \beta=2-7\alpha\ \ \ \ \ \\-7,2\alpha=-1,8 \end{matrix}\right.

                                                  \\\\\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \beta=2-7\alpha\ \ \ \ \ \ \ \ \\\alpha=\dfrac{-1,8}{-7,2}=0,25 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} \beta=2-7\times0,25\\\alpha=0,25\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\Longleftrightarrow\boxed{{\red{\left\lbrace\begin{matrix} \alpha=0,25\\\beta=0,25\end{matrix}\right.}}}

3.  Pour tout entier naturel n , on pose Vn  = Un  - Y .

{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}={\red{U_{n+1}}}-{\blue{Y}} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}}=({\red{MU_{n}+R}})-({\blue{MY+R}}) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}}=MU_{n}+R-MY-R \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}}=MU_{n}-MY \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}}=M(U_{n}-Y) \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ V_{n+1}}=MV_n \\\\\Longrightarrow\boxed{V_{n+1}=MV_n}

3. b.  Démontrons par récurrence que pour tout entier n  strictement positif, Vn  = nV0.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n  = 1.
Nous avons montré dans la question 3. a. que pour tout entier naturel n ,  V_{n+1}=MV_n.
En remplaçant n  par 0 dans cette relation, nous obtenons :  V_1=MV_0.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier n  fixé strictement positif la relation Vn  = nV0 est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que  V_{n+1}=M^{n+1}V_0.

\text{En effet }\ V_{n+1}=MV_n\ \ \ \ \ \text{(voir question 3. a.)} \\\phantom{\text{En effet }\ V_{n+1}}=M(M^nV_0)\ \ \ \ \ \text{(par hypothèse de récurrence)} \\\phantom{\text{En effet }\ V_{n+1}}=(MM^n)V_0 \\\phantom{\text{En effet }\ V_{n+1}}=M^{n+1}V_0 \\\\\Longrightarrow\boxed{V_{n+1}=M^{n+1}V_0}
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier n  strictement positif, Vn  = nV0.

{\red{4.\ \text{a. }}}\ V_n=U_n-Y\Longleftrightarrow U_n=V_n+Y \\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ V_n=U_n-Y}\Longleftrightarrow U_n=M^nV_0+Y \\\phantom{{\red{4.\ \text{a. }}}\ V_n=U_n-Y}\Longleftrightarrow U_n=M^n(U_0-Y)+Y  \\\\\text{Or }\ U_0-Y=\begin{pmatrix}a_0\\b_0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0,25\\0,25\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0,75\\-0,25\end{pmatrix} \\\\\text{Donc }\ U_n=M^n(U_0-Y)+Y

\\\\\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}{\red{a_n}}\\b_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{\red{2\times0,2^n-0,1^n}}&{\red{0,1^n-0,2^n}}\\2\times0,2^n-2\times0,1^n&2\times0,1^n-0,2^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}{\red{0,75}}\\ {\red{-0,25}}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}{\red{0,25}}\\0,25\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow {\red{a_n=(2\times0,2^n-0,1^n)\times0,75+(0,1^n-0,2^n)\times(-0,25)+0,25}} \\\\\phantom{\Longrightarrow a_n}=1,5\times0,2^n-0,75\times0,1^n-0,25\times0,1^n+0,25\times0,2^n+0,25 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_n=1,75\times0,2^n-0,1^n+0,25}

{\red{4.\ \text{b. }}}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{n\to+\infty}0,2^n=0\ \ \ \text{car }0<0,2<1\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}0,1^n=0\ \ \ \text{car }0<0,1<1\end{matrix}\right.\\\\\phantom{88888888888888888888}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(1,75\times0,2^n-0,1^n+0,25)=0-0+0,25\\\\\phantom{88888888888888888888}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}(1,75\times0,2^n-0,1^n+0,25)=0,25\\\\\phantom{88888888888888888888}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=0,25}

5.  Selon l'énoncé, pour tout entier naturel n , nous admettons que   c_n=0,5+3\times0,1^n-3,5\times0,2^n

\\\\0,1^n>0\Longrightarrow c_n<0,5+3\times0,1^n\,{\red{+\ 0,5\times0,1^n}}-3,5\times0,2^n \\\\\phantom{0,1^n>0 }\Longrightarrow c_n<0,5+3,5\times0,1^n-3,5\times0,2^n \\\\\phantom{0,1^n>0 }\Longrightarrow c_n<0,5+3,5\times(0,1^n-0,2^n) \\\\\text{Or }0,1^n<0,2^n\Longrightarrow0,1^n-0,2^n<0 \\\\\phantom{\text{Or }0,1^n<0,2^n}\Longrightarrow3,5\times(0,1^n-0,2^n) <0 \\\\\phantom{\text{Or }0,1^n<0,2^n}\Longrightarrow0,5+3,5\times(0,1^n-0,2^n) <0,5 \\\\\text{D'où } \left\lbrace\begin{matrix}c_n<{\blue{0,5+3,5\times(0,1^n-0,2^n)}}\\\\ {\blue{0,5+3,5\times(0,1^n-0,2^n)}} <0,5\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{{\red{c_n<0,5}}}
Nous en déduisons que la probabilité que le temps soit pluvieux au bout de n  jours ne peut pas dépasser 0,5.
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