Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie 2018
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6 points
exercice 1 : Commun à tous les candidats
Soient f et g les fonctions définies sur ]0 ; +[ par et dont les représentations graphiques sont reprises ci-dessous.
Partie A : Conjectures graphiques
1. Une solution de l'équation f (x ) = g (x ) est l'abscisse d'un point commun aux deux courbes Cf et Cg .
Une lecture du graphique laisse supposer que les graphiques Cf et Cg se coupent en un point A dont l'abscisse est 1.
Nous pouvons alors conjecturer qu'une solution de l'équation f (x ) = g (x ) sur ]0 ; +[ est x = 1.
2. Une solution de l'équation g' (x ) = 0 est l'abscisse d'un point de la courbe Cg où le coefficient directeur de la tangente à Cg est nul, ce qui revient à dire que la tangente à cette courbe Cg est parallèle à l'axe des abscisses.
Une lecture du graphique laisse supposer que la tangente à la courbe Cg est parallèle à l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse vaut 0,5.
Nous pouvons alors conjecturer qu'une solution de l'équation g' (x ) = 0 sur ]0 ; +[ est x = 0,5.
Partie B : Etude de la fonction g
2. a. Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0 ; +[,
2. b.
2. c. Pour tout x > 0, nous savons que h (x ) = ln(g (x )).
3. Calcul de la dérivée g' (x ).
4. Tableau de signes de la dérivée g' (x ) sur l'intervalle ]0 ; +[.
Donc le signe de g' (x ) sera le signe de (1 - 2x ).
Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction g sur l'intervalle ]0 ; +[.
Par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur l'intervalle
et strictement décroissante sur l'intervalle
Partie C - Aire des deux domaines compris entre les courbes et
D'où le point A de coordonnées (1 ; e-1) appartient à la courbe Cf .
D'où le point A de coordonnées (1 ; e-1) appartient à la courbe Cg .
Par conséquent, le point A de coordonnées (1 ; e-1) est un point d'intersection de Cf et Cg .
On admet que ce point est l'unique point d'intersection de Cf et Cg , et que Cf est au-dessus de Cg sur l'intervalle ]0 ; 1[ et en dessous sur l'intervalle ]1 ; +[.
2. Soient a et b deux réels strictement positifs.
4. Selon l'énoncé, nous admettons que
Nous avions admis dans la question 1 de cette partie d'exercice que Cf est au-dessus de Cg sur l'intervalle ]0 ; 1[ et en dessous sur l'intervalle ]1 ; +[.
Dès lors, représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x = 0 et x = 1 tandis que représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x = 1 et x = b lorsque b tend vers +.
Par conséquent, l'égalité signifie que ces deux aires sont égales (voir les aires colorées sur le graphique ci-dessus).
3 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
1. a. Les valeurs prises par la variable aléatoire X représentent les notes obtenues par Anselme.
Nous pouvons identifier la situation par une répétition de 20 tirages identiques et indépendants à deux issues possibles :
le "succès" : "la réponse donnée est correcte" dont la probabilité est
l'"échec" : "la réponse donnée est incorrecte" dont la probabilité est .
La variable aléatoire X suit alors la loi binomiale de paramètres n = 20 et . 1. b. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
Dans la suite, nous admettrons que
2. Nous devons déterminer PM(B).
Puisque le choix de la copie d'un des trois candidats est aléatoire, nous savons que :
En tenant compte des résultats précédents, nous pouvons dresser l'arbre de probabilité pondéré :
Or, selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :
D'où
Par conséquent, sachant que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10, la probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara est environ égale à 0,376.
6 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
On se place dans le repère orthonormé
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.
1. Déterminons une représentation paramétrique de la droite (PQ).
La droite (PQ) est dirigée par le vecteur .
La droite (PQ) passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite (PQ) est donnée par :
soit
2. a. Nous savons par l'énoncé qu'une représentation paramétrique de la droite (IJ) est
Puisque le point K appartient à la droite (IJ), ses coordonnées sont de la forme (r ; 1 , 0).
Les droites (IJ) et (MK) sont orthogonales si et seulement si les vecteurs et sont orthogonaux.
Dès lors, leur produit scalaire est nul.
Par conséquent, les coordonnées du point K sont (1 + t ; 1 ; 0).
2. b.
3. a. Le point H(0 ; 2 ; 2) vérifie l'équation y - z = 0 car 2 - 2 = 0.
Le point G(2 ; 2 ; 2) vérifie l'équation y - z = 0 car 2 - 2 = 0.
Le point B(2 ; 0 ; 0) vérifie l'équation y - z = 0 car 0 - 0 = 0.
Les trois points H, G et B ne sont pas alignés.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (HGB) est : y - z = 0.
3. b. Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Dès lors, le vecteur est un vecteur normal au plan (HBG) d'équation y - z = 0.
De plus la droite (ML) est orthogonale au plan (HGB) si et seulement si le vecteur est orthogonal au plan (HGB) ce qui revient à dire que les vecteurs et sont colinéaires.
Déterminons les coordonnées du vecteur .
Soit le point L de coordonnées (x ; y ; z ).
Ce point L appartient au plan (HGB) dont l'équation peut s'écrire : y = z .
Les coordonnées du point L sont donc (x ; y ; y ).
D'où les vecteurs et sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k tel que
Par conséquent, les coordonnées du point L sont
Nous en déduisons que la distance ML ne dépend pas de t .
Par conséquent, il n'existe pas de valeur de t pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML.
5 points
exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
1. Pour tout entier naturel n ,
2. Nous déduisons de la question 1 que la suite (un ) est une suite géométrique de raison dont le premier terme est u0 = z0 - i = 1 - i.
Le terme général de la suite (un ) est .
Donc, pour tout n 0, , soit
Par conséquent, le point An se rapproche du point C lorsque n tend vers +.
4. b.un est l'affixe du point Bn.
Pour tout entier naturel n , l'argument de un est indépendant de n et vaut
Par conséquent, lorsque n décrit l'ensemble des entiers naturels, les points Bn appartiennent à la deuxième bissectrice du repère et sont donc alignés.
4. c. L'affixe du point An est zn .
Par conséquent, pour tout entier naturel n , le point An appartient à la droite d'équation réduite : y = -x + 1.
5 points
exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On appelle suite de Fibonacci la suite (un ) définie par u0 = 0, u1 = 1 et, pour tout entier naturel n ,
On admet que, pour tout entier naturel n , un est un entier naturel.
Partie A
1. b. Nous pouvons conjecturer que pour tout entier naturel n , le PGCD de un et un+1 est égal à 1.
2. Soit la suite (vn ) définie par
2. b. Nous avons montré dans la question 2. a. que pour tout nombre entier naturel non nul n , vn +1 = -vn.
Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = -1 dont le premier terme est
Le terme général de la suite (vn ) est .
Donc, pour tout entier naturel n non nul, , soit
Par conséquent, pour tout entier naturel n non nul,
2. c. Soit d = PGCD(un ,un +1).
Les diviseurs de (-1)n -1 sont 1 et -1.
Puisque d est un nombre positif, nous en déduisons que d = 1.
D'où, pour tout entier naturel nnon nul, PGCD(un ,un +1)=1.
De plus, PGCD(u0,u1) = PGCD(0,1) = 1.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , PGCD(un ,un +1)=1, ce qui démontre la conjecture émise à la question 1.b.
Partie B
Soit la matrice
1. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons et
2. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul,
Initialisation : Montrons que la relation est vraie pour n = 1.
Montrons donc que
Par la question 1.a. de la partie A, nous savons que u0 = 0, u1 = 1 et u2 = 1.
Dès lors,
L'initialisation est donc vraie.
Hérédité : Si pour un nombre naturel non nul n fixé, la relation est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n +1.
Autrement dit, si pour un nombre naturel non nul n fixé, , montrons que
En effet,
Dès lors, l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n non nul,
3. a. Soit n un entier naturel non nul.
Par identification des coefficients situés sur la 2ème ligne 1ère colonne, nous obtenons :
3. b. Nous venons de montrer que pour tout entier n non nul, soit que
Par définition de la suite de Fibonacci, nous savons que soit que
4. Nous avons montré dans la question 3. b. que pour tout entier n non nul,
Si n = 5, alors 2n + 2 = 12 et n + 2 = 7.
Nous obtenons alors : , soit
Or nous savons par la question 1.a. de la Partie A que u5 = 5 et u7 = 13.
De plus, 144 = 122.
D'où
Par conséquent, selon la réciproque du théorème de Pythagore, il existe un triangle rectangle dont la longueur de l'hypoténuse est 13 et les longueurs des deux autres côtés sont 12 et 5.
Publié par malou
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[ par =\text{e}^{-x})
et =\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})
dont les représentations graphiques sont reprises ci-dessous.
=0\\\\\lim\limits_{X\to0}\text{e}^X =1\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=-\frac{1}{x}}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-\frac{1}{x}}=1}} \\\\\text{D'où\ }\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})=0\times1=0 \\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0})
=\ln(g(x))=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) \\\\\phantom{h(x)}=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) =\ln\left(x^{-2}\right)+\ln\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) \\\\\phantom{h(x)}=-2\ln x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{-2x\ln x-1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}})
=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}=(-1-2x\ln x)\times \dfrac{1}{x})
=0\\\lim\limits_{x\to0^+}\, \dfrac{1}{x}=+\infty\ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\, (-1-2x\ln x)=-1\\\lim\limits_{x\to0^+}\, \dfrac{1}{x}=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}(-1-2x\ln x)\times \dfrac{1}{x}=-\infty \\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=-\infty})
)=h(x)\Longleftrightarrow \boxed{g(x)=\text{e}^{h(x)}})
=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X =0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=h(x)}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ {\blue{\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{h(x)}=0}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=0}}})
=\left(\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right)' \\\\\phantom{g'(x)}=\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right)' \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-(x^2)'}{(x^2)^2}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^4}\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x+1}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{x}}(1-2x)}{x^4}})
![\text{Pour tout }x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ \ \ {\blue{\text{e}^{-\frac{1}{x}}>0}}\ \ \text{et }\ \ {\blue{x^4>0}}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Pour tout }x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ \ \ {\blue{\text{e}^{-\frac{1}{x}}>0}}\ \ \text{et }\ \ {\blue{x^4>0}}.)
&&+&0&-&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }g'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline \end{array})
=0\ \ \ (\text{voir question 2. c.})\\\\g(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{(\frac{1}{2})^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\frac{1}{4}}\,\text{e}^{-2}=4\,\text{e}^{-2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\ \ \ (\text{voir question 1.}) \\\\\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&\frac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }g'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline&&&4\,\text{e}^{-2}&&\\\text{Variations de }g&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array})
![]0\,;\dfrac{1}{2}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0\,;\dfrac{1}{2}])
=\text{e}^{-x}\Longrightarrow \boxed{f(1)=\text{e}^{-1}})
=\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\Longrightarrow g(1)=\dfrac{1}{1}\,\text{e}^{-1} \Longrightarrow \boxed{g(1)=\text{e}^{-1}})
![\int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\int\limits_a^b(\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=\int\limits_a^b\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b-\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b(-x)'\,\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b(-\dfrac{1}{x})'\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_a^b-\left[\overset{}{\text{e}^{-\frac{1}{x}}}\right]\limits_a^b](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\int\limits_a^b(\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=\int\limits_a^b\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b-\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b(-x)'\,\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b(-\dfrac{1}{x})'\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_a^b-\left[\overset{}{\text{e}^{-\frac{1}{x}}}\right]\limits_a^b)
-\left(\overset{}{\text{e}^{-\frac{1}{b}}-\text{e}^{-\frac{1}{a}}}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-b}-\text{e}^{-\frac{1}{b}}})
-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-b}-\text{e}^{-\frac{1}{b}} \\\\\Longrightarrow\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-1}-\text{e}^{-\frac{1}{1}} \\\phantom{WWWWWWWWW}=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-1}-\text{e}^{-1} \\\phantom{WWWWWWWWW}=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-2\text{e}^{-1} \\\\\text{D'où }\ \lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx= \lim\limits_{a\to0}\ (\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-2\text{e}^{-1}) \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}=\text{e}^{0}+0-2\text{e}^{-1} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}=1-2\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=1-2\text{e}^{-1}})
-g(x))\,dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\,\int\limits_1^b(f(x)-g(x))\,dx)
-g(x))\,dx)
représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x = 0 et x = 1 tandis que -g(x))\,dx)
représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x = 1 et x = b lorsque b tend vers +
.=1-P(X\le9) \\\phantom{P(X\ge10)}\approx1-0,986 \\\phantom{P(X\ge10)}\approx0,014 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge10)\approx0,014})
\approx0,588\ \ \text{et}\ \ P(Z\ge10)\approx0,962.)
=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}.)
=\dfrac{P(B\cap M)}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{P(B)\times P_B(M)}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{0,196}{P(M)})
=P(A\cap M)+P(B\cap M)+P(C\cap M) \\\phantom{P(M)}=P(A)\times P_A(M)+P(B)\times P_B(M)+P(C)\times P_C(M) \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times0,014+\dfrac{1}{3}\times0,588+\dfrac{1}{3}\times0,962 \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times(0,014+0,588+0,962) \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times1,564 \\\\\phantom{P(M)}\approx0,521)
\approx\dfrac{0,196}{0,521}\approx0,376.)
.)
.\\Q(2\,;\,1\,;\,2)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}2-1\\1-0\\ 2-1\end{pmatrix}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{1}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}})
.)
)
:\left\lbrace\begin{array}l x=1+t\\y=t\\z=1+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})})
.)
et 
sont orthogonaux.\\J(2\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}2-0\\1-1\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}})
\\K(r\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}r-(1+t)\\1-t\\0-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}r-1-t\\1-t\\-1-t\end{pmatrix}})
+0(1-t)+0(-1-t)\\\phantom{}=2(r-1-t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\\\\\overrightarrow{IJ}\perp \overrightarrow{MK}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow2(r-1-t)=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow r-1-t=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow \boxed{r=1+t})
\\K(1+t\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}(1+t)-(1+t)\\1-t\\0-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}0\\1-t\\-1-t \end{pmatrix}})
^2+(y_{\overrightarrow{MK}})^2+(z_{\overrightarrow{MK}})^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{0+1-2t+t^2+1+2t+t^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{2+2t^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{MK=\sqrt{2+2t^2}})
admet une équation cartésienne de la 
est un vecteur normal au plan (HBG) d'équation y - z = 0.
est orthogonal au plan (HGB) ce qui revient à dire que les vecteurs 
sont colinéaires.\\L(x\,;\,y\,;\,y)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}x-(1+t)\\y-t\\y-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}x-1-t\\y-t\\y-1-t\end{pmatrix}})
)
\\\\L(1+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}(1+t)-(1+t)\\ (\dfrac{1}{2}+t)-t\\ (\dfrac{1}{2}+t)-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}0\\\\\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}})
^2+(y_{\overrightarrow{ML}})^2+(z_{\overrightarrow{ML}})^2} \\\\\phantom{ML}=\sqrt{0^2+(\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^2} \\\\\phantom{ML}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\Longrightarrow\boxed{ML=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}})
)
-\text{i} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{WWWWWW..WWWWWWW}=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\text{i}} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{WWWWWW..WWWWWWW}=\dfrac{1}{3}(z_n-\text{i})} \\\\\phantom{WWWWWW..WWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\,u_n})
dont le premier terme est u 0 = z 0 - i = 1 - i.
.
0, \times(\dfrac{1}{3})^n})
, soit ^n\,(1-\text{i})}})
^n\,(1-\text{i})| \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a}. }}\ |z_n|}=(\dfrac{1}{3})^n\,|1-\text{i}| \\\\\text{Or }|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \\\\\text{D'où }\ \boxed{|u_n|=\sqrt{2}\,(\dfrac{1}{3})^n})
^{n}=0\\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}\right)=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}|u_n|=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}|z_n-\text{i}|=0})
![{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n=(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i}) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\times\sqrt{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+\text{i}\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg(u_n)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n=(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i}) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\times\sqrt{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+\text{i}\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg(u_n)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]})
^n\,(1-\text{i})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}z_n=u_n+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \\\\u_n=(\dfrac{1}{3})^n-\text{i}(\dfrac{1}{3})^n\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWXX}\Longrightarrow z_n=(\dfrac{1}{3})^n-\text{i}(\dfrac{1}{3})^n+\text{i} \\\\\phantom{WWWWWWWXX}\Longrightarrow z_n=(\dfrac{1}{3})^n+\text{i}\left(1-(\dfrac{1}{3})^n\right) \\\\\text{Soit }\ z_n=x_n+\text{i}\,y_n \\\\\text{Alors }\ \left\lbrace\begin{matrix}x_n=(\dfrac{1}{3})^n\\\\y_n=1-(\dfrac{1}{3})^n\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{y_n=1-x_n})
)
\times u_{n} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}}=u_{n+1}^2-u_{n+1}\times u_{n}-u_n^2=(u_{n+1}^2-u_{n+1}\times u_{n})-u_n^2 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}}=u_{n+1}(u_{n+1}-u_{n})-u_n^2 \\\\\text{Or }\ u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=u_{n-1} \\\\\text{D'où }\ v_{n+1}=u_{n+1}\times u_{n-1}-u_n^2 \\\\\phantom{\text{D'où }\ v_{n+1}}=-v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=-v_n})
.^{n-1}})
, soit ^{n-1}})
^{n-1}}})
^{n-1}})
et 
, montrons que 
.)
soit que 
(u_{n+2}+u_n)=u_{n+2}^2-u_n^2 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{2n+2}=u_{n+2}^2-u_n^2})
, soit 
et 
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