Fiche de mathématiques
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Bac S Nouvelle Calédonie

Novembre 2018

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

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3 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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6 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie 2018

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6 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Soient f  et g  les fonctions définies sur ]0 ; +infini[ par  f(x)=\text{e}^{-x} et  g(x)=\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}  dont les représentations graphiques sont reprises ci-dessous.

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Partie A : Conjectures graphiques

1.  Une solution de l'équation f (x ) = g (x ) est l'abscisse d'un point commun aux deux courbes Cf  et Cg .
Une lecture du graphique laisse supposer que les graphiques Cf  et Cg  se coupent en un point A dont l'abscisse est 1.
Nous pouvons alors conjecturer qu'une solution de l'équation f (x ) = g (x ) sur ]0 ; +infini[ est x  = 1.

2.  Une solution de l'équation g' (x ) = 0 est l'abscisse d'un point de la courbe Cg  où le coefficient directeur de la tangente à Cg  est nul, ce qui revient à dire que la tangente à cette courbe Cg  est parallèle à l'axe des abscisses.
Une lecture du graphique laisse supposer que la tangente à la courbe Cg  est parallèle à l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse vaut 0,5.
Nous pouvons alors conjecturer qu'une solution de l'équation g' (x ) = 0 sur ]0 ; +infini[ est x  = 0,5.

Partie B : Etude de la fonction g

{\red{1.\ }}\ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2}=0}} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-\dfrac{1}{x})=0\\\\\lim\limits_{X\to0}\text{e}^X =1\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=-\frac{1}{x}}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ {\blue{\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-\frac{1}{x}}=1}} \\\\\text{D'où\ }\lim\limits_{x\to+\infty}(\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})=0\times1=0 \\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0}

2. a.  Pour tout nombre réel x  de l'intervalle ]0 ; +infini[,

h(x)=\ln(g(x))=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) \\\\\phantom{h(x)}=\ln\left(\dfrac{1}{x^2}\right)+\ln\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) =\ln\left(x^{-2}\right)+\ln\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right) \\\\\phantom{h(x)}=-2\ln x-\dfrac{1}{x}=\dfrac{-2x\ln x-1}{x} \\\\\Longrightarrow\boxed{h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}}

2. b.  h(x)=\dfrac{-1-2x\ln x}{x}=(-1-2x\ln x)\times \dfrac{1}{x}

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\, (x\ln x)=0\\\lim\limits_{x\to0^+}\, \dfrac{1}{x}=+\infty\ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\, (-1-2x\ln x)=-1\\\lim\limits_{x\to0^+}\, \dfrac{1}{x}=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longrightarrow\lim\limits_{x\to0^+}(-1-2x\ln x)\times \dfrac{1}{x}=-\infty \\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=-\infty}

2. c.  Pour tout x  > 0, nous savons que h (x ) = ln(g (x )).

\text{Or }:\ \ln(g(x))=h(x)\Longleftrightarrow \boxed{g(x)=\text{e}^{h(x)}}

\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}h(x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X =0\end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=h(x)}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ {\blue{\lim\limits_{x\to0^+}\text{e}^{h(x)}=0}} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWW}\Longrightarrow\ \ \boxed{{\blue{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=0}}}

3.  Calcul de la dérivée g' (x ).

g'(x)=\left(\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right)' \\\\\phantom{g'(x)}=\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(\text{e}^{-\frac{1}{x}}\right)' \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-(x^2)'}{(x^2)^2}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(-\dfrac{1}{x}\right)'\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^2}\times\,\left(\dfrac{1}{x^2}\right)\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}+\dfrac{1}{x^4}\times\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\phantom{g'(x)}=\dfrac{-2x+1}{x^4}\times\,\text{e}^{-\frac{1}{x}} \\\\\Longrightarrow\boxed{g'(x)=\dfrac{\text{e}^{-\frac{1}{x}}(1-2x)}{x^4}}

4.  Tableau de signes de la dérivée g' (x ) sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

\text{Pour tout }x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ \ \ {\blue{\text{e}^{-\frac{1}{x}}>0}}\ \ \text{et }\ \ {\blue{x^4>0}}.

Donc le signe de g' (x ) sera le signe de (1 - 2x ).

\phantom{WWWWWWW}{\red{1-2x=0}}\Longleftrightarrow 2x=1\\\phantom{WWWWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow {\red{x=\dfrac{1}{2}}} \\\\\left\begin{matrix}{\red{1-2x>0}}\Longleftrightarrow -2x>-1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow 2x<1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow {\red{x<\dfrac{1}{2}}}\end{matrix}\right. \ \ \left\begin{matrix}|\\|\\|\\|\end{matrix}\right. \ \ \left\begin{matrix}{\red{1-2x<0}}\Longleftrightarrow -2x<-1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow 2x>1\\\phantom{wwwwww}\Longleftrightarrow {\red{x>\dfrac{1}{2}}}\end{matrix}\right.

\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&\frac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline \text{Signe de }(1-2x)&&+&0&-&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }g'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons le tableau de variations de la fonction g  sur l'intervalle ]0 ; +infini[.

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=0\ \ \ (\text{voir question 2. c.})\\\\g(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{(\frac{1}{2})^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{\frac{1}{2}}}=\dfrac{1}{\frac{1}{4}}\,\text{e}^{-2}=4\,\text{e}^{-2}\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0\ \ \ (\text{voir question 1.}) \\\\\begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&&x&0&&\frac{1}{2}&&+\infty\\&&&&&\\\hline&&&&&&\text{Signe de }g'(x)&&+&0&-&&&&&&&\\\hline&&&4\,\text{e}^{-2}&&\\\text{Variations de }g&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}
Par conséquent, la fonction g  est strictement croissante sur l'intervalle  ]0\,;\dfrac{1}{2}]
                                                                     et strictement décroissante sur l'intervalle  [\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty[.


Partie C - Aire des deux domaines compris entre les courbes  C_f  et  C_g


{\red{1.}}\ f(x)=\text{e}^{-x}\Longrightarrow \boxed{f(1)=\text{e}^{-1}}
D'où le point A de coordonnées (1 ; e-1) appartient à la courbe Cf .

g(x)=\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\Longrightarrow g(1)=\dfrac{1}{1}\,\text{e}^{-1} \Longrightarrow \boxed{g(1)=\text{e}^{-1}}
D'où le point A de coordonnées (1 ; e-1) appartient à la courbe Cg .
Par conséquent, le point A de coordonnées (1 ; e-1) est un point d'intersection de Cf  et Cg .

On admet que ce point est l'unique point d'intersection de Cf  et Cg , et que Cf  est au-dessus de Cg  sur l'intervalle ]0 ; 1[ et en dessous sur l'intervalle ]1 ; +infini[.

2.  Soient a  et b  deux réels strictement positifs.

\int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\int\limits_a^b(\text{e}^{-x}-\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}})\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=\int\limits_a^b\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b-\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b\dfrac{1}{x^2}\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\int\limits_a^b(-x)'\,\text{e}^{-x}\,dx-\int\limits_a^b(-\dfrac{1}{x})'\,\text{e}^{-\frac{1}{x}}\,dx \\\\\phantom{WWWWWWW}=-\left[\overset{}{\text{e}^{-x}}\right]\limits_a^b-\left[\overset{}{\text{e}^{-\frac{1}{x}}}\right]\limits_a^b

\\\\\phantom{WWWWWWW}=-\left(\overset{}{\text{e}^{-b}-\text{e}^{-a}}\right)-\left(\overset{}{\text{e}^{-\frac{1}{b}}-\text{e}^{-\frac{1}{a}}}\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-b}-\text{e}^{-\frac{1}{b}}}

{\red{3.\ }}\ \int\limits_a^b(f(x)-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-b}-\text{e}^{-\frac{1}{b}} \\\\\Longrightarrow\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-1}-\text{e}^{-\frac{1}{1}} \\\phantom{WWWWWWWWW}=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-\text{e}^{-1}-\text{e}^{-1} \\\phantom{WWWWWWWWW}=\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-2\text{e}^{-1} \\\\\text{D'où }\ \lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx= \lim\limits_{a\to0}\ (\text{e}^{-a}+\text{e}^{-\frac{1}{a}}-2\text{e}^{-1}) \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}=\text{e}^{0}+0-2\text{e}^{-1} \\\phantom{WWWWWWWWWWWw}=1-2\text{e}^{-1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=1-2\text{e}^{-1}}

4.   Selon l'énoncé, nous admettons que  \lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\,\int\limits_1^b(f(x)-g(x))\,dx

Nous avions admis dans la question 1 de cette partie d'exercice que Cf  est au-dessus de Cg  sur l'intervalle ]0 ; 1[ et en dessous sur l'intervalle ]1 ; +infini[.

Dès lors,  \lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx  représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x  = 0 et x  = 1 tandis que  \lim\limits_{b\to+\infty}\,\int\limits_1^b(f(x)-g(x))\,dx  représente l'aire, en unité d'aire, du domaine compris entre les deux courbes et les droites d'équations x  = 1 et x  = b  lorsque b  tend vers +infini.
Par conséquent, l'égalité  \lim\limits_{a\to0}\,\int\limits_a^1(f(x)-g(x))\,dx=\lim\limits_{b\to+\infty}\,\int\limits_1^b(f(x)-g(x))\,dx  signifie que ces deux aires sont égales (voir les aires colorées sur le graphique ci-dessus).

3 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

1. a.  Les valeurs prises par la variable aléatoire X représentent les notes obtenues par Anselme.
Nous pouvons identifier la situation par une répétition de 20 tirages identiques et indépendants à deux issues possibles :
le "succès" : "la réponse donnée est correcte" dont la probabilité est  p=\dfrac{1}{4}
l'"échec" : "la réponse donnée est incorrecte" dont la probabilité est  1-p=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}.
La variable aléatoire X  suit alors la loi binomiale de paramètres n = 20 et  p=\dfrac{1}{4}.
1. b.  A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

P(X\ge10)=1-P(X\le9) \\\phantom{P(X\ge10)}\approx1-0,986 \\\phantom{P(X\ge10)}\approx0,014 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X\ge10)\approx0,014}

Dans la suite, nous admettrons que  P(Y\ge10)\approx0,588\ \ \text{et}\ \ P(Z\ge10)\approx0,962.

2.  Nous devons déterminer PM(B).

Puisque le choix de la copie d'un des trois candidats est aléatoire, nous savons que :

P(A)=P(B)=P(C)=\dfrac{1}{3}.

En tenant compte des résultats précédents, nous pouvons dresser l'arbre de probabilité pondéré :

            
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P_M(B)=\dfrac{P(B\cap M)}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{P(B)\times P_B(M)}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{3}\times 0,588}{P(M)} \\\\\phantom{P_M(B)}=\dfrac{0,196}{P(M)}
Or, selon la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(M)=P(A\cap M)+P(B\cap M)+P(C\cap M) \\\phantom{P(M)}=P(A)\times P_A(M)+P(B)\times P_B(M)+P(C)\times P_C(M) \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times0,014+\dfrac{1}{3}\times0,588+\dfrac{1}{3}\times0,962 \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times(0,014+0,588+0,962) \\\\\phantom{P(M)}=\dfrac{1}{3}\times1,564   \\\\\phantom{P(M)}\approx0,521
D'où  P_M(B)\approx\dfrac{0,196}{0,521}\approx0,376.
Par conséquent, sachant que la copie choisie obtient une note supérieure ou égale à 10, la probabilité qu'il s'agisse de la copie de Barbara est environ égale à 0,376.

6 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

On se place dans le repère orthonormé  \left(A\,;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\ ;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\ ;\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AE}\right).
Dans tout l'exercice, on pourra utiliser les coordonnées des points de la figure sans les justifier.

1.  Déterminons une représentation paramétrique de la droite (PQ).

La droite (PQ) est dirigée par le vecteur  \overrightarrow{PQ} .

\left\lbrace\begin{array}l P(1\,;\,0\,;\,1)\\Q(2\,;\,1\,;\,2)\end{array}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}2-1\\1-0\\ 2-1\end{pmatrix}}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{PQ}\begin{pmatrix}{\red{1}}\\ {\red{1}}\\ {\red{1}}\end{pmatrix}}
La droite (PQ) passe par le point P({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{1}}).
D'où une représentation paramétrique de la droite (PQ) est donnée par :

 \left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{1}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{1}}\times t\\z={\blue{1}}+{\red{1}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})

soit \boxed{(PQ):\left\lbrace\begin{array}l x=1+t\\y=t\\z=1+t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}

2. a.  Nous savons par l'énoncé qu'une représentation paramétrique de la droite (IJ) est   \left\lbrace\begin{array}l x=r\\y=1\\z=0\end{array}\ \ \ (r\in\mathbb{R}).
Puisque le point K appartient à la droite (IJ), ses coordonnées sont de la forme (r  ; 1 , 0).
Les droites (IJ) et (MK) sont orthogonales si et seulement si les vecteurs  \overrightarrow{IJ}  et  \overrightarrow{MK}  sont orthogonaux.
Dès lors, leur produit scalaire est nul.

\left\lbrace\begin{array}l I(0\ ;\,1\ ;\,0)\\J(2\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}2-0\\1-1\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IJ}\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}

\left\lbrace\begin{array}l M(1+t\ ;\,t\ ;\,1+t)\\K(r\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}r-(1+t)\\1-t\\0-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}r-1-t\\1-t\\-1-t\end{pmatrix}}

\begin{matrix} \text{D'où }\ \overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=x_{\overrightarrow{IJ}}\times x_{\overrightarrow{MK}}+y_{\overrightarrow{IJ}}\times y_{\overrightarrow{MK}}+z_{\overrightarrow{IJ}}\times z_{\overrightarrow{MK}}\\\phantom{...\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}}=2(r-1-t)+0(1-t)+0(-1-t)\\\phantom{}=2(r-1-t) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\\\\\overrightarrow{IJ}\perp \overrightarrow{MK}\Longleftrightarrow\overrightarrow{IJ}.\overrightarrow{MK}=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow2(r-1-t)=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow r-1-t=0 \\\phantom{WWW.W}\Longleftrightarrow \boxed{r=1+t}
Par conséquent, les coordonnées du point K sont (1 + t  ; 1 ; 0).

2. b.   \left\lbrace\begin{array}l M(1+t\ ;\,t\ ;\,1+t)\\K(1+t\,;\,1\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}(1+t)-(1+t)\\1-t\\0-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MK}\begin{pmatrix}0\\1-t\\-1-t \end{pmatrix}}

\text{D'où }\ MK=\sqrt{(x_{\overrightarrow{MK}})^2+(y_{\overrightarrow{MK}})^2+(z_{\overrightarrow{MK}})^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{0^2+(1-t)^2+(-1-t)^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{0+1-2t+t^2+1+2t+t^2} \\\phantom{\text{D'où }\ MK}=\sqrt{2+2t^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{MK=\sqrt{2+2t^2}}

3. a.  Le point H(0 ; 2 ; 2) vérifie l'équation y  - z  = 0 car 2 - 2 = 0.
Le point G(2 ; 2 ; 2) vérifie l'équation y  - z  = 0 car 2 - 2 = 0.
Le point B(2 ; 0 ; 0) vérifie l'équation y  - z  = 0 car 0 - 0 = 0.
Les trois points H, G et B ne sont pas alignés.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (HGB) est : y  - z  = 0.

3. b.  Nous savons que tout plan de vecteur normal  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}   admet une équation cartésienne de la
forme  ax   + by   + cz   + d   = 0.
Dès lors, le vecteur  \overrightarrow{n}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}  est un vecteur normal au plan (HBG) d'équation y  - z  = 0.
De plus la droite (ML) est orthogonale au plan (HGB) si et seulement si le vecteur  \overrightarrow{ML}  est orthogonal au plan (HGB) ce qui revient à dire que les vecteurs  \overrightarrow{ML}  et  \overrightarrow{n}  sont colinéaires.

Déterminons les coordonnées du vecteur  \overrightarrow{ML} .
Soit le point L de coordonnées (x  ; y  ; z ).
Ce point L appartient au plan (HGB) dont l'équation peut s'écrire : y  = z .
Les coordonnées du point L sont donc (x  ; y  ; y ).

\left\lbrace\begin{array}l M(1+t\ ;\,t\ ;\,1+t)\\L(x\,;\,y\,;\,y)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}x-(1+t)\\y-t\\y-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}x-1-t\\y-t\\y-1-t\end{pmatrix}}
D'où les vecteurs  \overrightarrow{ML}  et  \overrightarrow{n}  sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre réel k  tel que  \overrightarrow{ML}=k\,\overrightarrow{n}.

\overrightarrow{ML}=k\,\overrightarrow{n}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x-1-t\\y-t\\y-1-t\end{pmatrix}=k\,\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWW..}\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}x-1-t\\y-t\\y-1-t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\k\\-k\end{pmatrix} \\\\\phantom{WWWW..}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x-1-t=0\\y-t=k\\y-1-t=-k\end{matrix} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+t\\y-t=k\\-y+1+t=k\end{matrix}

                              \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+t\\y-t=-y+1+t\end{matrix}

                              \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x=1+t\\2y=1+2t\end{matrix}

                              \Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}x=1+t\\y=\dfrac{1}{2}+t\end{matrix}}
Par conséquent, les coordonnées du point L sont  (1+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t)

{\red{3.\ \text{c. }}}\ \left\lbrace\begin{array}l M(1+t\ ;\,t\ ;\,1+t)\\\\L(1+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t\,;\,\dfrac{1}{2}+t)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}(1+t)-(1+t)\\ (\dfrac{1}{2}+t)-t\\ (\dfrac{1}{2}+t)-(1+t)\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{ML}\begin{pmatrix}0\\\\\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}}
ML=\sqrt{(x_{\overrightarrow{ML}})^2+(y_{\overrightarrow{ML}})^2+(z_{\overrightarrow{ML}})^2} \\\\\phantom{ML}=\sqrt{0^2+(\dfrac{1}{2})^2+(-\dfrac{1}{2})^2} \\\\\phantom{ML}=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}}\Longrightarrow\boxed{ML=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}

Nous en déduisons que la distance ML ne dépend pas de t .

{\red{4.}}\ MK=ML\Longleftrightarrow\sqrt{2+2t^2}=\sqrt{\dfrac{1}{2}} \\\phantom{{\red{4.}}\ MK=ML}\Longleftrightarrow2+2t^2=\dfrac{1}{2} \\\\\phantom{{\red{4.}}\ MK=ML}\Longleftrightarrow4+4t^2=1 \\\\\phantom{{\red{4.}}\ MK=ML}\Longleftrightarrow4t^2=-3\ \ \ \ \ ({\red{\text{impossible}}}\ \text{ car }t\in\R\Longrightarrow 4t^2\ge0)
Par conséquent, il n'existe pas de valeur de t  pour laquelle la distance MK est égale à la distance ML.

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1.  Pour tout entier naturel n ,

\left\lbrace\begin{matrix}z_{n+1}=\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\text{i}\\u_n=z_n-\text{i}\ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \Longrightarrow\ \ \  u_{n+1}=z_{n+1}-\text{i} \\\phantom{WWWWWW..WWWWWWW}=(\dfrac{1}{3}z_n+\dfrac{2}{3}\text{i})-\text{i} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{WWWWWW..WWWWWWW}=\dfrac{1}{3}z_n-\dfrac{1}{3}\text{i}} \\\overset{\frac{}{}}{\phantom{WWWWWW..WWWWWWW}=\dfrac{1}{3}(z_n-\text{i})} \\\\\phantom{WWWWWW..WWW}\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{3}\,u_n}

2.  Nous déduisons de la question 1 que la suite (un ) est une suite géométrique de raison  q=\dfrac{1}{3}  dont le premier terme est u 0 = z 0 - i = 1 - i.
Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{u_n=(1-\text{i})\times(\dfrac{1}{3})^n} , soit  \overset{.}{\boxed{u_n=(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i})}}

{\red{3.\ \text{a}. }}\ |u_n|=|(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i})| \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{a}. }}\ |z_n|}=(\dfrac{1}{3})^n\,|1-\text{i}| \\\\\text{Or }|1-\text{i}|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2} \\\\\text{D'où }\ \boxed{|u_n|=\sqrt{2}\,(\dfrac{1}{3})^n}

{\red{3.\ \text{b.}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=0\\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\overset{}{\sqrt{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}}\right)=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}|u_n|=0 \\\\\phantom{{\red{3.\ \text{b)}}}\ \ 0<\dfrac{1}{3}<1}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}|z_n-\text{i}|=0}

{\red{3.\ \text{c.}}}\ \lim\limits_{n\to+\infty}|z_n-\text{i}|=0\Longleftrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}A_nC=0
Par conséquent, le point An se rapproche du point C lorsque n  tend vers +infini.

{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n=(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i}) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\times\sqrt{2}\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\text{i}(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})\right) \\\\\phantom{{\red{4.\ \text{a.}}}\ u_n}=(\dfrac{1}{3})^n\,\sqrt{2}\times\,\left(\cos(-\dfrac{\pi}{4})+\text{i}\sin(-\dfrac{\pi}{4})\right) \\\\\Longrightarrow\boxed{\arg(u_n)=-\dfrac{\pi}{4}\ [2\pi]}

4. b.  un  est l'affixe du point Bn .
Pour tout entier naturel n , l'argument de un  est indépendant de n  et vaut  -\dfrac{\pi}{4}\ \ \text{modulo }2\pi.
Par conséquent, lorsque n  décrit l'ensemble des entiers naturels, les points Bn appartiennent à la deuxième bissectrice du repère et sont donc alignés.

4. c.  L'affixe du point An est zn .

\left\lbrace\begin{matrix}u_n=z_n-\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \\\\u_n=(\dfrac{1}{3})^n\,(1-\text{i})\end{matrix}\right.\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}z_n=u_n+\text{i}\ \ \ \ \ \ \ \\\\u_n=(\dfrac{1}{3})^n-\text{i}(\dfrac{1}{3})^n\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWXX}\Longrightarrow z_n=(\dfrac{1}{3})^n-\text{i}(\dfrac{1}{3})^n+\text{i} \\\\\phantom{WWWWWWWXX}\Longrightarrow z_n=(\dfrac{1}{3})^n+\text{i}\left(1-(\dfrac{1}{3})^n\right) \\\\\text{Soit }\ z_n=x_n+\text{i}\,y_n \\\\\text{Alors }\ \left\lbrace\begin{matrix}x_n=(\dfrac{1}{3})^n\\\\y_n=1-(\dfrac{1}{3})^n\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{y_n=1-x_n}
Par conséquent, pour tout entier naturel n , le point An appartient à la droite d'équation réduite : y  = -x  + 1.

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On appelle suite de Fibonacci la suite (un ) définie par u 0 = 0, u 1 = 1 et, pour tout entier naturel n  ,  \overset{.}{u_{n+2}=u_{n+1}+u_n}.

On admet que, pour tout entier naturel n , un  est un entier naturel.

Partie A

{\red{1.\ \text{a. }}}\ \boxed{u_0=0} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }\boxed{u_1=1}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_2=u_1+u_0=1+0=1\Longrightarrow\boxed{u_2=1}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_3=u_2+u_1=1+1=2\Longrightarrow\boxed{u_3=2}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_4=u_3+u_2=2+1=3\Longrightarrow\boxed{u_4=3}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_5=u_4+u_3=3+2=5\Longrightarrow\boxed{u_5=5}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_6=u_5+u_4=5+3=8\Longrightarrow\boxed{u_6=8}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_7=u_6+u_5=8+5=13\Longrightarrow\boxed{u_7=13}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_8=u_7+u_6=13+8=21\Longrightarrow\boxed{u_8=21}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_9=u_8+u_7=21+13=34\Longrightarrow\boxed{u_9=34}} \\\overset{}{\phantom{\red{1.\ \text{a. }}\ }u_{10}=u_9+u_8=34+21=55\Longrightarrow\boxed{u_{10}=55}}

1. b.  Nous pouvons conjecturer que pour tout entier naturel n , le PGCD de un  et un+1  est égal à 1.

2.  Soit la suite (vn ) définie par  v_n=u_n^2-u_{n+1}\times u_{n-1}\ \ \ \ \ (n\in\N^*)

{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}=u_{n+1}^2-u_{n+2}\times u_{n} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}}=u_{n+1}^2-(u_{n+1}+u_n)\times u_{n} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}}=u_{n+1}^2-u_{n+1}\times u_{n}-u_n^2=(u_{n+1}^2-u_{n+1}\times u_{n})-u_n^2 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{a.}}}\ v_{n+1}}=u_{n+1}(u_{n+1}-u_{n})-u_n^2 \\\\\text{Or }\ u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\Longleftrightarrow u_{n+1}-u_n=u_{n-1} \\\\\text{D'où }\ v_{n+1}=u_{n+1}\times u_{n-1}-u_n^2 \\\\\phantom{\text{D'où }\ v_{n+1}}=-v_n \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}=-v_n}

2. b.  Nous avons montré dans la question 2. a. que pour tout nombre entier naturel non nul n , v n +1 = -vn.
Nous en déduisons que la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q  = -1 dont le premier terme est  v_1=u_1^2-u_{2}\times u_{0}=1^2-1\times0=1
Le terme général de la suite (vn ) est  v_n=v_1\times q^{n-1} .
Donc, pour tout entier naturel n  non nul,  \overset{.}{v_n=1\times(-1)^{n-1}} , soit  \overset{.}{v_n=(-1)^{n-1}}
Par conséquent, pour tout entier naturel n  non nul,  \overset{.}{\boxed{u_n^2-u_{n+1}\times u_{n-1}=(-1)^{n-1}}}

2. c.  Soit d = PGCD(un ,u n +1).

\text{Si }n\text{ est un entier naturel non nul,} \\\\\left.\begin{matrix}d\ \text{divise }u_n\Longrightarrow d\ \text{divise }u_n^2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\d\ \text{divise }u_{n+1}\Longrightarrow d\ \text{divise }u_{n+1}\times u_{n-1}\end{matrix}\right\rbrace\ \Longrightarrow\ d\ \text{divise }u_n^2-u_{n+1}\times u_{n-1} \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWWWw.}\Longrightarrow\ \boxed{d\ \text{divise }(-1)^{n-1}}

Les diviseurs de (-1)n -1 sont 1 et -1.
Puisque d  est un nombre positif, nous en déduisons que d  = 1.
D'où, pour tout entier naturel n  non nul, PGCD(un ,u n +1)=1.
De plus, PGCD(u 0,u 1) = PGCD(0,1) = 1.
Par conséquent, pour tout entier naturel n , PGCD(un ,u n +1)=1, ce qui démontre la conjecture émise à la question 1.b.


Partie B

Soit la matrice  F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}.

1.  A l'aide de la calculatrice, nous obtenons  F^2=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}  et  F^3=\begin{pmatrix}3&2\\2&1\end{pmatrix}.

2.  Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n  non nul,  F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}.

Initialisation : Montrons que la relation est vraie pour n  = 1.

Montrons donc que  F^1=\begin{pmatrix}u_{2}&u_1\\u_1&u_{0}\end{pmatrix}.

Par la question 1.a. de la partie A, nous savons que u 0 = 0, u 1 = 1 et u 2 = 1.
Dès lors,  F=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\ \ \Longrightarrow \ \ \boxed{F^1=\begin{pmatrix}u_{2}&u_1\\u_1&u_{0}\end{pmatrix}}.
L'initialisation est donc vraie.

Hérédité  : Si pour un nombre naturel non nul n  fixé, la relation est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n +1.
Autrement dit, si pour un nombre naturel non nul n  fixé,  F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix} , montrons que  F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_{n}\end{pmatrix}.
En effet,

F^{n+1}=F^n\times F \\\phantom{F^{n+1}}=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix} \\\\\phantom{F^{n+1}}=\begin{pmatrix}u_{n+1}\times1+u_n\times1&&u_{n+1}\times1+u_n\times0\\u_n\times1+u_{n-1}\times1&&u_n\times1+u_{n-1}\times0\end{pmatrix} \\\\\phantom{F^{n+1}}=\begin{pmatrix}u_{n+1}+u_n&u_{n+1}\\u_n+u_{n-1}&u_n\end{pmatrix} \\\\\phantom{F^{n+1}}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix} \\\\\Longrightarrow\boxed{F^{n+1}=\begin{pmatrix}u_{n+2}&u_{n+1}\\u_{n+1}&u_n\end{pmatrix}}
Dès lors, l'hérédité est vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n  non nul,  F^n=\begin{pmatrix}u_{n+1}&u_n\\u_n&u_{n-1}\end{pmatrix}.

3. a.  Soit n  un entier naturel non nul.

F^{2n+2}=F^{n+2}\times F^n \Longleftrightarrow\begin{pmatrix}u_{2n+3}&u_{2n+2}\\ {\red{u_{2n+2}}}&u_{2n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}u_{n+3}&u_{n+2}\\ {\red{u_{n+2}}}&{\red{u_{n+1}}}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}{\red{u_{n+1}}}&u_n\\ {\red{u_n}}&u_{n-1}\end{pmatrix}
Par identification des coefficients situés sur la 2ème ligne 1ère colonne, nous obtenons :  \boxed{{\red{u_{2n+2}}}={\red{u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n}}}

3. b.  Nous venons de montrer que pour tout entier n  non nul,  u_{2n+2}=u_{n+2}\times u_{n+1}+u_{n+1}\times u_n, 
soit que  u_{2n+2}= u_{n+1}(u_{n+2}+u_n).

Par définition de la suite de Fibonacci, nous savons que u_{n+2}=u_{n+1}+u_n,  soit que  u_{n+1}=u_{n+2}-u_n

\text{D'où }\ u_{2n+2}=(u_{n+2}-u_n)(u_{n+2}+u_n)=u_{n+2}^2-u_n^2 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_{2n+2}=u_{n+2}^2-u_n^2}

4.  Nous avons montré dans la question 3. b. que pour tout entier n  non nul,  u_{2n+2}=u_{n+2}^2-u_n^2 

Si n = 5, alors 2n + 2 = 12 et n  + 2 = 7.
Nous obtenons alors :  \overset{.}{u_{12}=u_{7}^2-u_5^2} , soit  u_{7}^2=u_{12}+u_5^2.

Or nous savons par la question 1.a. de la Partie A que u 5 = 5 et u 7 = 13.
De plus, 144 = 122.
D'où  \overset{.}{u_{7}^2=u_{12}+u_5^2}\Longleftrightarrow13^2=12^2+5^2.

Par conséquent, selon la réciproque du théorème de Pythagore, il existe un triangle rectangle dont la longueur de l'hypoténuse est 13 et les longueurs des deux autres côtés sont 12 et 5.

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