Fiche de mathématiques

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Bac S Obligatoire et Spécialité

Nouvelle Calédonie Novembre 2019

Durée : 4 heures

Coefficients : 7 (obligatoire)-9 (Spécialité)

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie Novembre 2019 : image 6

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5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

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5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

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5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

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Correction

Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie

Novembre 2019

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie A

1. Arbre pondéré complété à ce stade de la résolution :

Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie Novembre 2019 : image 18

2. Nous devons déterminer $P_{F}(M).$

$P_{F}(M)=\dfrac{P(M\cap F)}{P(F)} \\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{P(M)\times P_M(F)}{P(F)}\\\\\phantom{P_{F}(M)}=\dfrac{0,25\times0,06}{P(F)} \\\\\text{Or 2,25}\%\ \text{des carreaux sont fissurés}\Longrightarrow P(F)=0,0225\\\\\text{D'où } P_{F}(M)=\dfrac{0,25\times0,06}{0,0225} =\dfrac{0,0150}{0,0225}=\dfrac{150}{225}=\dfrac{2\times75}{3\times75} \\\\\Longrightarrow\boxed{{P_{F}(M)}=\dfrac{2}{3}}$
Par conséquent, sachant que le carreau prélevé est fissuré, la probabilité qu'il s'agisse d'un carreau avec motif est $\dfrac{2}{3}.$

3. Nous devons déterminer $P_{\overline{M}}(F).$

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(F)= P(M\cap F)+P(\overline{M}\cap F) \\P(F)=P(M)\times P_{M}(F)+P(\overline{M})\times P_{\overline{M}}(F)\\\\ 0,0225=0,25\times0,06+0,75\times P_{\overline{M}}(F)\Longleftrightarrow0,0225=0,015+0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow0,0075=0,75\times P_{\overline{M}}(F) \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow P_{\overline{M}}(F)=\dfrac{0,0075}{0,75}=\dfrac{1}{100} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_{\overline{M}}(F)=0,01}$

Nous pouvons ainsi compléter l'arbre pondéré traduisant l'ensemble de la situation :

Bac S obligatoire et spécialité Nouvelle Calédonie Novembre 2019 : image 17

Partie B

La variable aléatoire X suit la loi normale d'espérance

= 11 et d'écart-type sigma

.

1. Sachant qu'un carreau est commercialisable si son épaisseur mesure entre 10,1 mm et 11,9 mm, nous savons que 99% des carreaux sont commercialisables.

Nous obtenons ainsi : $P(10,1\le X\le 11,9)=0,99.$

$\text{Dès lors }\ P(X<10,1)+P(10,1\le X\le11,9)+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+0,99+P(X>11,9)=1 \\\\\phantom{WWWWWWWW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01 \\\\\text{Or }\ {\red{P(X>11,9)}} =P(X>11+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X>\mu+0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<\mu-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}=P(X<11-0,9) \\\phantom{\text{Or }\ P(X>11,9)}\,{\red{=P(X<10,1)}} \\\\\text{D'où }\ P(X<10,1)+P(X>11,9)=0,01\Longleftrightarrow P(X<10,1)+P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow 2P(X<10,1)=0,01 \\\\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW..WW}\Longleftrightarrow P(X<10,1)=\dfrac{0,01}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X<10,1)=0,005}$

2. Soit $Z=\dfrac{X-11}{\sigma}.$

2. a. Z suit la loi normale centrée réduite.

${\red{2.\ \text{b.} }}\ \ P(X<10,1)=0,005\Longleftrightarrow P(X-11<10,1-11)=0,005 \\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(X-11<-0,9)=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow P(\dfrac{X-11}{\sigma}<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005 \\\\\phantom{WWWWWWWWWW.W}\Longleftrightarrow \boxed{P(Z<-\dfrac{0,9}{\sigma})=0,005}$

2. c. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $-\dfrac{0,9}{\sigma}\approx-2,5758293.$

$-\dfrac{0,9}{\sigma}\approx-2,5758293\Longrightarrow\dfrac{-0,9}{-2,5758293}\approx\sigma \\\\\phantom{-\dfrac{0,99}{\sigma}\approx-2,5758293}\Longrightarrow\sigma\approx0,3494020$

Par conséquent, $\boxed{\sigma\approx0,35}\ \ \ \ (\text{arrondi au centième}).$

Partie C

1. Pour tout réel x dans l'intervalle [0 ; 2

],

$-1\le\cos(x)\le1\Longleftrightarrow{\red{1,5\ \times\ }}(-1)\le{\red{1,5\ \times\ }}\cos(x)\le{\red{1,5\ \times\ }}1 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\le1,5\cos(x)\le1,5 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow-1,5\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\cos(x)\ {\red{+\ 1,5}}\le1,5\ {\red{+\ 1,5}} \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow0\le1,5\cos(x)+1,5\le3 \\\\\phantom{-1\le\cos(x)\le1}\Longleftrightarrow\boxed{0\le f(x)\le3}$
D'où la fonction f est positive sur l'intervalle [0 ; 2].

2. La fonction f est continue et positive sur l'intervalle [0 ; 2

].
L'aire exprimée en unité d'aire du domaine compris entre la courbe $\mathscr{C}_1$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations x = 0 et x = 2

est donnée par $\mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx$ .

$\mathscr{A}_1=\int\limits_{0}^{2\pi}f(x)\,dx=\int\limits_{0}^{2\pi}(-1,5\cos(x)+1,5)\,dx \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(x)+1,5x}\right]\limits_{0}^{2\pi} \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{-1,5\sin(2\pi)+1,5\times2\pi}\right]-\left[\overset{}{-1,5\sin(0)+1,5\times0}\right] \\\\\phantom{W}=\left[\overset{}{0+3\pi}\right]-\left[\overset{}{0+0}\right] \\\\\phantom{W}=3\pi$

Par conséquent, l'aire d'un carreau est égale à $\boxed{\mathscr{A}=2\mathscr{A}_1=6\pi\ \text{(u.a.)}}$

5 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

${\red{1.}}\ \ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)=\lim\limits_{x\to+\infty}\left(\dfrac{3x}{x}\right)=3\\\\\lim\limits_{X\to3}\ln(X)=\ln(3)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \underset{\underset{\text{ en posant }X=\frac{3x+1}{x+1}}{\text{par composition}}}{\Longrightarrow}\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)=\ln(3). \\\\\\\text{Dès lors }\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\ln(3)}$

Par conséquent, la courbe représentative de la fonction f admet une asymptote horizontale en + dont l'équation est : y = ln(3).

2. a. Nous savons que $\left(\overset{}{\ln(u(x))}\right)'=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.$

$\text{Si }\ u(x)=\dfrac{3x+1}{x+1},\\\\\text{alors }\ u'(x)=\dfrac{(3x+1)'\times(x+1)-(3x+1)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\\phantom{\text{alors }\ u'(x)}=\dfrac{3\times(x+1)-(3x+1)\times1}{(x+1)^2} =\dfrac{3x+3-3x-1}{(x+1)^2} \\\phantom{\text{alors }\ u'(x)} =\dfrac{2}{(x+1)^2} \\\\\text{D'où }\ \ \dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{\dfrac{2}{(x+1)^2}}{\dfrac{3x+1}{x+1}}=\dfrac{2}{(x+1)^2}\times\dfrac{x+1}{3x+1}=\dfrac{2(x+1)}{(x+1)^2(3x+1)}\\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{u'(x)}{u(x)}=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}}$

Nous obtenons donc : $\boxed{f'(x)=\dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}}$

${\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x+1>0\\3x+1>0\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ (x+1)(3x+1)>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \dfrac{2}{(x+1)(3x+1)}>0 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{b. }}}\ \ x\in[0\,;\ +\infty[\ \Longleftrightarrow x\ge0}\Longrightarrow\ \boxed{f'(x)>0}$

Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.

Partie B

Soit la suite (u_n ) définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u_{n+1}=f(u_n)\ \ \ \ \ (\text{avec }\ n\in \N)\end{matrix}\right.$

1. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons la relation : $\dfrac{1}{2}$ infegal

u _n+1

u _n.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que $\overset{.}{\dfrac{1}{2}}$ infegal

u ₁

u ₀.
$u_1=f(u_0)=f(3)=\ln\left(\dfrac{3\times3+1}{3+1}\right)=\ln\left(\dfrac{10}{4}\right)=\ln(2,5)\approx0,916 \\\\\text{D'où }\left\lbrace\begin{matrix}u_1\approx0,916\\u_0=3\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\ \ {\red{\dfrac{1}{2}\le u_1\le u_0}}\ \ \ \ \ (\text{car }0,5\le0,916\le3)$
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé la relation $\dfrac{1}{2}$ infegal

u _n+1

u _n est vraie au rang n , montrons que cette relation est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que $\overset{.}{\dfrac{1}{2}}$ infegal

u _n+2

u _n+1.

Nous avons montré dans la question 2. b. de la partie A que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; + infini

[.

$\text{Dès lors, }\ \dfrac{1}{2}\le u_{n+1}\le u_n\Longrightarrow f(\dfrac{1}{2})\le f(u_{n+1})\le f(u_n) \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}f(\dfrac{1}{2})=\ln\left(\dfrac{3\times\frac{1}{2}+1}{\frac{1}{2}+1}\right)=\ln\left(\dfrac{\frac{5}{2}}{\frac{3}{2}}\right)=\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)\approx0,51\Longrightarrow\dfrac{1}{2}\le f(\dfrac{1}{2})\\\\f(u_{n+1})=u_{n+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\f(u_n)=u_{n+1}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que $\dfrac{1}{2} \le f(\dfrac{1}{2})\le u_{n+2}\le u_{n+1}$ , soit que $\dfrac{1}{2} \le u_{n+2}\le u_{n+1}$
Donc l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous obtenons la relation : $\dfrac{1}{2}$ u _n+1 u _n.

2. Nous avons montré dans la question précédente que la suite (u_n ) est décroissante et minorée par $\dfrac{1}{2}.$
Cette suite (u_n ) est donc convergente.
Si nous notons la limite de cette suite par $\ell$ , nous avons alors la relation suivante : $\ell\ge\dfrac{1}{2}>0.$
Par conséquent, la suite (u_n ) converge vers une limite strictement positive.

Partie C

1. Sur l'intervalle ]0 ; x₀]
La fonction g est continue et strictement croissante sur l'intervalle ]0 ; x₀].
Cela signifie que pour tout x , $0<x\le x_0\Longrightarrow g(0)<g(x)\le g(x_0)$ ,
soit que $0<x\le x_0\Longrightarrow 0<g(x)\le g(x_0).$
Puisque g (x ) > 0 sur ]0 ; x₀], l'équation g (x ) = 0 n'admet pas de solution sur l'intervalle ]0 ; x₀].

Sur l'intervalle [x₀ ; +[
La fonction g est continue et strictement décroissante sur [x₀ ; + infini

[.
$g(x_0)>0\ \ \text{et }\ \ \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty.$
Donc 0 est compris entre $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)$ et g (x₀).
D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution $\alpha$ appartenant à l'intervalle [x₀ ; + infini

[.

Par conséquent, l'équation g (x ) = 0 admet une unique solution strictement positive notée .

2. a. Algorithme complété.

$\begin{array}{|c|}\hline x\longleftarrow0,22\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que }\ {\red{\ln\left(\dfrac{3x+1}{x+1}\right)-x>0}}\ \ \text{faire} \\x\longleftarrow x+0,01\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}$

2. b. En utilisation le tableur de la calculatrice, nous obtenons les résultats suivants :
g (0,52) environegal

1,2969 > 0.
g (0,53) environegal

-3,6099 < 0.
D'où la dernière valeur prise par la variable x lors de l'exécution de l'algorithme est 0,53.

3. Selon l'énoncé, nous admettons que $f(\ell )=\ell.$

$\text{Or }\ f(\ell )=\ell\Longleftrightarrow f(\ell )-\ell=0 \\\phantom{\text{Or }\ f(\ell )=\ell}\Longleftrightarrow\boxed{ g(\ell )=0}$
Par l'exercice 2. b., nous savons que $\ell\approx0,53.$
En conclusion, une valeur approchée à moins de 0,01 près de la limite $\ell$ de la suite (u_n ) est 0,53.

5 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

1. Le point I est le milieu du segment [ED].

$\left\lbrace\begin{array}l E(0\ ;\,0\ ;\,1)\\D(0\,;\,1\,;\,0)\end{array} \Longrightarrow I:(\dfrac{x_E+x_D}{2}\,;\,\dfrac{y_E+y_D}{2}\,;\,\dfrac{z_E+z_D}{2})=(\dfrac{0+0}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{1+0}{2})\\\\\Longrightarrow\boxed{I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})}$

2. a. Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{FI}$ et $\overrightarrow{FJ}$ du plan (FIJ).

$\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\I(0\,;\,\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{1}{2})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}0-1\\\\\dfrac{1}{2}-0\\\\\dfrac{1}{2}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FI}\begin{pmatrix}-1\\\\\dfrac{1}{2}\\\\-\dfrac{1}{2} \end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\J(1\,;\,1\,;\,\dfrac{2}{5})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}1-1\\\\1-0\\\\\dfrac{2}{5}-1\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{FJ}\begin{pmatrix}0\\\\1\\\\-\dfrac{3}{5} \end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{FI}$ et $\overrightarrow{FJ}$ ne sont pas colinéaires.
De plus,
$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FI}\ \ &\ (-1)\times(-1)+3\times\dfrac{1}{2}+5\times(-\dfrac{1}{2})\\\ \ &\ 1+ \dfrac{3}{2}-\dfrac{5}{2}\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FI}}$

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{FJ}\ \ &\ (-1)\times0+3\times1+5\times(-\dfrac{3}{5})\\\ \ &\ 0+3-3\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{FJ}}$

Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{FI}$ et $\overrightarrow{FJ}$ du plan (FIJ), nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (FIJ).

2. b. Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}-1\\3\\5\end{pmatrix}$ est normal au plan (FIJ), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (FIJ) est de la forme -x + 3y + 5z + d = 0.

Or le point F(1 ; 0 ; 1) appartient au plan (FIJ).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où -1 + 0 + 5 + d = 0 , soit d = -4.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (FIJ) est $\boxed{-x+3y+5z-4=0}.$

3. Nous notons d la droite passant par le point B et orthogonale au plan (FIJ).

3. a. Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .

La droite d est orthogonale au plan (FIJ).
Cette droite est donc dirigée par le vecteur $\boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{-1}}\\ {\red{3}}\\ {\red{5}}\end{pmatrix}}$ .

La droite d passe par le point $B({\blue{1}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).$

D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par :

$\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{1}}+{\red{(-1)}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{3}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{5}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$

soit $\boxed{d :\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t\\z=5t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

3. b. Les coordonnées du point M sont les solutions du système composé par les équations de la droite d et du plan (FIJ), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\-x+3y+5z-4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\ -(1-t)+3\times3t+5\times5t-4=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\-1+t+9t+25t-4=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\35t-5=0\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\35t=5\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=1-t\\y=3t \\z=5t\\t=\dfrac{5}{35}=\dfrac{1}{7}\end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{6}{7}\\\\y=\dfrac{3}{7}\\\\z=\dfrac{5}{7}\\\\t=\dfrac{1}{7}\end{array}$

D'où les coordonnées du point M sont $\boxed{(\dfrac{6}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\, ;\, \dfrac{5}{7})}.$

${\red{4.\ \text{a. }}}\ \left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\\\M(\dfrac{6}{7}\,;\,\dfrac{3}{7}\,;\,\dfrac{5}{7})\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}\dfrac{6}{7}-1\\\\\dfrac{3}{7}-0\\\\\dfrac{5}{7}-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{7}\\\\\dfrac{3}{7}\\\\\dfrac{5}{7}\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l B(1\ ;\,0\ ;\,0)\\\\F(1\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}1-1\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BF}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=-\dfrac{1}{7}\times0+\dfrac{3}{7}\times0+\dfrac{5}{7}\times1\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{7}}$

${\red{4.\ \text{b. }}}\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=BM\times BF\times\cos(\widehat{MBF}) \\\\\text{où }\ \left\lbrace\begin{matrix}BM=\sqrt{(x_{\overrightarrow{BM}})^2+(y_{\overrightarrow{BM}})^2+(z_{\overrightarrow{BM}})^2}=\sqrt{(-\dfrac{1}{7})^2+(\dfrac{3}{7})^2+(\dfrac{5}{7})^2}\ \ \\=\sqrt{\dfrac{1}{49}+\dfrac{9}{49}+\dfrac{25}{49}}=\sqrt{\dfrac{35}{49}}=\dfrac{\sqrt{35}}{7}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\BF=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$\text{Dès lors, }\ \overrightarrow{BM}.\overrightarrow{BF}=\dfrac{5}{7}\Longleftrightarrow BM\times BF\times\cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \dfrac{\sqrt{35}}{7}\times 1\times\cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{7}\times\dfrac{7}{\sqrt{35}} \\\phantom{WWWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \cos(\widehat{MBF})=\dfrac{5}{\sqrt{35}}$

A l'aide de la calculatrice, nous obtenons : $\boxed{\widehat{MBF}\approx32^{\text{o}}\ \ \ \ \text{(arrondi au degré près)}}$

Partie B

1.  Rappelons le théorème suivant :
Si deux plans sont parallèles , tout plan qui coupe l'un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles.

Les plans (FBC) et (EAD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (FBC) selon la droite (FJ).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan (EAD) selon la droite (LK) parallèle à la droite (FJ).

De même, les plans (FBA) et (GCD) sont parallèles.
Le plan (FIJ) coupe le plan (GCD) selon la droite (JL).
D'après le théorème en rappel, le plan (FIJ) coupera le plan FBA selon la droite (FK) parallèle à la droite (JL).

Dès lors, le quadrilatère FJLK est un parallélogramme car ses côtés sont parallèles deux à deux.

2. Un parallélogramme est un losange s'il a deux côtés consécutifs de même longueur.
Exprimons par exemple que FJ = JL.

$\left\lbrace\begin{array}l F(1\ ;\,0\ ;\,1)\\J(1\,;\,1\,;\,\alpha)\end{array}\Longrightarrow FJ=\sqrt{(x_J-x_F)^2+(y_J-y_F)^2+(z_J-z_F)^2}$
                                                          $=\sqrt{(1-1)^2+(1-0)^2+(\alpha-1)^2}\\=\sqrt{1+(\alpha-1)^2}$

$\left\lbrace\begin{array}l J(1\,;\,1\,;\,\alpha)\\L(0\ ;\,1\ ;\,\dfrac{\alpha}{2})\end{array}\Longrightarrow JL=\sqrt{(x_L-x_J)^2+(y_L-y_J)^2+(z_L-z_J)^2}$
                                                          $\\=\sqrt{(0-1)^2+(1-1)^2+(\dfrac{\alpha}{2}-\alpha)^2} \\=\sqrt{1+(-\dfrac{\alpha}{2})^2}\\=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2}$

$FJ=JL\Longleftrightarrow\sqrt{1+(\alpha-1)^2}=\sqrt{1+(\dfrac{\alpha}{2})^2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow1+(\alpha-1)^2=1+(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow(\alpha-1)^2=(\dfrac{\alpha}{2})^2 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha-1=\dfrac{\alpha}{2}\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha-1=-\dfrac{\alpha}{2} \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\dfrac{\alpha}{2}=1\ \ \ \text{ou}\ \ \ \dfrac{3\alpha}{2}=1 \\\\\phantom{FJ=JL}\Longleftrightarrow\alpha=2\ \ \ \text{ou}\ \ \ \alpha=\dfrac{2}{3} \\\\\text{Or }\ \alpha\in[0\,;1] \\\\\text{D'où }\boxed{\alpha=\dfrac{2}{3}}$
Par conséquent, le quadrilatère FKLJ est un losange si $\alpha=\dfrac{2}{3}.$

5 points

exercice 4 : Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Partie A

Soit l'équation (E ) : 25z ² - 14z + 25 = 0.

1. Résolvons dans

l'équation (E ).

$\text{Discriminant : }\ \Delta=(-14)^2-4\times25\times25=196-2500=-2304<0 \\\\\text{Solutions : }\ z_1=\dfrac{14+\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14+48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7+24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_1=\dfrac{7+24\text{i}}{25}=\dfrac{7}{25}+\text{i}\dfrac{24}{25}} \\\\\phantom{Solutions : }\ z_2=\dfrac{14-\text{i}\sqrt{2304}}{2\times25}=\dfrac{14-48\text{i}}{2\times25}=\dfrac{2(7-24\text{i})}{2\times25}\Longrightarrow\boxed{z_2=\dfrac{7}{25}-\text{i}\dfrac{24}{25}\ (=\overline{z_1})}$

${\red{2.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}|z_1|=\sqrt{(\dfrac{7}{25})^2+(\dfrac{24}{25})^2}=\sqrt{\dfrac{49}{625}+\dfrac{576}{625}}=\sqrt{\dfrac{625}{625}}=\sqrt{1}=1 \\\\|z_2|=|\overline{z_1}|=|z_1|=1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\boxed{|z_1|=|z_2|=1}$

${\red{3.\ }}\ z_1=\dfrac{7}{25}+\text{i}\dfrac{24}{25}=\cos(\alpha)+\text{i}\sin(\alpha)\Longrightarrow\boxed{z_1=\text{e}^{\text{i}\alpha}} \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ z_2=\overline{z_1}\Longrightarrow\boxed{z_2=\text{e}^{-\text{i}\alpha}}$

4. L'image du nombre complexe z₁ est le point du cercle unité dont les coordonnées sont $(\dfrac{7}{25}\,;\dfrac{24}{25}).$
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point A.
L'image du nombre complexe z₂ est le point du cercle unité dont les coordonnées sont $(\dfrac{7}{25}\,;-\dfrac{24}{25}).$
Le point du cercle correspondant à ces coordonnées est le point D.

Partie B

${\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ A\ :\ }\left(\dfrac{1}{2}+\text{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2019}=1} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation fausse.}}}$

$\dfrac{1}{2}+\text{i}\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos\dfrac{\pi}{3}+\text{i}\,\sin\dfrac{\pi}{3}=\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$

$\text{Nous obtenons ainsi : }\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\text{i}\right)^{2019}=(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}})^{2019}=\text{e}^ {\text{i}\frac{2019}{3}\pi}=\text{e}^ {\text{i}673\pi} =\text{e}^ {\text{i}672\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} \\\\\phantom{wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww}=\text{e}^ {\text{i}\times 336\times2\pi}\times \text{e}^ {\text{i}\pi} =1\times (-1)=-1 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\text{i}\right)^{2019}=-1\ {\red{\neq1}}}$

${\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ B\ :\ }\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=0} \longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

$z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})\Longrightarrow|z|=\dfrac{1}{6}\sqrt{2^2+5^2}=\dfrac{1}{6}\sqrt{4+25} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow|z|=\dfrac{\sqrt{29}}{6} \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{\sqrt{29}}{6}\right)^n=0\ \ \ \ \text{car }0<\dfrac{\sqrt{29}}{6}<1 \\\\\phantom{z=\dfrac{1}{6}(2+5\text{i})}\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}|z|^n=0}$

${\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Affirmation\ C\ :\ }\text{Pour tout nombre réel }}a\text{ de }[-\pi\,;0]\text{ tel que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25},} \\\phantom{WWWWWWWW..}\blue{\text{ on a }\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}\longrightarrow{\red{\text{Affirmation vraie.}}}$

Nous savons que

$\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)+\sin^2(a)=1\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=\cos^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\cos^2(a)=1-\sin^2(a)\\\cos(2a)=1-\sin^2(a)-\sin^2(a)\end{matrix}\right. \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$

$\text{Nous savons également que }\cos(2a)=\dfrac{7}{25} \\\\\text{Donc }\cos(2a)=1-2\sin^2(a)\Longleftrightarrow \dfrac{7}{25}=1-2\sin^2(a) \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=1-\dfrac{7}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow 2\sin^2(a)=\dfrac{18}{25} \\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin^2(a)=\dfrac{9}{25} \\\\\phantom{WWWWWWWWWWW...}\Longleftrightarrow \sin(a)=\dfrac{3}{5}\ \ \ \text{ou }\ \ \ \sin(a)=-\dfrac{3}{5} \\\\\text{Or }a\in[-\pi\,;0]\Longrightarrow\sin(a)<0. \\\\\text{D'où }\ \boxed{\sin(a)=-\dfrac{3}{5}}$

5 points

exercice 4 : Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite (a_n ) définie pour tout entier naturel n par $a_n=\dfrac{4^{2n+1}+1}{5}$

${\red{1.\ \text{a. }}}\ a_2=\dfrac{4^{2\times2+1}+1}{5}=\dfrac{4^{5}+1}{5}=\dfrac{1025}{5}\Longrightarrow\boxed{a_2=205} \\\\a_3=\dfrac{4^{2\times3+1}+1}{5}=\dfrac{4^{7}+1}{5}=\dfrac{16\,385}{5}\Longrightarrow\boxed{a_3=3\,277}$

1. b. En utilisant l'algorithme d'Euclide, déterminons le plus grand commun diviseur de a₂ et a₃.

$205=3277\times0+205 \\3277=205\times15+202 \\205=202\times1+3 \\202=3\times67+{\red{1}} \\3=1\times3+0$
Donc le plus grand commun diviseur de a₂ et a₃ est 1.
Par conséquent, a₂ et a₃ sont premiers entre eux.

2. Pour tout entier naturel n ,

$a_{n+1}=\dfrac{4^{2(n+1)+1}+1}{5}=\dfrac{4^{2n+2+1}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)+2}+1}{5}=\dfrac{4^{(2n+1)}\times4^2+1}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+1}{5}=\dfrac{16\times4^{(2n+1)}+16-15}{5}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)-15}{5} \\\\\phantom{a_{n+1}}=\dfrac{16\times\left(\overset{}{4^{(2n+1)}+1}\right)}{5}-\dfrac{15}{5}=16\times\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}-3=16\times a_n-3 \\\\\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}=16a_n-3 }$

3. Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , a_n est un nombre entier naturel.

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons donc que a₀ est un nombre entier naturel.
La démonstration est évidente puisque $a_{0}=\dfrac{4^{2\times0+1}+1}{5}=\dfrac{4^{1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1\in\N$ .
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, la proposition "a_n est un nombre entier naturel" est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que a_n+1 est un nombre entier naturel.

Nous savons par la question 2. que $a_{n+1}=16a_n-3.$
Par hypothèse de récurrence, a_n est un nombre entier naturel.
Nous en déduisons que a _n +1 est un nombre entier relatif.
Montrons que a_n +1 est positif.

$\left\lbrace\begin{matrix}\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}>0\\\\a_n=\dfrac{4^{(2n+1)}+1}{5}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \ \ a_n>0 \\\\\text{Or }a_n\ \text{est un nombre naturel.} \\\\\text{D'où }\ a_n\ge1. \\\\\text{Dès lors, }\ a_n\ge1\Longrightarrow16a_n\ge16 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3\ge13 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow16a_n-3>0 \\\phantom{\text{Dès lors, }\ a_n\ge1}\Longrightarrow\boxed{a_{n+1}>0}$
Donc a_n +1 est un nombre entier naturel et l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , a_n est un nombre entier naturel.

4. a. Par la question 2, nous obtenons : $a_{n+1}=16a_n-3\ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ 16a_n-a_{n+1}=3.$
d_n est le plus grand diviseur commun de a_n et a_n +1.
Donc d_n est un diviseur de 16a_n - a_n +1, c'est-à-dire que d_n est un diviseur de 3.
Par conséquent, d_n est égal à 1 ou à 3.

4. b. Pour tout entier naturel n ,

$\left\lbrace\begin{matrix}16\equiv1\,[3]\\-3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}16a_n\equiv a_n\,[3]\\ -3\equiv0\,[3]\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ 16a_n-3\equiv a_n\,[3] \\\phantom{WWWWWWWWWWWWWWW...}\Longrightarrow\ \ \ \boxed{a_{n+1}\equiv a_n\,[3]}\ \ \ \ (\text{car }\ a_{n+1}=16a_n-3\text{ par la question 2.})$

${\red{4.\ \text{c. }}}\ a_0=\dfrac{4^{0+1}+1}{5}=\dfrac{5}{5}=1 \\\\\ \ \ \ \ \ \ \ \text{Or }1\equiv1\,[3] \\\\\Longrightarrow\boxed{a_0\equiv1\,[3]}$

Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel n , a_n n'est pas divisible par 3 en montrant que $a_n\equiv1\,[3]$ .

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour n = 0.
Montrons que $a_0\equiv1\,[3]$ .
La démonstration a été réalisée ci-dessus.
Donc l'initialisation est vraie.

Hérédité : Si pour un entier naturel n fixé, la proposition " $a_n\equiv1\,[3]$ " est vraie au rang n , montrons que cette proposition est encore vraie au rang n + 1.
Montrons alors que $a_{n+1}\equiv1\,[3]$ .

Nous savons par la question 4. b. que $a_{n+1}\equiv a_n\,[3].$
Par hypothèse de récurrence, $a_n\equiv1\,[3]$ .
Nous en déduisons que $a_{n+1}\equiv1\,[3]$ et l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies,
nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , a_n n'est pas divisible par 3 car $a_n\equiv1\,[3].$

4. d. Des questions précédentes, nous pouvons déduire que d_n ne peut pas être égal à 3.
D'où d_n = 1.
Par conséquent, a_n et a_n +1 sont premiers entre eux.

5. Pour tout entier naturel n , $\left\lbrace\begin{matrix}b_n=2^{n+1}(2^n-1)+1\\\\c_n=2^{n+1}(2^n+1)+1\end{matrix}\right.$

Nous admettons que pour tout entier n supérieur ou égal à 2,      5a_n = b_n c_n .

5. a. Nous savons que 5a_n = b_n c_n si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
Deux cas sont possibles :
ou bien 5 divise b_n
ou bien 5 ne divise pas b_n et dans ce cas, montrons que 5 divise c_n .
        5 divise le produit b_n c_n car nous savons que 5a_n = b_n c_n si n est un nombre entier supérieur ou égal à 2.
        5 est premier avec b_n car 5 est un nombre premier.
        Par le théorème de Gauss, nous en déduisons que 5 divise c_n .
Par conséquent, pour tout entier n supérieur ou égal à 2,
5 divise b_n ou 5 divise c_n .

$\left\begin{matrix}{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n+1\ge3\\2^n\ge2^2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge2^3\\2^n\ge4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge8\\2^n-1\ge3\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)\ge8\times3 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)\ge24 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n-1)+1\ge25>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{b_n>5}\end{matrix}\right.$        $\ \ \ \left\begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\| \end{matrix}\right.$        $\begin{matrix}n\ge2\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}n+1\ge3\\2^n\ge2^2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge2^3\\2^n\ge4\end{matrix}\right. \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}2^{n+1}\ge8\\2^n+1\ge5\end{matrix}\right. \\\\\phantom{wwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)\ge8\times5 \\\\\phantom{www.{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)\ge40 \\\\\phantom{wwwwwwww{\red{5.\ \text{b. }}}\ n\ge2}\Longrightarrow2^{n+1}(2^n+1)+1\ge41>5 \\\\\phantom{{\red{5.\ \text{b. }}}..}\Longrightarrow\boxed{c_n>5}\end{matrix}\right.$

5. c. Nous savons par la question 5.a. que 5 divise b_n ou 5 divise c_n .

Premier cas : 5 divise b_n .
Puisque 5 divise b_n et que nous savons par la question 5.b. que b_n > 5, nous en déduisons que $\dfrac{b_n}{5}$ est un nombre naturel différent de 1.
$\text{Or }\ 5a_n=b_nc_n\Longrightarrow \boxed{a_n=\dfrac{b_n}{5}\times c_n}$
Dès lors, sachant que c_n est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que a_n est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc a_n n'est pas un nombre premier.

Second cas : 5 divise c_n .
Puisque 5 divise c_n et que nous savons par la question 5.b. que c_n > 5, nous en déduisons que $\dfrac{c_n}{5}$ est un nombre naturel différent de 1.
$\text{Or }\ 5a_n=b_nc_n\Longrightarrow \boxed{a_n=b_n\times\dfrac{c_n}{5}}$
Dès lors, sachant que b_n est un nombre naturel supérieur à 5, nous remarquons que a_n est le produit de deux nombre naturels différents de 1.
Donc a_n n'est pas un nombre premier.

Par conséquent, dans chaque cas, a_n n'est pas un nombre premier.

Publié par malou le 17-01-2020

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