2. L'événement peut se traduire par : "la personne a moins de 30 ans et pratique le compostage "
3. Nous devons déterminer
Par conséquent, la probabilité que la personne ait plus de 50 ans et pratique le compostage est égale à 0,245.
4. Calculons la probabilité que la personne choisie pratique le compostage, soit P (C ).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Puisque P (C ) > 0,5, il est vrai qu'il y a plus d'une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage.
5. Nous devons calculer
Par conséquent, sachant que la personne choisie pratique le compostage, la probabilité qu'elle ait plus de 50 ans est environ égale à 0,46.
8 points
exercice 2
Partie A
Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de bénéficiaires (en milliers) de l'ACTP de 2007 à 2016.
1. Le taux d'évolution en pourcentage du nombre de bénéficiaires de l'ACTP entre l'année 2007 et l'année 2008 est donné par le calcul suivant :
Donc entre l'année 2007 et l'année 2008, le nombre de bénéficiaires de l'ACTP a baissé d'environ 8,3 %
2. La formule à saisir dans la cellule C4 est
3. Le nuage de points de coordonnées (xi ; yi ) associé aux données du tableau précédent est représenté ci-dessous par l'ensemble des croix bleues :
4. Déterminons les coordonnées (xG ; yG ) du point moyen G du nuage.
D'où les coordonnées du point G sont (4,5 ; 87,3).
Plaçons le point G sur le graphique ci-dessus.
5. Soit la droite (D ) d'ajustement du nuage de points d'équation y = -5,9x + 113,85.
5. a. Montrons que les coordonnées du point G vérifient l'équation de la droite (D ).
Dans l'équation de (D ) , remplaçons x par 4,5.
-5,9 4,5 + 113,85 = -26,55 + 113,85 = 87,3.
Puisque le résultat obtenu est 87,3, nous en déduisons que le point G (4,5 ; 87,3) appartient à la droite (D ).
5. b. Déterminons les coordonnées de deux points de la droite (D ).
Soit A le premier de ces points dont l'abscisse est 2.
Dans l'équation de (D ) , remplaçons x par 2.
-5,9 2 + 113,85 = -11,8 + 113,85 = 102,05.
D'où le point A (2 ; 102,05) appartient à la droite (D ).
Nous avons montré que le point G appartient également à la droite (D ).
Nous pouvons tracer cette droite (D ) sur le graphique ci-dessus en traçant la droite (AG).
6. La valeur de x correspondant à l'année 2019 est x = 12 car 2019 = 2007 + 12.
Dans l'équation de (D ) , remplaçons x par 12.
-5,9 12 + 113,85 = -70,8 + 113,85 = 43,05 43.
Par conséquent, nous pouvons estimer qu'en 2019, il y aura environ 43 000 bénéficiaires de l'ACTP en France.
Partie B
Le coefficient multiplicateur correspond à une augmentation de 6 % est égal à 1 + 0,06 = 1,06.
2. Chaque année, le nombre de bénéficiaires de la PCH augmente de 6 %.
Une augmentation de 6 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,06 = 1,06.
Dès lors, pour tout n 0,
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,06 et dont le premier terme est u0 = 266.
3. a. Le terme général de la suite (un ) est .
Donc, pour tout n 0,
3. b. Le rang correspondant à l'année 2022 est n = 7 car 2022 = 2015 + 7.
D'où
Par conséquent, en 2022, le nombre de bénéficiaires de la PCH est estimé à environ 400 000 (valeur arrondie au millier).
4. Déterminons le plus petit entier naturel n vérifiant l'inéquation un > 500.
Puisque n est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n vérifiant l'inéquation est n = 11.
Le rang n = 11 représente l'année 2015 + 11 = 2026.
Par conséquent, à partir de l'année 2026, le nombre de bénéficiaires de la PCH dépassera 500 000.
7 points
exercice 3
Partie A
Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 16] par
1. Expression de la dérivée f' (x )
3. Tableau de signes de la dérivée f' et de variations de f .
4. En nous basant sur le tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que le maximum de la fonction est égal à 60 (arrondi à l'unité).
Ce maximum est atteint pour x = 8,3.
Partie B
Ci-dessous, les courbes représentatives de deux fonctions dans un repère du plan : est la courbe représentative de la fonction f étudiée dans la partie A :
elle représente la quantité d'antigènes présents dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination. représente la quantité d'anticorps dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
1. a. L'ordonnée du point de la courbe d'abscisse 6,5 est environ égale à 55.
Par conséquent, la quantité d'antigènes présents dans le sang 6,5 jours après la contamination est de 55 UA environ.
1. b. Le graphique indique que la production d'anticorps commence au bout de 3 jours. (voir courbe )
2. Selon le graphique, la quantité d'antigènes dépasse 50 UA pendant 5 jours environ.
3. En utilisant les résultats de la question 4. de la Partie A, nous déduisons que la quantité d'antigènes est maximale au bout de 8,3 jours, soit au bout d'environ 8 jours et 7 heures. Cette quantité maximale est alors égale à environ 60 UA.
4. La personne est considérée comme guérie lorsque la quantité d'anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d'antigènes présents dans le sang.
Les deux courbes du graphique se coupent en un point dont l'abscisse vaut environ 12,25.
La courbe est au-dessus de la courbe pour des valeurs de x supérieures à 12,25.
Dans ce cas, la quantité d'anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d'antigènes et la personne est considérée comme guérie.
Par conséquent, la personne est considérée comme guérie au bout de 12,25 jours.
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peut se traduire par : "la personne a moins de 30 ans et pratique le compostage "=P(J)\times P_J(C) \\\phantom{P(J\cap C)}=0,2\times0,3 \\\phantom{P(J\cap C)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(J\cap C)=0,06})
.)
=P(S)\times P_S(C) \\\phantom{P(S\cap C)}=0,35\times0,7 \\\phantom{P(S\cap C)}= 0,245 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S\cap C)=0,245})
= P(J\cap C)+P(M\cap C)+P(S\cap C) \\\phantom{P(C)}=0,06+P(M)\times P_M(C)+0,245\\\phantom{P(C)}=0,06+0,45\times0,5+0,245\\\phantom{P(C)}=0,53 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,53\ {\red{>0,5}}})
.)
=\dfrac{P(S\cap C)}{P(C)} \\\\\phantom{P_C(S)}=\dfrac{0,245}{0,53} \approx0,46 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_C(S)\approx0,46} \ \ \ \ (\text{arrondi au centième}))
/B3}}})
4,5 + 113,85 = -26,55 + 113,85 = 87,3.
43.
0, 
.
})
>\ln(\dfrac{500}{266}) \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,06)>\ln(\dfrac{500}{266}) \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{500}{266})}{\ln(1,06)}\ \ \ \ \text{(Conservation du sens de l'inégalité car }\ln(1,06)>0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{500}{266})}{\ln(1,06)}\approx10,831)
=-0,16x^3+2,22x^2-3,7848x+30.)
=(-0,16x^3)'+(2,22x^2)'-(3,7848x)'+30'} \\\phantom{f'(x)}=-0,16\times3x^2+2,22\times2x-3,7848+0 \\\phantom{f'(x)}=-0,48x^2+4,44x-3,7848 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-0,48x^2+4,44x-3,7848})
(-0,48x+0,456)=-0,48x^2+0,456x+8,3\times0,48x-8,3\times0,456 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=-0,48x^2+0,456x+3,984x-3,7848 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=-0,48x^2+4,44x-3,7848 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(x-8,3)(-0,48x+0,456)})
=-0,16\times0^3+2,22\times0^2-3,7848\times0+30=30\\f(0,95)=-0,16\times0,95^3+2,22\times0,95^2-3,7848\times0,95+30=28,27081\\f(8,3)=-0,16\times8,3^3+2,22\times8,3^2-3,7848\times8,3+30=60,03604\\f(16)=-0,16\times16^3+2,22\times16^2-3,7848\times16+30=-117,5968)
&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline &30&&&&\approx60,04&&\\\text{variations de }f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\approx28,27&&&&\approx-117,60\\\hline \end{array})
est la courbe représentative de la fonction f étudiée dans la partie A :
elle représente la quantité d'antigènes présents dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
représente la quantité d'anticorps dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
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