Fiche de mathématiques
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Bac ST2S Antilles-Guyane 2019

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Durée : 2 heures

Coefficient : 3



5 points

exercice 1

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8 points

exercice 2

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7 points

exercice 3

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Annexe 1 à rendre avec la copie

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Annexe 2 à rendre avec la copie

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Bac ST2S Antilles-Guyane 2019

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5 points

exercice 1

1.  Arbre de probabilité complété :

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2.  L'événement  J\cap C  peut se traduire par : "la personne a moins de 30 ans et pratique le compostage "

P(J\cap C)=P(J)\times P_J(C) \\\phantom{P(J\cap C)}=0,2\times0,3 \\\phantom{P(J\cap C)}=0,06 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(J\cap C)=0,06}

3.  Nous devons déterminer  P(S\cap C).

P(S\cap C)=P(S)\times P_S(C) \\\phantom{P(S\cap C)}=0,35\times0,7 \\\phantom{P(S\cap C)}= 0,245 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(S\cap C)=0,245}
Par conséquent, la probabilité que la personne ait plus de 50 ans et pratique le compostage est égale à 0,245.

4.  Calculons la probabilité que la personne choisie pratique le compostage, soit P (C ).

En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(C)= P(J\cap C)+P(M\cap C)+P(S\cap C) \\\phantom{P(C)}=0,06+P(M)\times P_M(C)+0,245\\\phantom{P(C)}=0,06+0,45\times0,5+0,245\\\phantom{P(C)}=0,53 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(C)=0,53\ {\red{>0,5}}}

Puisque P (C ) > 0,5, il est vrai qu'il y a plus d'une chance sur deux que la personne choisie pratique le compostage.

5.  Nous devons calculer  P_{C}(S).

P_C(S)=\dfrac{P(S\cap C)}{P(C)} \\\\\phantom{P_C(S)}=\dfrac{0,245}{0,53} \approx0,46 \\\\\Longrightarrow\boxed{P_C(S)\approx0,46} \ \ \ \ (\text{arrondi au centième})
Par conséquent, sachant que la personne choisie pratique le compostage, la probabilité qu'elle ait plus de 50 ans est environ égale à 0,46.

8 points

exercice 2

Partie A

Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de bénéficiaires (en milliers) de l'ACTP de 2007 à 2016.

Bac ST2S Antilles-Guyane 2019 : image 14


1.  Le taux d'évolution en pourcentage du nombre de bénéficiaires de l'ACTP entre l'année 2007 et l'année 2008 est donné par le calcul suivant : \overset{.}{\dfrac{\text{Valeur en 2008}-\text{Valeur en 2007}}{\text{Valeur en 2007}}\times100}=\dfrac{110-120}{120}\times100\approx-8,3.
Donc entre l'année 2007 et l'année 2008, le nombre de bénéficiaires de l'ACTP a baissé d'environ 8,3 %

2.  La formule à saisir dans la cellule C4 est \boxed{{\red{=(C3-B3)/B3}}}

3.  Le nuage de points de coordonnées (xi  ; yi ) associé aux données du tableau précédent est représenté ci-dessous par l'ensemble des croix bleues :

                
Bac ST2S Antilles-Guyane 2019 : image 12


4.  Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+1+2+3+4+5+6+7+8+9}{10}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{120+110+100+92+87+82+76+72+69+65}{10}\ \ \ \ \end{matrix}\right. \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}x_G=4,5 \\\\y_G=87,3\end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (4,5 ; 87,3).
Plaçons le point G sur le graphique ci-dessus.

5.  Soit la droite (D ) d'ajustement du nuage de points d'équation y  = -5,9x  + 113,85.

5. a.  Montrons que les coordonnées du point G  vérifient l'équation de la droite (D ).
  Dans l'équation de (D ) , remplaçons x  par 4,5.
-5,9 multiplie 4,5 + 113,85 = -26,55 + 113,85 = 87,3.
Puisque le résultat obtenu est 87,3, nous en déduisons que le point G (4,5 ; 87,3) appartient à la droite (D ).

5. b.  Déterminons les coordonnées de deux points de la droite (D ).
  Soit A le premier de ces points dont l'abscisse est 2.
Dans l'équation de (D ) , remplaçons x  par 2.
-5,9 multiplie 2 + 113,85 = -11,8 + 113,85 = 102,05.
D'où le point A (2 ; 102,05) appartient à la droite (D ).
 Nous avons montré que le point G  appartient également à la droite (D ).
Nous pouvons tracer cette droite (D ) sur le graphique ci-dessus en traçant la droite (AG).

6.  La valeur de x  correspondant à l'année 2019 est x  = 12 car 2019 = 2007 + 12.
Dans l'équation de (D ) , remplaçons x  par 12.
-5,9 multiplie 12 + 113,85 = -70,8 + 113,85 = 43,05 environegal 43.
Par conséquent, nous pouvons estimer qu'en 2019, il y aura environ 43 000 bénéficiaires de l'ACTP en France.

Partie B

Le coefficient multiplicateur correspond à une augmentation de 6 % est égal à 1 + 0,06 = 1,06.

{\red{1. }}\ u_1=1,06\times u_0 \\\phantom{{\red{1. }}\ u_1}=1,06\times266\\\phantom{{\red{1. }}\ u_1}=281,96 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_1=281,96.} \\\\u_2=1,06\times u_1 \\\phantom{u_2}=1,06\times281,96\\\phantom{u_2}=298,8776 \\\\\Longrightarrow\boxed{u_2=298,8776.}

2.  Chaque année, le nombre de bénéficiaires de la PCH augmente de 6 %.
Une augmentation de 6 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,06 = 1,06.
Dès lors, pour tout n  supegal 0,  u_{n+1}=1,06\times u_n
Nous en déduisons que la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,06 et dont le premier terme
est u 0 = 266.


3. a.  Le terme général de la suite (un ) est  u_n=u_0\times q^{n} .
Donc, pour tout n  supegal 0,  \overset{.}{\boxed{u_n=266\times1,06^{n}}}

3. b.  Le rang correspondant à l'année 2022 est n  = 7 car 2022 = 2015 + 7.
D'où  \overset{.}{u_7=266\times1,06^7\Longrightarrow\boxed{u_7\approx400}\ \ \ \ (\text{arrondi à l'unité})}
Par conséquent, en 2022, le nombre de bénéficiaires de la PCH est estimé à environ 400 000 (valeur arrondie au millier).

4.  Déterminons le plus petit entier naturel n  vérifiant l'inéquation un > 500.

u_n>500\Longleftrightarrow 266\times1,06^n>500 \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow1,06^n>\dfrac{500}{266} \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow\ln(1,06^n)>\ln(\dfrac{500}{266}) \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,06)>\ln(\dfrac{500}{266}) \\\\\phantom{u_n>500}\Longleftrightarrow n>\dfrac{\ln(\dfrac{500}{266})}{\ln(1,06)}\ \ \ \ \text{(Conservation du sens de l'inégalité car }\ln(1,06)>0)  \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(\dfrac{500}{266})}{\ln(1,06)}\approx10,831
Puisque n  est un nombre entier naturel, la plus petite valeur de n  vérifiant l'inéquation est n  = 11.
Le rang n  = 11 représente l'année 2015 + 11 = 2026.
Par conséquent, à partir de l'année 2026, le nombre de bénéficiaires de la PCH dépassera 500 000.

7 points

exercice 3

Partie A

Soit f  la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 16] par f(x)=-0,16x^3+2,22x^2-3,7848x+30.

1.  Expression de la dérivée f' (x )
     \overset{.}{f'(x)=(-0,16x^3)'+(2,22x^2)'-(3,7848x)'+30'} \\\phantom{f'(x)}=-0,16\times3x^2+2,22\times2x-3,7848+0 \\\phantom{f'(x)}=-0,48x^2+4,44x-3,7848 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-0,48x^2+4,44x-3,7848}

{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)=-0,48x^2+0,456x+8,3\times0,48x-8,3\times0,456 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=-0,48x^2+0,456x+3,984x-3,7848 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=-0,48x^2+4,44x-3,7848 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ (x-8,3)(-0,48x+0,456)}=f'(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(x-8,3)(-0,48x+0,456)}

3.  Tableau de signes de la dérivée f'  et de variations de f .

\begin{matrix}\\\\x-8,3=0\Longleftrightarrow x=8,3\\\phantom{3x-12=}\\\phantom{3x-12=}\\\\x-8,3<0\Longleftrightarrow x<8,3\\\phantom{3x-12=}\\\phantom{3x-12=}\\\\x-8,3>0\Longleftrightarrow x>8,3\\\phantom{3x-12=}\\\phantom{3x-12=}\\\phantom{3x-12=}\\\phantom{3x-12=}\\\dfrac{}{}\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\\\\end{matrix} \ \ \ \ \begin{matrix}-0,48x+0,456=0\Longleftrightarrow 0,48x=0,456\Longleftrightarrow x=\dfrac{0,456}{0,48}\\\phantom{............................................................}\Longleftrightarrow x=0,95\\\\-0,48x+0,456<0\Longleftrightarrow 0,48x>0,456\Longleftrightarrow x>\dfrac{0,456}{0,48}\\\phantom{............................................................}\Longleftrightarrow x>0,95\\\\-0,48x+0,456>0\Longleftrightarrow 0,48x<0,456\Longleftrightarrow x<\dfrac{0,456}{0,48}\\\phantom{............................................................}\Longleftrightarrow x<0,95\\\\\\\end{matrix}

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\f(0)=-0,16\times0^3+2,22\times0^2-3,7848\times0+30=30\\f(0,95)=-0,16\times0,95^3+2,22\times0,95^2-3,7848\times0,95+30=28,27081\\f(8,3)=-0,16\times8,3^3+2,22\times8,3^2-3,7848\times8,3+30=60,03604\\f(16)=-0,16\times16^3+2,22\times16^2-3,7848\times16+30=-117,5968

          \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&&x&0&&0,95&&8,3&&16\\&&&&&&& \\\hline \text{signe de }x-8,3&&-&-&-&0&+&\\\hline \text{Signe de }-0,48x+0,456&&+&0&-&-&-&\\\hline&&&&&&&& \text{Signe de }f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline &30&&&&\approx60,04&&\\\text{variations de }f&&\searrow&&\nearrow&&\searrow&\\&&&\approx28,27&&&&\approx-117,60\\\hline \end{array}

4.  En nous basant sur le tableau de variations de la fonction f , nous déduisons que le maximum de la fonction est égal à 60 (arrondi à l'unité).
Ce maximum est atteint pour x  = 8,3.


Partie B

Ci-dessous, les courbes représentatives de deux fonctions dans un repère du plan :
  \mathscfr{C}_f  est la courbe représentative de la fonction f  étudiée dans la partie A : elle représente la quantité d'antigènes présents dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.
  \mathscfr{C}_g  représente la quantité d'anticorps dans le sang en UA (Unité Arbitraire) en fonction du temps (en jours) écoulé depuis la contamination.

Bac ST2S Antilles-Guyane 2019 : image 13


1. a.  L'ordonnée du point de la courbe  \mathscfr{C}_f  d'abscisse 6,5 est environ égale à 55.
Par conséquent, la quantité d'antigènes présents dans le sang 6,5 jours après la contamination est de 55 UA environ.

1. b.  Le graphique indique que la production d'anticorps commence au bout de 3 jours. (voir courbe  \mathscfr{C}_g )

2. Selon le graphique, la quantité d'antigènes dépasse 50 UA pendant 5 jours environ.

3.  En utilisant les résultats de la question 4. de la Partie A, nous déduisons que la quantité d'antigènes est maximale au bout de 8,3 jours, soit au bout d'environ 8 jours et 7 heures.
Cette quantité maximale est alors égale à environ 60 UA.

4.  La personne est considérée comme guérie lorsque la quantité d'anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d'antigènes présents dans le sang.
Les deux courbes du graphique se coupent en un point dont l'abscisse vaut environ 12,25.
La courbe  \mathscfr{C}_g  est au-dessus de la courbe  \mathscfr{C}_f  pour des valeurs de x supérieures à 12,25.
Dans ce cas, la quantité d'anticorps présents dans le sang est supérieure à la quantité d'antigènes et la personne est considérée comme guérie.
Par conséquent, la personne est considérée comme guérie au bout de 12,25 jours.
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