Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques STI2D-STL spé SPCL

Polynésie 2018

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4
4 points

exercice 1

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exercice 2

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exercice 3

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exercice 4

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4 points

exercice 1

Partie A


{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b:}\ \underset{x<1}{\lim\limits_{x\to1}}\,f(x)=-\infty}
La réponse a.  n'est pas correcte car  \lim\limits_{x\to+\infty}\,f(x)=0\neq1

La réponse c.  n'est pas correcte car  \underset{x>1}{\lim\limits_{x\to1}}\,f(x)=+\infty\neq-\infty}

La réponse d.  n'est pas correcte car  \lim\limits_{x\to-\infty}\,f(x)=0\neq-\infty

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ g(t)=\cos(3t)+\sin(3t)
Soit omega un réel donné non nul.
Les fonctions g  solutions de l'équation différentielle  y''+\omega^2y=0  sont définies par  y=g(t)=\alpha\cos(\omega t)+\beta\sin(\omega t)  avec  \alpha et  \beta des constantes réelles.

Donc les fonctions g  solutions de l'équation différentielle  y''+9y=0  sont définies par  y=g(t)=\alpha\cos(3t)+\beta\sin(3t)  avec  \alpha et  \beta des constantes réelles.

\text{Or }\ g(0)=1\Longleftrightarrow\alpha\cos(3\times0)+\beta\sin(3\times0)=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\alpha\cos0+\beta\sin0=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\alpha\times1+\beta\times0=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\boxed{\alpha=1}
D'où les fonctions g  solutions de l'équation différentielle  y''+9y=0  vérifiant la relation g (0) = 1 sont définies par  y=g(t)=\cos(3t)+\beta\sin(3t)  avec  \beta une constante réelle.

Par conséquent, une solution g  de l'équation différentielle  y''+9y=0  vérifiant la relation g (0) = 1 est définie par  \overset{.}{g(t)=\cos(3t)+\sin(3t).}

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ b:}\ 2+e^{-2}
\overset{.}{\text{Pour tout réel }x>2,\ \  \ln(x-2)=-2\Longleftrightarrow x-2=\text{e}^{-2}} \\\phantom{\text{Pour tout réel }x>2,\ \  \ln(x-2)=-2}\Longleftrightarrow \boxed{x=2+\text{e}^{-2}}

{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d:}\ h'(x)=(1-2x)\text{e}^{-2x}
\overset{.}{h'(x)=\left(x\,\text{e}^{-2x}\right)'} \\\phantom{h'(x)}=x'\times\text{e}^{-2x}+x\times\left(\text{e}^{-2x}\right)' \\\phantom{h'(x)}=1\times\text{e}^{-2x}+x\times\left(-2x\right)'\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=\text{e}^{-2x}+x\times\left(-2\right)\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=\text{e}^{-2x}-2x\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=(1-2x)\,\text{e}^{-2x} \\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-2x}}

Partie B


\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 1 :\ }\text{La forme algébrique de }z_A\ \text{est }\ \sqrt{2}-i\sqrt{2}.\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}

z_A=\dfrac{\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2}}{\text{i}}=\dfrac{(\sqrt{2}+\text{i}\sqrt{2})\times\text{i}}{\text{i}\times\text{i}}=\dfrac{\text{i}\sqrt{2}+\text{i}^2\sqrt{2}}{\text{i}^2}=\dfrac{\text{i}\sqrt{2}-\sqrt{2}}{-1}=-\text{i}\sqrt{2}+\sqrt{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}}
D'où l'affirmation 1 est vraie.

\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 2 :\ }\text{Un argument de }z_C\ \text{est }\ \dfrac{\pi}{6}\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ FAUSSE}
z_C=-2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}
Nous savons que  -\text{i}=\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}.

\text{Donc }\ z_C=-2\text{i}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} =2\times(-\text{i})\times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}

Par conséquent, un argument de z C  est  -\dfrac{2\pi}{3}.
D'où l'affirmation 2 est fausse.

\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 3 :\ }\text{Les points }A,\ B\ \text{et }C\ \text{sont sur un même cercle de centre }O.}\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}

\left\lbrace\begin{matrix}z_A=\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}\\\\z_B={\blue{2}}\,\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\ \ \ \ \ \\\\z_C={\red{2}}\,\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}|z_A|=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\\\|z_B|={\blue{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\|z_C|={\red{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{|z_A|=|z_B|=|z_C|=2}
Nous en déduisons que  OA=OB=OC=2.
Par conséquent, les points A, B  et C  sont sur un même cercle de centre O .
D'où l'affirmation 3 est vraie.

\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 4 :\ }O\ \text{est le milieu du segment }[BC]\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}
Le point O  est le milieu de [BC ] equivaut les affixes zB  et zC  sont opposées.
                                                                        equivaut |zB | = |zC | et arg(zB ) = pi + arg(zC )

\text{Or }\ \boxed{|z_B|=|z_C|=2}\ \ \ \ (\text{voir affirmation 3)} \\\\\phantom{\text{Or }\ }\left\lbrace\begin{matrix}z_B=2\,\text{e}^{\text{i}{\blue{\frac{\pi}{3}}}}\ \ \ \ \ \\\\z_C=2\,\text{e}^{-\text{i}{\red{\frac{2\pi}{3}}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\arg(z_B)={\blue{\dfrac{\pi}{3}}}\\\\\arg(z_C)={\red{-\dfrac{2\pi}{3}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\arg(z_B)=\pi+\arg(z_C)}\ \ \ [\text{car }\dfrac{\pi}{3}=\pi+(-\dfrac{2\pi}{3})]

Puisque |zB | = |zC | et arg(zB ) = pi + arg(zC ), nous avons montré que les affixes zA  et zB  sont opposées et par conséquent que le point O  est le milieu de [BC ].
D'où l'affirmation 4 est vraie.

6 points

exercice 2

Partie A

1.   Pourcentage d'augmentation :  \dfrac{\text{valeur en 2016}-\text{valeur en 2015}}{\text{valeur en 2015}}\times100=\dfrac{93\,100-65\,793}{65\,793}\times100\approx41,50.

D'où le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France est d'environ 42 % (arrondi à 1 %).

On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France sera constante et égale à 40 %.

2. a)  Le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2017 correspond à u 1.
Une augmentation de 40 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,4 = 1,4.
\overset{.}{u_1=1,4\times u_0=1,4\times93\,100=130\,340.}
Donc nous pouvons estimer à 130 340 le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2017.

2. b)  Le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre de l'année 2016 + (n +1) s'obtient en multipliant par 1,4 le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre de l'année 2016 + n.
Nous obtenons ainsi la relation  \red{u_{n+1} = 1,4\times u_n.}
Par conséquent, la suite (un )  est une suite géométrique de raison q = 1,4 et dont le premier terme
est u 0 = 93 100.


2. c)  Calculons le terme général un  de cette suite géométrique.
u_n=u_0\times(\text{raison})^{n}\Longrightarrow\boxed{u_n=93\,100\times1,4^{n}}
L'indice n  correspondant à l'année 2020 est 4 car 2020 = 2016 + 4.
\overset{.}{u_{4}=93\ 100\times1,4^{4}\approx357\,653.}
Donc le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2020 peut être estimé
à environ 357 653.
Puisque 357 653 est supérieur à 350 000, l'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est validée par le modèle proposé.

3. a)  Algorithme complété :

                 \begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u\longleftarrow93\,100\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }\red{u<1\,000\,000}\ \ \ \  \\n\longleftarrow \red{n+1}\\\ \ \ \ u\longleftarrow \red{1,4\times u}\ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

3. b)  Nous souhaitons estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France dépassera 1 000 000 avec ce modèle.
Il convient donc d'afficher la valeur de la variable n .

3. c)  Tableau reprenant les valeurs successives prises par les variables n  et u  jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
                 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline {\blue{n}}&0&1&2&3&4&5&6&7&8& \hline {\blue{u}}&93100&130340&182476&255466&357653&500714&701000&981400\ {\green{<1000000}}&1373959\ {\red{\ge1000000}}\\\hline \end{array}
La valeur de la variable n  à la fin de l'exécution de l'algorithme est n  = 8.

Nous aurions pu également trouver cette valeur de n  en déterminant le plus petit entier n  à partir
duquel un  > 1 000 000.

u_n>1\,000\,000\Longleftrightarrow93\,100\times 1,4^n>1\,000\,000 \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow1,4^n>\dfrac{1\,000\,000}{93\,100} \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow\ln(1,4^n)>\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,4)>\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n\ {\red{>}}\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) }{\ln(1,4)}\\\frac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Maintien du sens de l'inégalité car }\ln(1,4)>0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right)}{\ln(1,4)}\approx7,0558
D'où, le plus petit entier n  à partir duquel un  > 1 000 000 est n  = 8.
Par conséquent, la valeur de la variable n  à la fin de l'exécution de l'algorithme est n  = 8.

3. d)  Puisque 2016 + 8 = 2024, selon ce modèle, le nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France dépassera 1 000 000 en 2024.

Partie B

1.   La variable aléatoire T  qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre lambda.
\overset{.}{\text{Donc l'espérance mathématique de }T\ \text{est }\ E(T)=\dfrac{1}{\lambda}.}
Or la durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.
Nous en déduisons que  \overset{.}{\dfrac{1}{\lambda}=7}, soit que  \overset{.}{\boxed{\lambda=\dfrac{1}{7}}}

2.   Pour la suite, nous prendrons  \lambda=0,143.

2. a)  La loi exponentielle de paramètre lambda sur [0 ; +infini[ a pour densité la fonction f  définie sur [0 ; +infini[ par \overset{.}{f(t)=\lambda\text{e}^{-\lambda t}}, où lambda est un réel strictement positif.
Donc la variable aléatoire T  suit la loi exponentielle de paramètre lambda = 0,143 qui a pour densité la fonction f définie sur [0 ; +infini[ par \overset{.}{f(t)=0,143\text{e}^{-0,143 t}.}
Nous devons calculer P(T  supegal 8).

P(T\ge8)=1-P(T<8) =1-\int\limits_0^80,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=1+\int\limits_0^8(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =1+\int\limits_0^8(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^8 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 \times8}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =1+[\text{e}^{-1,144}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+\text{e}^{-1,144}-1 =\text{e}^{-1,144} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\ge8)=\text{e}^{-1,144}\approx0,319}

2. b)  Nous devons calculer P(T  infegal 4).

P(T\le4)=\int\limits_0^40,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=-\int\limits_0^4(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =-\int\limits_0^4(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^4 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 \times4}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =-[\text{e}^{-0,572}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\le4)}=-[\text{e}^{-0,572}-1]=1-\text{e}^{-0,572}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\le4)=1-\text{e}^{-0,572}\approx0,436}

{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75\Longleftrightarrow1-P(T\le t_0)=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1-\int\limits_0^{t_0}0,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^{t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 \times t_0}-\text{e}^{-0,143 \times0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143t_0}-\text{e}^{0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+\text{e}^{-0,143t_0}-1=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,143t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow-0,143t_0=\ln(0,75) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\boxed{t_0=\dfrac{\ln(0,75)}{-0,143}\approx2}

Signification dans le contexte de l'exercice : 0,75 représente la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion dure
                                                                                                  plus de deux ans.


4 points

exercice 3

Partie A

1. a)   Nous renouvelons 75 fois de manière indépendante et identique le choix aléatoire d'un ascenseur.
Lors de chaque choix, deux issues sont possibles :
le "succès" (l'ascenseur est en panne) de probabilité p = 0,08
l'"échec" (l'ascenseur fonctionne) de probabilité 1 - p = 1 - 0,08 = 0,92.

Donc la variable aléatoire X  suit une loi binomiale de paramètres n = 75 et p = 0,08.

1. b)   Nous devons calculer P (X  = 5).
Avec l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

P(X=5)=\begin{pmatrix}75\\5\end{pmatrix}\times0,08^5\times(1-0,08)^{75-5} \\\\\phantom{P(X=5)}=\begin{pmatrix}75\\5\end{pmatrix}\times0,08^5\times0,92^{70} \\\\\phantom{P(X=5)}\approx0,165
D'où la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est environ égale à 0,165.

1. c)   Nous devons calculer P (X  supegal 5).

P(X\ge5)=1-P(X<5) \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)] \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-\begin{pmatrix}75\\0\end{pmatrix}\times0,08^0\times0,92^{75}-\begin{pmatrix}75\\1\end{pmatrix}\times0,08^1\times0,92^{74}-\begin{pmatrix}75\\2\end{pmatrix}\times0,08^2\times0,92^{73}\\\phantom{P(X=5)}-\begin{pmatrix}75\\3\end{pmatrix}\times0,08^3\times0,92^{72}-\begin{pmatrix}75\\4\end{pmatrix}\times0,08^4\times0,92^{71} \\\\\phantom{P(X\le5)}\approx0,726
D'où la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est environ égale à 0,726.

1. d) E(X ) = np  = 75 multiplie 0,08 = 6.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire X  est égale à 6.

2. a)   Nous devons calculer P (5 infegal Y  infegal 10).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  P(5\le Y\le10)\approx0,62054367.
En arrondissant le résultat à 10-3,  \boxed{P(5\le Y\le10)\approx0,621}
Par conséquent, la probabilité d'obtenir entre 5 et 10 ascenseurs en panne un jour donné est environ égale à 0,621.

2. b.)  La variable aléatoire Y  suit la loi normale d'espérance mu = 6.

Nous savons alors que  P(Y\ge6)=P(Y\ge \mu)=0,5.

\text{Dès lors, }\ P(Y\ge6)=P(6\le Y\le10)+P(Y\ge10) \\\\\Longrightarrow P(Y\ge10)=P(Y\ge6)-P(6\le Y\le10) \\\phantom{\Longrightarrow P(Y\ge10)}=0,5-P(6\le Y\le10) \\\phantom{\Longrightarrow P(Y\ge10)}\approx0,5-0,456\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{par la calculatrice, nous obtenons }\ P(6\le Y\le10)\approx0,456) \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y\ge10)\approx0,044}
Par conséquent, la probabilité d'obtenir plus de 10 ascenseurs en panne un jour donné est environ égale à 0,044.

Partie B

75 ascenseurs sont contrôlés chaque jour pendant 30 jours.
Donc sur un période de 30 jours, nous pouvons considérer que le nombre d'ascenseurs contrôlés
est n  = 30 multiplie 75 = 2250.
Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I2250  au seuil de 95 % de la fréquence des pannes dans cet échantillon de 2250 ascenseurs.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=2250\ge30 \\ p=0,08\Longrightarrow np=2250\times0,08=180>5 \\n(1-p)= 2250\times(1-0,08)= 2250\times0,92=2070>5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I2250  au seuil de 95% est :

I_{2250}=\left[0,08-1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}};0,08+1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2250}\approx[0,069;0,091]}

La fréquence observée des pannes est  \boxed{f=\dfrac{263}{2250}\approx0,117}
Nous remarquons que  f\notin I_{2250}.
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, on ne peut pas affirmer que la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08.

6 points

exercice 4

Partie A

Par lecture graphique, nous obtenons les résultats suivants :

{\red{1.\ }}\ f(0)=4 \\\\ {\red{2.\ }}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1 \\\\ {\red{3.\ }}\ \text{Tableau de variation de }f:\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&&&&&+\infty \\\hline &+\infty&&&&&&\\f(x)&&&&\searrow&&&\\&&&&&&&1\\\hline \end{array}

4.   La droite (d ) passe par les points de coordonnées (0 ; 4) et (0,5 ; 1).
Le coefficient directeur de cette droite (d ) est égal à  \overset{.}{\dfrac{1 - 4}{0,5 - 0}= \dfrac{-3}{0,5}=\boxed{-6}}

Partie B

1   Résoudre sur R l'équation différentielle (E ) : y' + 2y = 2.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  y'=ay+b  est  y=k\,\text{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
Or (E ) equivaut y' = -2y + 2.
Dans ce cas, a = -2 et b = 2.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme  y=k\,\text{e}^{-2x}-\dfrac{2}{-2}, soit  \boxed{y=k\,\text{e}^{-2x}+1\ \ \ \ \ (k\in\R)}

Déterminons la solution de (E ) vérifiant la conditions f (0) = 4 en remplaçant x par 0 et y par 4 dans la solution générale de (E ).

k\,\text{e}^{-2\times0}+1=4\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+1=4 \\\phantom{k\,\text{e}^{-2\times0}+1=4}\Longleftrightarrow k+1=4 \\\phantom{k\,\text{e}^{-2\times0}+1=4}\Longleftrightarrow{\red{ k=3}}
Par conséquent, la fonction représentée dans la partie A est la solution f  de l'équation différentielle (E ) vérifiant f (0) = 4 et est définie sur R par  \overset{.}{\boxed{f(x)=3\,\text{e}^{-2x}+1}}

2.  a) Montrons par le calcul que  \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(3\text{e}^{-2x}+1)=3\times0+1 \\\phantom{...................................}\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}

b) Etablissons par le calcul le tableau de variation de la fonction f .

f'(x)=(3\text{e}^{-2x}+1)' \\\phantom{f'(x)}=3\times(\text{e}^{-2x})'+1' \\\phantom{f'(x)}=3\times(-2x)'\text{e}^{-2x}+0 \\\phantom{f'(x)}=3\times(-2)\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=-6\text{e}^{-2x} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow-6\text{e}^{-2x}<0 \\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow f'(x)<0 \\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\boxed{{\red{f\ \text{est décroissante sur }\R}}}

De plus nous obtenons :

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x)=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}=+\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to-\infty}(3\text{e}^{-2x}+1)=+\infty\\\phantom{...................................}\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\red{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}}}

Enfin, nous avons montré dans la réponse 2a) que  \boxed{{\red{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1}}}

D'où le tableau de variation de f  identique au tableau trouvé à la 3ème question de la partie A :

            \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&&&&&+\infty \\\hline &{\red{+\infty}}&&&&&&\\f(x)&&&&{\red{\searrow}}&&&\\&&&&&&&{\red{1}}\\\hline \end{array}

Partie C

{\red{1.\ }}\ f(x)=3\,\text{e}^{-2x}+1\Longrightarrow(f(x))^2=(3\,\text{e}^{-2x}+1)^2 \\\\ {\blue{\text{Appliquons la formule }(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\ \text{avec }A=3\,\text{e}^{-2x}\ \text{et }B=1}} \\\\ (f(x))^2=(3\,\text{e}^{-2x})^2+2\times3\,\text{e}^{-2x}\times1+1^2 \\\phantom{(f(x))^2}=9\,\text{e}^{(-2x)\times2}+6\,\text{e}^{-2x}+1 \\\phantom{(f(x))^2}=9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{(f(x))^2=9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1}

{\red{2.\ }}\ V=\pi\times\int\limits_0^4(f(x))^2\,dx \\\phantom{{\red{2.\ }}\ V}\overset{.}{=\pi\times\int\limits_0^4(9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1)\,dx}
Or une primitive de la fonction définie sur R par  x\mapsto9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1  est la fonction F  définie sur R par  F(x)=9\,\times\dfrac{\text{e}^{-4x}}{-4}+6\,\times\dfrac{\text{e}^{-2x}}{-2}+x,  soit par  \overset{.}{\boxed{F(x)=-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4x}-3\,\text{e}^{-2x}+x}}

Dès lors,

V=\pi\times\int\limits_0^4(9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1)\,dx \\\\\phantom{V}=\pi\times[F(x)]_0^4 \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times4}-3\,\text{e}^{-2\times4}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times0}-3\,\text{e}^{-2\times0}+0\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{0}-3\,\text{e}^{0}\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\times1-3\times1\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4+\dfrac{9}{4}+3 \right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right] \\\\\Longrightarrow\boxed{V=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right]\ \text{dm}^3\approx29,06\ \text{dm}^3}

3.   Nous désirons remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré: \dfrac{2}{3}\times29,06\ \text{dm}^3\approx19,37\ \text{dm}^3
Calculons le nombre de sacs de 3 dm³ correspondant à un volume de 19,37 dm³ :   \overset{.}{\dfrac{19,37}{3}\approx\boxed{6,5}}
Nous en déduisons qu'il faudra acheter 7 sacs de sable pour remplir ce vase aux deux tiers.
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