Soit un réel donné non nul.
Les fonctions g solutions de l'équation différentielle sont définies par avec et des constantes réelles.
Donc les fonctions g solutions de l'équation différentielle sont définies par avec et des constantes réelles.
D'où les fonctions g solutions de l'équation différentielle vérifiant la relation g (0) = 1 sont définies par avec une constante réelle.
Par conséquent, une solution g de l'équation différentielle vérifiant la relation g (0) = 1 est définie par
Partie B
D'où l'affirmation 1 est vraie.
Nous savons que .
Par conséquent, un argument de zC est .
D'où l'affirmation 2 est fausse.
Nous en déduisons que
Par conséquent, les points A, B et C sont sur un même cercle de centre O .
D'où l'affirmation 3 est vraie.
Le point O est le milieu de [BC ] les affixes zB et zC sont opposées. |zB | = |zC | et arg(zB ) = + arg(zC )
Puisque |zB | = |zC | et arg(zB ) = + arg(zC ), nous avons montré que les affixes zA et zB sont opposées et par conséquent que le point O est le milieu de [BC ].
D'où l'affirmation 4 est vraie.
6 points
exercice 2
Partie A
1. Pourcentage d'augmentation :
D'où le pourcentage d'augmentation, entre le 31 décembre 2015 et le 31 décembre 2016, du nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France est d'environ 42 % (arrondi à 1 %).
On suppose qu'à partir de l'année 2017, l'augmentation annuelle de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France sera constante et égale à 40 %.
2. a) Le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2017 correspond à u1.
Une augmentation de 40 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,4 = 1,4.
Donc nous pouvons estimer à 130 340 le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2017.
2. b) Le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre de l'année 2016 + (n +1) s'obtient en multipliant par 1,4 le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre de l'année 2016 + n.
Nous obtenons ainsi la relation
Par conséquent, la suite (un ) est une suite géométrique de raison q = 1,4 et dont le premier terme est u0 = 93 100.
2. c) Calculons le terme général un de cette suite géométrique.
L'indice n correspondant à l'année 2020 est 4 car 2020 = 2016 + 4.
Donc le nombre de véhicules "100 % électrique" en France au 31 décembre 2020 peut être estimé à environ 357 653.
Puisque 357 653 est supérieur à 350 000, l'affirmation de l'association Avere-France figurant à la fin de l'article est validée par le modèle proposé.
3. a) Algorithme complété :
3. b) Nous souhaitons estimer l'année au cours de laquelle le nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France dépassera 1 000 000 avec ce modèle.
Il convient donc d'afficher la valeur de la variable n .
3. c) Tableau reprenant les valeurs successives prises par les variables n et u jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
La valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 8.
Nous aurions pu également trouver cette valeur de n en déterminant le plus petit entier n à partir duquel un > 1 000 000.
D'où, le plus petit entier n à partir duquel un > 1 000 000 est n = 8.
Par conséquent, la valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 8.
3. d) Puisque 2016 + 8 = 2024, selon ce modèle, le nombre de véhicules "100 % électrique" immatriculés en France dépassera 1 000 000 en 2024.
Partie B
1. La variable aléatoire T qui, à une batterie Lithium-Ion prélevée au hasard dans le stock de l'usine, associe sa durée de vie, exprimée en années, suit la loi exponentielle de paramètre .
Or la durée de vie moyenne d'une telle batterie s'élève à 7 ans.
Nous en déduisons que , soit que
2. Pour la suite, nous prendrons
2. a) La loi exponentielle de paramètre sur [0 ; +[ a pour densité la fonction f définie sur [0 ; +[ par , où est un réel strictement positif.
Donc la variable aléatoire T suit la loi exponentielle de paramètre = 0,143 qui a pour densité la fonction f définie sur [0 ; +[ par
Nous devons calculer P(T 8).
2. b) Nous devons calculer P(T 4).
Signification dans le contexte de l'exercice : 0,75 représente la probabilité qu'une batterie Lithium-Ion dure
plus de deux ans.
4 points
exercice 3
Partie A
1. a) Nous renouvelons 75 fois de manière indépendante et identique le choix aléatoire d'un ascenseur.
Lors de chaque choix, deux issues sont possibles :
le "succès" (l'ascenseur est en panne) de probabilité p = 0,08
l'"échec" (l'ascenseur fonctionne) de probabilité 1 - p = 1 - 0,08 = 0,92.
Donc la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 75 et p = 0,08.
1. b) Nous devons calculer P (X = 5).
Avec l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
D'où la probabilité que 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est environ égale à 0,165.
1. c) Nous devons calculer P (X 5).
D'où la probabilité qu'au moins 5 ascenseurs tombent en panne un jour donné est environ égale à 0,726.
1. d) E(X ) = np = 75 0,08 = 6. L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est égale à 6.
2. a) Nous devons calculer P (5 Y 10).
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
En arrondissant le résultat à 10-3,
Par conséquent, la probabilité d'obtenir entre 5 et 10 ascenseurs en panne un jour donné est environ égale à 0,621.
2. b.) La variable aléatoire Y suit la loi normale d'espérance = 6.
Nous savons alors que
Par conséquent, la probabilité d'obtenir plus de 10 ascenseurs en panne un jour donné est environ égale à 0,044.
Partie B
75 ascenseurs sont contrôlés chaque jour pendant 30 jours.
Donc sur un période de 30 jours, nous pouvons considérer que le nombre d'ascenseurs contrôlés est n = 30 75 = 2250.
Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I2250 au seuil de 95 % de la fréquence des pannes dans cet échantillon de 2250 ascenseurs.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I2250 au seuil de 95% est :
La fréquence observée des pannes est
Nous remarquons que
Par conséquent au risque de se tromper de 5%, on ne peut pas affirmer que la probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est 0,08.
6 points
exercice 4
Partie A
Par lecture graphique, nous obtenons les résultats suivants :
4. La droite (d ) passe par les points de coordonnées (0 ; 4) et (0,5 ; 1).
Le coefficient directeur de cette droite (d ) est égal à
Partie B
1 Résoudre sur l'équation différentielle (E ) : y' + 2y = 2.
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Or (E ) y' = -2y + 2.
Dans ce cas, a = -2 et b = 2.
D'où la solution générale de l'équation (E ) est de la forme
soit
Déterminons la solution de (E ) vérifiant la conditions f (0) = 4 en remplaçant x par 0 et y par 4 dans la solution générale de (E ).
Par conséquent, la fonction représentée dans la partie A est la solution f de l'équation différentielle (E ) vérifiant f (0) = 4 et est définie sur par
2. a) Montrons par le calcul que
b) Etablissons par le calcul le tableau de variation de la fonction f .
De plus nous obtenons :
Enfin, nous avons montré dans la réponse 2a) que
D'où le tableau de variation de f identique au tableau trouvé à la 3ème question de la partie A :
Partie C
Or une primitive de la fonction définie sur par est la fonction F définie sur par soit par
Dès lors,
3. Nous désirons remplir ce vase aux deux tiers du volume avec du sable coloré:
Calculons le nombre de sacs de 3 dm³ correspondant à un volume de 19,37 dm³ :
Nous en déduisons qu'il faudra acheter 7 sacs de sable pour remplir ce vase aux deux tiers.
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=-\infty})
=0\neq1)
=+\infty\neq-\infty})
=0\neq-\infty)
=\cos(3t)+\sin(3t))
un réel donné non nul.
sont définies par =\alpha\cos(\omega t)+\beta\sin(\omega t))
avec 
et 
des constantes réelles.
sont définies par =\alpha\cos(3t)+\beta\sin(3t))
avec =1\Longleftrightarrow\alpha\cos(3\times0)+\beta\sin(3\times0)=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\alpha\cos0+\beta\sin0=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\alpha\times1+\beta\times0=1 \\\phantom{\text{Or }\ g(0)=1}\Longleftrightarrow\boxed{\alpha=1})
=\cos(3t)+\beta\sin(3t))
avec =\cos(3t)+\sin(3t).})
=-2\Longleftrightarrow x-2=\text{e}^{-2}} \\\phantom{\text{Pour tout réel }x>2,\ \ \ln(x-2)=-2}\Longleftrightarrow \boxed{x=2+\text{e}^{-2}})
=(1-2x)\text{e}^{-2x})
=\left(x\,\text{e}^{-2x}\right)'} \\\phantom{h'(x)}=x'\times\text{e}^{-2x}+x\times\left(\text{e}^{-2x}\right)' \\\phantom{h'(x)}=1\times\text{e}^{-2x}+x\times\left(-2x\right)'\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=\text{e}^{-2x}+x\times\left(-2\right)\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=\text{e}^{-2x}-2x\,\text{e}^{-2x} \\\phantom{h'(x)}=(1-2x)\,\text{e}^{-2x} \\\Longrightarrow\boxed{h'(x)=(1-2x)\,\text{e}^{-2x}})
\times\text{i}}{\text{i}\times\text{i}}=\dfrac{\text{i}\sqrt{2}+\text{i}^2\sqrt{2}}{\text{i}^2}=\dfrac{\text{i}\sqrt{2}-\sqrt{2}}{-1}=-\text{i}\sqrt{2}+\sqrt{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{z_A=\sqrt{2}-\text{i}\sqrt{2}})
.\times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}}\times \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{2}-\text{i}\frac{\pi}{6}} \\\phantom{\text{Donc }\ z_C}=2\times\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}})
.
^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\\\\|z_B|={\blue{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\|z_C|={\red{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{|z_A|=|z_B|=|z_C|=2})
![\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 4 :\ }O\ \text{est le milieu du segment }[BC]\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet\ {\mathbf{Affirmation\ 4 :\ }O\ \text{est le milieu du segment }[BC]\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE})
les affixes zB et zC sont opposées.
+ arg(zC )![\text{Or }\ \boxed{|z_B|=|z_C|=2}\ \ \ \ (\text{voir affirmation 3)} \\\\\phantom{\text{Or }\ }\left\lbrace\begin{matrix}z_B=2\,\text{e}^{\text{i}{\blue{\frac{\pi}{3}}}}\ \ \ \ \ \\\\z_C=2\,\text{e}^{-\text{i}{\red{\frac{2\pi}{3}}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\arg(z_B)={\blue{\dfrac{\pi}{3}}}\\\\\arg(z_C)={\red{-\dfrac{2\pi}{3}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\arg(z_B)=\pi+\arg(z_C)}\ \ \ [\text{car }\dfrac{\pi}{3}=\pi+(-\dfrac{2\pi}{3})]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{Or }\ \boxed{|z_B|=|z_C|=2}\ \ \ \ (\text{voir affirmation 3)} \\\\\phantom{\text{Or }\ }\left\lbrace\begin{matrix}z_B=2\,\text{e}^{\text{i}{\blue{\frac{\pi}{3}}}}\ \ \ \ \ \\\\z_C=2\,\text{e}^{-\text{i}{\red{\frac{2\pi}{3}}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}\arg(z_B)={\blue{\dfrac{\pi}{3}}}\\\\\arg(z_C)={\red{-\dfrac{2\pi}{3}}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow\boxed{\arg(z_B)=\pi+\arg(z_C)}\ \ \ [\text{car }\dfrac{\pi}{3}=\pi+(-\dfrac{2\pi}{3})] )
^{n}\Longrightarrow\boxed{u_n=93\,100\times1,4^{n}})
>\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n\times\ln(1,4)>\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) \\\\\phantom{u_n>1\,000\,000}\Longleftrightarrow n\ {\red{>}}\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right) }{\ln(1,4)}\\\frac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{(Maintien du sens de l'inégalité car }\ln(1,4)>0) \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln\left(\dfrac{1\,000\,000}{93\,100}\right)}{\ln(1,4)}\approx7,0558)
.=\dfrac{1}{\lambda}.})
, soit que 
[ a pour densité la fonction f définie sur [0 ; +=\lambda\text{e}^{-\lambda t}})
, où =0,143\text{e}^{-0,143 t}.})
8).![P(T\ge8)=1-P(T<8) =1-\int\limits_0^80,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=1+\int\limits_0^8(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =1+\int\limits_0^8(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^8 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 \times8}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =1+[\text{e}^{-1,144}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+\text{e}^{-1,144}-1 =\text{e}^{-1,144} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\ge8)=\text{e}^{-1,144}\approx0,319}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(T\ge8)=1-P(T<8) =1-\int\limits_0^80,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=1+\int\limits_0^8(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =1+\int\limits_0^8(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^8 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+[\text{e}^{-0,143 \times8}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =1+[\text{e}^{-1,144}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\ge8)}=1+\text{e}^{-1,144}-1 =\text{e}^{-1,144} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\ge8)=\text{e}^{-1,144}\approx0,319})
4).![P(T\le4)=\int\limits_0^40,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=-\int\limits_0^4(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =-\int\limits_0^4(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^4 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 \times4}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =-[\text{e}^{-0,572}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\le4)}=-[\text{e}^{-0,572}-1]=1-\text{e}^{-0,572}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\le4)=1-\text{e}^{-0,572}\approx0,436}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(T\le4)=\int\limits_0^40,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\phantom{P(T\ge8)}=-\int\limits_0^4(-0,143)\text{e}^{-0,143 t}\,dt =-\int\limits_0^4(-0,143t)'\text{e}^{-0,143 t}\,dt \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^4 \\\\\phantom{P(T\ge8)}=-[\text{e}^{-0,143 \times4}-\text{e}^{-0,143 \times0}] =-[\text{e}^{-0,572}-\text{e}^{0}] \\\\\phantom{P(T\le4)}=-[\text{e}^{-0,572}-1]=1-\text{e}^{-0,572}\\\\\Longrightarrow\boxed{P(T\le4)=1-\text{e}^{-0,572}\approx0,436})
![{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75\Longleftrightarrow1-P(T\le t_0)=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1-\int\limits_0^{t_0}0,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^{t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 \times t_0}-\text{e}^{-0,143 \times0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143t_0}-\text{e}^{0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+\text{e}^{-0,143t_0}-1=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,143t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow-0,143t_0=\ln(0,75) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\boxed{t_0=\dfrac{\ln(0,75)}{-0,143}\approx2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75\Longleftrightarrow1-P(T\le t_0)=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1-\int\limits_0^{t_0}0,143\text{e}^{-0,143 t}\,dt=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 t}]\limits_0^{t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143 \times t_0}-\text{e}^{-0,143 \times0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+[\text{e}^{-0,143t_0}-\text{e}^{0}]=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow1+\text{e}^{-0,143t_0}-1=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\text{e}^{-0,143t_0}=0,75 \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow-0,143t_0=\ln(0,75) \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ P(T>t_0)=0,75}\Longleftrightarrow\boxed{t_0=\dfrac{\ln(0,75)}{-0,143}\approx2})
=\begin{pmatrix}75\\5\end{pmatrix}\times0,08^5\times(1-0,08)^{75-5} \\\\\phantom{P(X=5)}=\begin{pmatrix}75\\5\end{pmatrix}\times0,08^5\times0,92^{70} \\\\\phantom{P(X=5)}\approx0,165)
![P(X\ge5)=1-P(X<5) \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)] \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-\begin{pmatrix}75\\0\end{pmatrix}\times0,08^0\times0,92^{75}-\begin{pmatrix}75\\1\end{pmatrix}\times0,08^1\times0,92^{74}-\begin{pmatrix}75\\2\end{pmatrix}\times0,08^2\times0,92^{73}\\\phantom{P(X=5)}-\begin{pmatrix}75\\3\end{pmatrix}\times0,08^3\times0,92^{72}-\begin{pmatrix}75\\4\end{pmatrix}\times0,08^4\times0,92^{71} \\\\\phantom{P(X\le5)}\approx0,726](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?P(X\ge5)=1-P(X<5) \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-[P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)] \\\\\phantom{P(X\ge5)}=1-\begin{pmatrix}75\\0\end{pmatrix}\times0,08^0\times0,92^{75}-\begin{pmatrix}75\\1\end{pmatrix}\times0,08^1\times0,92^{74}-\begin{pmatrix}75\\2\end{pmatrix}\times0,08^2\times0,92^{73}\\\phantom{P(X=5)}-\begin{pmatrix}75\\3\end{pmatrix}\times0,08^3\times0,92^{72}-\begin{pmatrix}75\\4\end{pmatrix}\times0,08^4\times0,92^{71} \\\\\phantom{P(X\le5)}\approx0,726)
0,08 = 6.\approx0,62054367.)
\approx0,621})
= 6.=P(Y\ge \mu)=0,5.)
=P(6\le Y\le10)+P(Y\ge10) \\\\\Longrightarrow P(Y\ge10)=P(Y\ge6)-P(6\le Y\le10) \\\phantom{\Longrightarrow P(Y\ge10)}=0,5-P(6\le Y\le10) \\\phantom{\Longrightarrow P(Y\ge10)}\approx0,5-0,456\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\text{par la calculatrice, nous obtenons }\ P(6\le Y\le10)\approx0,456) \\\\\Longrightarrow\boxed{P(Y\ge10)\approx0,044})
= 2250\times(1-0,08)= 2250\times0,92=2070>5 \end{array})
![I_{2250}=\left[0,08-1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}};0,08+1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2250}\approx[0,069;0,091]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{2250}=\left[0,08-1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}};0,08+1,96\sqrt{\dfrac{0,08 (1-0,08)}{2250}}\right]\\\\\Longrightarrow\boxed{I_{2250}\approx[0,069;0,091]})
=4 \\\\ {\red{2.\ }}\ \lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1 \\\\ {\red{3.\ }}\ \text{Tableau de variation de }f:\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&-\infty&&&&&&+\infty \\\hline &+\infty&&&&&&\\f(x)&&&&\searrow&&&\\&&&&&&&1\\\hline \end{array})
l'équation différentielle (E ) : y' + 2y = 2.
est .)
soit })
=3\,\text{e}^{-2x}+1}})
=1)
=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-2x}=0 \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(-2x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to+\infty}(3\text{e}^{-2x}+1)=3\times0+1 \\\phantom{...................................}\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=1})
=(3\text{e}^{-2x}+1)' \\\phantom{f'(x)}=3\times(\text{e}^{-2x})'+1' \\\phantom{f'(x)}=3\times(-2x)'\text{e}^{-2x}+0 \\\phantom{f'(x)}=3\times(-2)\text{e}^{-2x} \\\phantom{f'(x)}=-6\text{e}^{-2x} \\\\\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow-6\text{e}^{-2x}<0 \\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow f'(x)<0 \\\phantom{\text{Or }\ \left\lbrace\begin{matrix}-6<0\\\text{e}^{-2x}>0\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\boxed{{\red{f\ \text{est décroissante sur }\R}}})
=+\infty\\\\\lim\limits_{X\to+\infty}\text{e}^X=+\infty\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \underset{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\ \ \ \lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-2x}=+\infty \\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x)=-\infty\\\\\lim\limits_{X\to-\infty}\text{e}^X=0\end{matrix}\right.}\ \ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \lim\limits_{x\to-\infty}(3\text{e}^{-2x}+1)=+\infty\\\phantom{...................................}\ \ \ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\red{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty}}})
=1}}})
&&&&{\red{\searrow}}&&&\\&&&&&&&{\red{1}}\\\hline \end{array})
=3\,\text{e}^{-2x}+1\Longrightarrow(f(x))^2=(3\,\text{e}^{-2x}+1)^2 \\\\ {\blue{\text{Appliquons la formule }(A+B)^2=A^2+2AB+B^2\ \text{avec }A=3\,\text{e}^{-2x}\ \text{et }B=1}} \\\\ (f(x))^2=(3\,\text{e}^{-2x})^2+2\times3\,\text{e}^{-2x}\times1+1^2 \\\phantom{(f(x))^2}=9\,\text{e}^{(-2x)\times2}+6\,\text{e}^{-2x}+1 \\\phantom{(f(x))^2}=9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1 \\\\\Longrightarrow\boxed{(f(x))^2=9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1})
)^2\,dx \\\phantom{{\red{2.\ }}\ V}\overset{.}{=\pi\times\int\limits_0^4(9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1)\,dx})
est la fonction F définie sur =9\,\times\dfrac{\text{e}^{-4x}}{-4}+6\,\times\dfrac{\text{e}^{-2x}}{-2}+x,)
soit par =-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4x}-3\,\text{e}^{-2x}+x}})
![V=\pi\times\int\limits_0^4(9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1)\,dx \\\\\phantom{V}=\pi\times[F(x)]_0^4 \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times4}-3\,\text{e}^{-2\times4}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times0}-3\,\text{e}^{-2\times0}+0\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{0}-3\,\text{e}^{0}\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\times1-3\times1\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4+\dfrac{9}{4}+3 \right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right] \\\\\Longrightarrow\boxed{V=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right]\ \text{dm}^3\approx29,06\ \text{dm}^3}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?V=\pi\times\int\limits_0^4(9\,\text{e}^{-4x}+6\,\text{e}^{-2x}+1)\,dx \\\\\phantom{V}=\pi\times[F(x)]_0^4 \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times4}-3\,\text{e}^{-2\times4}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-4\times0}-3\,\text{e}^{-2\times0}+0\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{0}-3\,\text{e}^{0}\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[\left(-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4\right)-\left(-\dfrac{9}{4}\times1-3\times1\right)\right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+4+\dfrac{9}{4}+3 \right] \\\\\phantom{V}=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right] \\\\\Longrightarrow\boxed{V=\pi\times\left[-\dfrac{9}{4}\,\text{e}^{-16}-3\,\text{e}^{-8}+\dfrac{37}{4} \right]\ \text{dm}^3\approx29,06\ \text{dm}^3})
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