Fiche de mathématiques
Ile mathématiques > maths bac > Bac 2022 toujours : des sujets venus d'ailleurs
Bac Union des Comores 2022
Durée : 4 heures
Coefficient : 5
3,5 points\text{ , })
on considère les points \text{ ; }B(-1;5;2)\text{ et }C(3;-2;5))
.
1-a) Démontrer que les points
déterminent un plan )
.
b) Montrer qu'une équation cartésienne du plan est 
.
2- On considère les plans)
et )
d'équations respectives : 
.
a) Démontrer que les plans et se coupent suivants uine droite )
de vecteur directeur )
.
b) Montrer que)
est un point de la droite .
c) En déduire une représentation paramétrique de la droite .
d) Déterminer les coordonnées du point d'intersection du plan et de la droite .
e) Justifier que les plans;(Q)\text{ et }(R))
sont concourants en un seul point que l'on précisera ses coordonnées .
4,5 points\text{ : }z^2-(6\cos \alpha)z+4+5(\cos\alpha)^2=0)
avec ![\alpha\in[0;2\pi]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\alpha\in[0;2\pi] )
.
1-a) Justifier que le discriminant de l'équation)
est ^2)
.
b) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation .
On note
les points images d'affixes respectives 
dans un repère orthonormé )
.
c) Démontrer que les points appartiennent à la courbe )
d'équation réduite : 
.
d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe (centre ; sommets ; foyers et directrices) .
2- Soit
l'homothétie de centre 
et de rapport 
et 
la rotation de centre et d'angle de mesure 
.
On pose
.
a) Justifier que
est une similitude plane directe .
b) Donner les éléments caractéristiques de .
c) Montrer que a pour écriture complexe : z)
.
d) Déterminer les images des sommets de l'ellipse par .
e)Tracer et )
image de par dans le même repère orthonormé )
.
4 points\text{ : }7x-4y=5)
où les inconnues 
sont des entiers relatifs .
1-a) Justifier que
et 
sont premiers entre eux .
b) Vérifier que)
est une solution particulière de .
c) Montrer que les solutions de (E) sont les couples)
tels que :  })
.
2- On considère le système)
défini par ![(S)\text{ : }\begin{cases} n\equiv 2\enskip[7] \\ n\equiv 7\enskip [4] \end{cases} \enskip(n\in\Z)](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?(S)\text{ : }\begin{cases} n\equiv 2\enskip[7] \\ n\equiv 7\enskip [4] \end{cases} \enskip(n\in\Z))
.
a) Montrer que si
est une solution du système alors il existe un couple )
d'entiers relatifs solution de l'équation .
b) Justifier dans ce cas que![n\equiv 23\enskip [28]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?n\equiv 23\enskip [28])
.
3- Soit
un entier relatif .
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de
par 
.
b) Montrer que
est une solution du système puis en déduire que ![303^6\equiv 1\enskip[28]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?303^6\equiv 1\enskip[28])
.
c) Déterminer l'ensemble des entiers naturels
tels que 
soit divisible par .
8 pointsDans tout le problème , désigne un entier naturel non nul .
Soit
la fonction définie sur 
par =n(x+2)+e^{x+1})
.
1-a) Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction .
b) Etudier le sens de variation de puis dresser le tableau de variation de .
2-a) Montrer que l'équation=0)
admet sur une solution unique 
.
b) Vérifier que
.
c) En déduire le signe de)
suivant les valeurs de 
.
3-a) Vérifier que=\alpha_n+2)
; Puis déduire son signe .
b) Justifier que la suite)
est croissante .
c) En déduire qu'elle converge vers un réel
.
d) Vérifier que
; puis préciser la valeur de .
Partie B : Etude d'une fonction
Soit
la fonction définie sur par : =\dfrac{x+1}{1+ne^{-x-1}})
. On désigne par )
sa courbe représentative dans un repère orthonormé )
.
1- Calculer)
puis interpréter graphiquement le résultat .
2-a) Calculer)
b) Montrer que la droite d'équation 
est une asymptote oblique à la courbe en 
.
c) Etudier la position relative de par rapport à la droite .
3-a) Montrer que![\forall x\in\R\text{ : }f'_n(x)=\dfrac{e^{-x-1}\left[g_n(x)\right]}{(1+ne^{-x-1})^2}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in\R\text{ : }f'_n(x)=\dfrac{e^{-x-1}\left[g_n(x)\right]}{(1+ne^{-x-1})^2})
.
b) Montrer que=\alpha_n+2)
.
c) Dresser le tableau de variation de .
4-a) Montrer que}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in\N^{*} \text{ et } \forall x\in\R \text{ ; } f_{n+1}(x)-f_n(x)=\dfrac{(-x-1)e^{-x-1}}{[1+(n+1)e^{-x-1}](1+ne^{-x-1})})
.
b) Jusitifier que :-f_n(x) \text{ et }-x-1)
ont le même signe sur .
c) Etudier la position des courbes\text{ et }(C_n))
.
5- Construire les courbes)
et  \enskip . \enskip \text{(On prendra } \alpha_1 \approx -2,25 \text{ et }\alpha_2 \approx -2,15 \text{) } .)
)
est la suite définie sur 
par \text{ d}x)
.
1- En intégrant par parties ; Calculer l'intégralee^{x+1}\text{ d}x)
.
2-a) Montrer que![\forall n\in\N^{*} \text{ : }f_n(x)=\dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+e^{x+1}} \text{ puis } \forall x\in[-1;0] \text{ : }\dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+3}\leq f_n(x)\leq \dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+1}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall n\in\N^{*} \text{ : }f_n(x)=\dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+e^{x+1}} \text{ puis } \forall x\in[-1;0] \text{ : }\dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+3}\leq f_n(x)\leq \dfrac{(x+1)e^{x+1}}{n+1})
.
b) En déduire que
.
c) Justifier la convergence de la suite .Publié par malou/Panter
le
Bac Union des Comores 2022
Série C
Coefficient : 5
3,5 points
exercice 1
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé1-a) Démontrer que les points
b) Montrer qu'une équation cartésienne du plan
2- On considère les plans
a) Démontrer que les plans
b) Montrer que
c) En déduire une représentation paramétrique de la droite
d) Déterminer les coordonnées du point d'intersection du plan
e) Justifier que les plans
4,5 points
exercice 2
On considère l'équation d'inconnue le nombre complexe1-a) Justifier que le discriminant de l'équation
b) Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation
On note
c) Démontrer que les points
d) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la courbe
2- Soit
On pose
a) Justifier que
b) Donner les éléments caractéristiques de
c) Montrer que
d) Déterminer les images des sommets de l'ellipse
e)Tracer
4 points
exercice 3
On considère l'équation1-a) Justifier que
b) Vérifier que
c) Montrer que les solutions de (E) sont les couples
2- On considère le système
a) Montrer que si
b) Justifier dans ce cas que
3- Soit
a) Déterminer le reste de la division euclidienne de
b) Montrer que
c) Déterminer l'ensemble des entiers naturels
8 points
probleme
Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire
Soit
1-a) Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de la fonction
b) Etudier le sens de variation de
2-a) Montrer que l'équation
b) Vérifier que
c) En déduire le signe de
3-a) Vérifier que
b) Justifier que la suite
c) En déduire qu'elle converge vers un réel
d) Vérifier que
Partie B : Etude d'une fonction
Soit
1- Calculer
2-a) Calculer
b) Montrer que la droite
c) Etudier la position relative de
3-a) Montrer que
b) Montrer que
c) Dresser le tableau de variation de
4-a) Montrer que
b) Jusitifier que :
c) Etudier la position des courbes
5- Construire les courbes
Partie C : Etude d'une suite intégrale
1- En intégrant par parties ; Calculer l'intégrale
2-a) Montrer que
b) En déduire que
c) Justifier la convergence de la suite
ceci n'est qu'un extrait
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
Pour visualiser la totalité des cours vous devez vous inscrire / connecter (GRATUIT)
Inscription Gratuite se connecter
forum de terminale