Fiche de mathématiques

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Bac Union des Comores 2022

Série D

Durée : 4 heures
Coefficient : 4
5 points

exercice 1

On considère le polynôme $p$ défini sur $\C$ par : $p(z)=z^3+(1-i)z^2+(2+2i)z-8i$ .

1-a) Jusitifier que $-2i$ est une racine de $p(z)$ .

b) Déterminer les trois nombres complexes $a,b\text{ et }c$ tels que $p(z)=(z+2i)(az^2+bz+c)$ .

c) Déterminer la forme algébrique de $(3-i)^2$ .

d) Résoudre dans $\C$ l'équation $p(z)=0$ .

2- On considère dans le repère orthonormé $(O,\vec{u},\vec{v})$ du plan complexe les points $A(z_A=1+i),B(z_B=-2+2i)\text{ et }C(z_C=-2i)$ . On pose $W=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}$ .

a) Déterminer la forme algébrique de $W$ puis en déduire la nature du triangle $ABC$ .

b) Justifier par des calculs que le point $D$ troisième sommet du carré $ABDC$ et le point $I$ centre du carré ont respectivement pour affixes $z_D=-3-i \text{ et }z_I=-1$ .

3- Soit $S$ la similitude plane directe d'écriture complexe $z'=2iz$ .

a) Déterminer les éléments caractéristiques de $S$ .

b) Vérifier que les points $B$ et $C$ sont les images respectives des points $A$ et $I$ par $S$ .

c) Calculer la distance $BC$ puis déterminer les éléments caractéristiques du cercle $(C')$ image du cercle $(C)$ circonscrit au carré $ABDC$ par la similitude $S$ .

d) On admet que $B'(z_{B'}=-4-4i),C'(z_{C'}=4)\text{ et }D'(z_{D'}=2-6i)$ désignent respectivement les images des points $B,C\text{ et }D$ par la similitude $S$ .

Faire une figure sur $(O,\vec{u},\vec{v})$ qu'on verra apparaître les carrés $ABDC$ et $BB'D'C'$ et leurs cercles circonscrits $(C)$ et $(C')$ .
5 points

exercice 2

Un sac contient trois boules blanches et deux boules noires indiscernables au toucher . Sur chaque boule blanche est inscrit le nombre $1$ et sur chaque boule noire est inscrit le nombre $-1$ .

On tire au hazard et simultanément trois boules de l'urne .

Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque tirage de trois boules associe la somme des nombres inscrit sur chaque boule .

1-a) Décrire les évènements $(X=-1);(X=1)\text{ et }(X=3)$ .

b) Déterminer la loi de probabilité de $X$ .

c) Déterminer la fonction de répartition $F$ de $X$ . Puis représenter graphiquement $F$ .

$\left(\text{1 cm }$ représentera l'unité sur l'axe $(Ox)$ et $\text{1 cm }$ représentera $\dfrac{1}{10}$ sur l'axe $(Oy)$ ) .

2) Calculer l'espérance mathématique ; la variance et l'écart-type de $X$ .

3) On considère qu'on a gagné ; lorsqu'on tire exactement une boule blanche lors du tirage simultané de trois boules de l'urne . On répète trois fois de suite l'opération d'une manière indépendante .

Soit $Y$ la variable aléatoire désignant le nombre de fois qu'on a gagné .

a) Montrer que $Y$ suit une loi binomiale que l'on déterminera ses paramètres .

b) Calculer l'espérance mathématique de $Y$ .

10 points

probleme

$(C)$ est la courbe de la fonction $f$ définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=\dfrac{1+\ln(2x)}{x}$ dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

Partie A : Etude de $f$

1-a) Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$

b) Interpréter graphiquement le résultat de chaque limite .

2-a) Montrer que la dérivée de $f$ est : $f'(x)=-\dfrac{\ln(2x)}{x^2} \text{ , }\forall x >0$ .

b) Déterminer le sens de variation de $f$ .

c) Dresser le tableau de variation de $f$ .

3- Construire la courbe $(C)$ de $f$ .

4-a) Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet une solution unique $\alpha$ sur $\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[$ .

b) Vérifier que : $2 <\alpha<3$ ; puis $\ln(2\alpha)=\alpha-1$ .

5- On pose $I(\alpha)=\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{\alpha}f(x)\text{ d}x$ .

a) En remarquant que $f(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\times\ln(2x)$ , montrer que $I(\alpha)=\ln(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\left[\ln(2\alpha)\right]^2$ .

b) En déduire que $I(\alpha)=\dfrac{\alpha^2-1}{2}$ .

Partie B : Etude d'une suite numérique

$(U_n)$ est la suite définie sur $\N$ par : $\begin{cases}U_0=2\\U_{n+1}=g(U_n)=1+\ln(2U_n) \end{cases}$ .

où $g$ est la fonction définie sur $I=[2;3]$ par $g(x)=1+\ln(2x)$ .

1) Vérifier que $g(\alpha)=\alpha$ .

2) Montrer que $\forall x\in I\text{ ; }g(x)\in I \text{ et }|g'(x)|\leq \dfrac{1}{2}$ .

3) Montrer par récurrence que $\forall n\in\N\text{ ; }U_n\in I$ .

4) Montrer que $\forall n\in\N\text{ ; }|U_{n+1}-\alpha|\leq \dfrac{1}{2}|U_n-\alpha|$ .

5) En déduire que $\forall n\in\N \text{ ; } |U_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}$ .

6) En déduire que la suite $(U_n)$ converge .

7) Déterminer le plus petit entier naturel $p$ tel que $U_p$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près .

Voir la correction

exercice 1

1-a) On sait que $-2i$ est un racine de $p(z)$ si et seulement si $p(-2i)=0$ , calculons alors $p(-2i)\text{ :}$

$\begin{matrix}p(-2i)&=& (-2i)^3+(1-i)(-2i)^2+(2+2i)(-2i)-8i \\&=& -8i^3+4i2(1-i)-4i-4i^2-8i\\&=& 8i-4+4i-4i+i-8i \\&=& 0 \end{matrix}$

On en déduit que:

$\boxed{ -2i \text{ est bien une racine de }p(z)}$

b) Puisque $-2i$ est une racine de $p(z)$ , alors il existe $a,b,\text{et }c\in\C$ tels que $p(z)=(z+2i)(az^2+bz+c)$ .

Déterminons ces trois nombres complexes:

$\begin{matrix}p(z)=(z+2i)(az^2+bz+c)&\iff& z^3+(1-i)z^2+(2+2i)z-8i=(z+2i)(az^2+bz+c)\\&\iff& z^3+(1-i)z^2+(2+2i)z-8i=az^3+bz^2+cz+2iaz^2+2ibz+2ic \\&\iff& z^3+(1-i)z^2+(2+2i)z-8i=az^3+(b+2ia)z^2+(c+2ib)z+2ic \\&\iff& \begin{cases} a=1\\b+2ia=1-i \\c+2ib=2+2i \\2ic=-8i\end{cases} \enskip\text{ (Par identification) } \\&\iff& \begin{cases} a=1 \\b=1-i-2ia=1-3i \\c+2ib=2+2i\\c=-4\end{cases} \\&\iff& \boxed{\begin{cases} a=1\\b=1-3i\\c=-4\end{cases}}\end{matrix}$

$\text{ Vérification : }c+2ib=-4+2i(1-3i)=-4+2i+6=2+2i$

Conclusion:

$\boxed{ \begin{cases} a=1\\b=1-3i\\c=-4\end{cases}\text{, et on a: }p(z)=(z+2i)[z^2+(1-3i)z-4]}$

c) Directement: $(3-i)^2=9-6i-1\Longrightarrow \boxed{(3-i)^2=8-6i}$

d) Résolvons dans $\C$ l'équation $p(z)=0\text{ :}$

On a:

$\begin{matrix} p(z)=0&\iff& (z+2i)[z^2+(1-3i)z-4]=0 \\&\iff& z=-2i \text{ ou }z^2+(1-3i)z-4=0 \end{matrix}$

Résolvons l'équation de second degré $z^2+(1-3i)z-4=0\text{ , pour ce faire, calculons son discriminent }\Delta\text{ : }$

$\begin{matrix}\Delta&=& (1-3i)^2-4\times (-4) &=& 1-6i-9+16 &=& 8-6i &=& (3-i)^2 \neq 0 \end{matrix}$

Donc l'équation de second degré admet deux solutions complexes distinctes $z_1\text{ et }z_2\text{ : }$

$\begin{matrix} \begin{matrix} z_1&=& \dfrac{-(1-3i)-(3-i)}{2}\\&=& \dfrac{-1+3i-3+i}{2} \\&=& \dfrac{-4+4i}{2} \\&=& -2+2i\end{matrix} &&&&&&& \begin{matrix} z_2&=& \dfrac{-(1-3i)+(3-i)}{2}\\&=& \dfrac{-1+3i+3-i}{2} \\&=& \dfrac{2+2i}{2} \\&=& 1+i\end{matrix} \end{matrix}$

D'où: $p(z)=0\iff z=-2i\enskip\text{ ou }\enskip z=-2+2i\enskip\text{ ou }\enskip z=1+i$

On obtient:

$\boxed{\text{L'ensemble des solutions de l'équation }p(z)=0\text{ est : }S=\left\lbrace -2i\text{ ; }1+i\text{ ; }-2+2i\right\rbrace }$

2-a) La forme algébrique de $W\text{ : }$

$\begin{matrix} W&=& \dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}&=& \dfrac{-2i-(1+i)}{-2+2i-(1+i)}&=& \dfrac{-1-3i}{-3+i}\\\\&=&\dfrac{-(1+3i)(-3-i)}{(-3+i)(-3-i)}&=& \dfrac{3+i+9i-3}{9+1}&=&\dfrac{10i}{10}\\\\&=& i \end{matrix}$

$\boxed{\text{ La forme algébrique de }W=i }$

Déduisons-en la nature du triangle $ABC\text{ :}$

On a:

$|W|=|i| &\iff& \left|\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right|=1 &\iff&|z_C-z_A|=|z_B-z_A|&\iff& AC=AB$

$\arg(W)\equiv\arg(i)\enskip[2\pi]&\iff& \arg(W)\equiv \dfrac{\pi}{2} \enskip[2\pi]&\iff& \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)\equiv \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi]$

Conclusion:

$\boxed{\text{Le triangle ABC est rectangle isocèle en }A}$

b) Puisque le triangle $ABC$ est rectangle isocèle en $A$ , alors il suffit que le point $D$ vérifie $\overrightarrow {AB}=\overrightarrow{CD}$ pour que le quadrilatère $ABDC$ soit un carré.

$\overrightarrow {AB}=\overrightarrow{CD}\iff z_B-z_A=z_D-z_C\iff z_D=z_B-z_A+z_C \iff z_D=-2+2i-(1+i)-2i \iff \boxed{z_D=-3-i}$

Le centre $I$ du carré $ABDC$ est le milieu du segment $[BC]$ , donc:

$z_I=\dfrac{z_C+z_B}{2}=\dfrac{-2i-2+2i}{2}=\dfrac{-2}{2}\Longrightarrow\boxed{z_I=-1}$

3-a) Cherchons les éléments caractéristiques de $S\text{ : } z'=2iz$

Centre: Notons $z$ l'affixe du centre, on a donc: $z=2iz\iff z(1-2i)=0\iff z=0\enskip\enskip \left(\text{ car : }1-2i\neq 0\right)$
Le centre de $S$ est le point $O$ .

Rapport: C'est le module du coefficient de $z\text{ : }r=\left|2i\right|=2$
Le rapport est $r=2$

Angle: C'est un argument du coefficient de $z\text{ qui est } 2i$ . L'angle de mesure principal est donc $\theta=\dfrac{\pi}{2}$

Conclusion:

$\boxed{\text{La similitude }S\text{ est de centre }O\text{, de module }2\text{ et d'angle de mesure principal }\dfrac{\pi}{2}}$

b) On a:

$2iz_A=2i(1+i)=2i-2=-2+2i=z_B$
$\boxed{ z_B=2iz_A\iff S(A)=B}$

$2iz_I=2i\times (-1)=-2i=z_C$
$\boxed{ z_C=2iz_I\iff S(I)=C}$

c) Calcul de la distance $BC\text{ : }$

$BC=|z_C-z_B|=|-2i-(-2+2i)|=|2-4i |=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\Longrightarrow\boxed{BC=2\sqrt{5}}$

Puisque le cercle $(C)$ est circonscrit au carré $ABDC$ , alors il admet le point $I$ comme centre et la distance $BC$ comme diamètre, donc son rayon est: $R=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{5}$ .

Donc: $\boxed{(C)(I,\sqrt{5})}$

Or, puisque $S((C))=(C')$ , alors le centre de $(C')$ est le point $S(I)=C$ , et son rayon est $2R=2\sqrt{5}$ .

$\boxed{\text{ Le cercle }(C')\text{ est de centre }C\text{ et de rayon }2\sqrt{5}}}$

d) La figure:

Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D : image 1

exercice 2

Le sac contient trois boules blanches numérotées (1)-(1)-(1) et deux boules noires numérotées (-1)-(-1) , donc 5 au total .

Et on tire simultanément au hasard trois boules du sac .

On a donc: $\boxed{\displaystyle\text{Card }\Omega={5\choose 3}=10}$

1-a)

Pour obtenir $X=-1$ , il faut tirer 2 boules noires et 1 boule blanche.

En effet: $-1-1+1=-1$

$\boxed{ (X=-1)\text{ : On tire deux boules noires et une boule blanche } }$

Pour obtenir $X=1$ , il faut tirer 1 boule noire et 2 boules blanches.

En effet: $1+1-1=1$

$\boxed{ (X=1)\text{ : On tire une boule noire et deux boules blanches }}$

Pour obtenir $X=3$ , il faut tirer les 3 boules blanches.

En effet: $1+1+1=3$

$\boxed{ (X=3)\text{ : On tire les trois boules blanches }}$

b) Les seules valeurs prises par $X$ sont : $-1;1\text{ et }3$

Il suffit donc de calculer les probabilités $P(X=-1)\text{ ; }P(X=1)\text{ et }P(X=3)$ pour déterminer la loi de probabilité de $X$ .

$P(X=-1)=\displaystyle \dfrac{{3\choose 1}{2\choose 2}}{10}=\dfrac{3\times 1 }{10}=\dfrac{3}{10}$

$P(X=1)=\displaystyle \dfrac{{3\choose 2}{2\choose 1}}{10}=\dfrac{3\times 2 }{10}=\dfrac{6}{10}\enskip\left(=\dfrac{3}{5}\right)$

$P(X=3)=\displaystyle \dfrac{{3\choose 3}}{10}=\dfrac{1}{10}$

Vérification: $P(X=-1)+P(X=1)+P(X=3)=\dfrac{3+6+1}{10}=\dfrac{10}{10}=1$

Et on résume toutes les informations dans le tableau suivant:

$\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline x_i&-1&1&3\\\hline & &&\\ p(X=x_i) & \dfrac{3}{10} &\dfrac{3}{5}&\dfrac{1}{10}\\ && &\\ \hline \end{array}$

c) La fonction de répartition $F$ de $X$ est définie de $\R$ dans $[0;1]$ par $F(x)=p(X\leq x)$

Donc, d'après la loi de probabilité de $X$ trouvé en 1-b) , on a:

Si $x\in]-\infty;-1[\text{ : }F(x)=0$

Si $x\in[-1;1[\text{ : }F(x)=\dfrac{3}{10}$

Si $x\in[1;3[\text{ : }F(x)=\dfrac{3}{10}+\dfrac{6}{10}=\dfrac{9}{10}$

Si $x\in[3;+\infty[\text{ : }F(x)=1$

Conclusion:

$\boxed{\text{ La fonction de répartition }F\text{ est définie par: }F(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x\in]-\infty;-1[ \\\\ \dfrac{3}{10}&\text{ si }x\in[-1;1[ \\\\ \dfrac{9}{10}&\text{ si }x\in[1;3[ \\\\ 1 &\text{ si }x\in[3;+\infty[\end{cases}}$

Représentation graphique de la fonction de répartition $F\text{ :}$

Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D : image 3

2) L'espérance mathématique:

$\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)&=& -1\times\dfrac{3}{10}+1\times\dfrac{6}{10}+3\times\dfrac{1}{10}\\&=& \dfrac{-3+6+3}{10}&=&\dfrac{6}{10}\\\\&=&\dfrac{3}{5}\end{matrix}$

La variance:

$\begin{matrix} V(X)&=&\displaystyle \sum_{i} P(X=x_i)(x_i-E(X))^2&=& \dfrac{3}{10}\left(-1-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{6}{10}\left(1-\dfrac{3}{5}\right)^2+\dfrac{1}{10}\left(3-\dfrac{3}{5}\right)^2\\&=& \dfrac{3}{10}\left(\dfrac{8}{5}\right)^2+\dfrac{6}{10}\left(\dfrac{2}{5}\right)^2+\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{12}{5}\right)^2&=&\dfrac{192+24+144}{250}\\\\&=&\dfrac{360}{250}&=&\dfrac{36}{25}\end{matrix}$

L'écart-type:

$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{\dfrac{36}{25}}=\dfrac{6}{5}$

Conclusion : $\boxed{E(X)=\dfrac{3}{5}\enskip\text{ ; }\enskip V(X)=\dfrac{36}{25}\enskip\text{ ; }\enskip \sigma(X)=\dfrac{6}{5}}$

3-a) On considère qu'on a gagné, lorsqu'on tire exactement une boule blanche lors du tirage simultané de trois boules du sac, ce qui correspond à tirer 1 boule blanche et 2 boules noires.

Cela veut dire qu'on gagne si l'événement $(X=-1)$ est réalisé, et puisque $Y$ est la variable aléatoire désignant le nombre de fois qu'on a gagné à l'issue des $3$ épreuves, alors $Y$ désigne la variable aléatoire égale au nombre de réalisations de l'événement $(X=-1)$ à l'issue des $n=3$ épreuves.

On rappelle que $P(X=-1)=\dfrac{3}{10}\Longrightarrow p=\dfrac{3}{10}$

On déduit de ce qui précède que:

$\boxed{\text{La variable aléatoire }Y \text{ suit une loi binomiale de paramètres } n=3\text{ et }p=\dfrac{3}{10} \text{ : }\enskip {\mathscr{B}\left(3\,;\, \dfrac{3}{10}\right).}}$

b) L'espérance mathématique de $Y$ est:

$E(Y)=np=3\times \dfrac{3}{10} \Longrightarrow \boxed{ E(Y)=\dfrac{9}{10}}$

probleme

Partie A:

1-a) Calcul des limites:

En $0$ à droite:

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\ln (2x)=-\infty \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$

Alors: $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1+\ln(2x)}{x} = \displaystyle\lim_{x\to 0^+}(1+\ln(2x))\times\dfrac{1}{x}=(-\infty)\times(+\infty)=-\infty$

En $+\infty$ :

Puisque $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{\ln (2x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}2\dfrac{\ln (2x)}{2x}=0 \text{ et } \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}=0$

Alors: $\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1+\ln(2x)}{x} = \displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{x}+\dfrac{\ln(2x)}{x}=0+0=0$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty \enskip\text{ et }\enskip \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=0}$

b) Interprétation graphiques des limites:

$\displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty\text{ :}$

$\boxed{\text{ L'axe des ordonnées est une asymptote verticale à la courbe }(C) \text{ dirigée vers le bas.} }$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty} f(x)=0\text{ :}$

$\boxed{\text{ L'axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe }(C) \text{ au voisinage de } +\infty .}$

2-a) La fonction $f$ est dérivable comme quotient d'une fonction dérivable sur $]0;+\infty[$ au numérateur et d'une fonction non nulle et dérivable sur $]0;+\infty[$ au dénominateur.

$\begin{matrix}\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)&=& \left(\dfrac{1+\ln(2x)}{x}\right)'&=& \dfrac{(1+\ln(2x))'x-(1+\ln(2x))}{x^2}&=& \dfrac{1-1-\ln(2x)}{x^2}&=&-\dfrac{\ln(2x)}{x^2}\end{matrix}$

$\boxed{\forall x\in]0;+\infty[\text{ : }f'(x)=-\dfrac{\ln(2x)}{x^2}}$

b) Puisque pour tout réel $x$ de $]0;+\infty[\text{ : } x^2>0$ , alors le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $\ln(2x)$ .

Résolvons l'équation $\ln(2x)=0\text{ : }\ln(2x)=0\iff 2x=e^0\iff x=\dfrac{1}{2}$

Par croisance de la fonction $\exp\text{ , on obtient: }\left(\enskip \ln(2x)> 0 \iff x> \dfrac{1}{2} \right)\enskip\text{ et }\enskip\left(\ln(2x)< 0 \iff x<\dfrac{1}{2}\right)$

On en tire que:

$\begin{cases}\bullet \text{Pour tout }x\in\left]0;\dfrac 1 2\right[\text{ : }f'(x)>0\\\bullet \enskip f'\left(\dfrac 1 2\right)= 0 \\ \bullet \text{Pour tout }x\in\left]\dfrac 1 2;+\infty\right[\text{ : }f'(x)<0\end{cases}$

D'où:

$\boxed{\begin{cases} \bullet f\text{ est strictement croissante sur }\left]0;\dfrac 1 2\right[\\ \bullet f\text{ admet un maximum au point d'abscisse } \dfrac 1 2 \\ \bullet f\text{ est strictement décroissante sur }\left]\dfrac 1 2;+\infty\right[ \end{cases}}$

c) Calculons $f\left(\dfrac 1 2\right)\text{ : }$

$f\left(\dfrac 1 2\right)=\dfrac{1+\ln 1}{\dfrac 1 2 }=2$

Et on dresse le tableau de variations de $f\text{ : }$

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & 0 & & & \frac 1 2 & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre & & + &\barre{0} & - & \\ \hline & \dbarre & & & 2 & & \\ f & \dbarre & &\nearrow& & \searrow & \\ & \dbarre & -\infty & & & & 0 \\ \hline \end{array}}$

3) La courbe $(C)\text{ : }$

Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D
Bac Union des Comores 2022 série D : image 2

4-a) On a:

La fonction $f$ est continue sur $\left]\dfrac 1 2\text{ ; }+\infty\right[$ car elle est dérivable sur cet intervalle.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left]\dfrac 1 2\text{ ; }+\infty\right[$

$f\left(\left]\dfrac 1 2\text{ ; }+\infty\right[\right)=\left]\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)\text{ ; }f\left(\dfrac 1 2\right)\right[=]0;2[\enskip\enskip\enskip\text{ et donc }1\in f\left(\left]\dfrac 1 2\text{ ; }+\infty\right[\right)$

Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (T.V.I.) :

$\boxed{\text{L'équation }f(x)=1 \text{ admet une solution unique }\alpha \text{ sur }\left]\dfrac{1}{2},+\infty\right[}$

b) On a:

$f(2)=\dfrac{1+\ln 4}{2} =\dfrac{1+2\ln 2}{2}=\dfrac{1}{2}+\ln 2\approx 1,19 >1$

$f(3)=\dfrac{1+\ln 6}{3} \approx 0,93 <1$

D'où:

$\boxed{2 <\alpha<3}$

De plus:

$\begin{matrix} f(\alpha)=1 &\iff& \dfrac{1+\ln(2\alpha)}{\alpha}=1&\iff& 1+\ln(2\alpha)=\alpha&\iff& \boxed{\ln(2\alpha)=\alpha-1}\end{matrix}$

5-a)On sait qu'une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ est $x\mapsto \ln (ax)\text{ avec }a\in]0;+\infty[$ , et en particulier la primitive $x\mapsto \ln (2x) .$

Donc une primitive de la fonction $x\mapsto \dfrac{1}{x}\ln(2x) = \dfrac{1}{2}\left[2 (\ln(2x)')\ln(2x)\right]\enskip\text{sur }\enskip]0;+\infty[\enskip\text{ est }\enskip x\mapsto \dfrac{1}{2}(\ln(2x))^2$ .

D'où, en sachant que $\left[\dfrac 1 2 ; \alpha\right]\subset ]0;+\infty[\text{ : }$

$\begin{matrix}I(\alpha)&=&\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{\alpha}f(x)\text{ d}x &=& \displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{\alpha}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}\times\ln(2x)\text{ d}x \\&=& \left[\ln(2x)+\dfrac{1}{2}(\ln(2x))^2 \right]_{\frac{1}{2}}^{\alpha} &=& \ln(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\left[\ln(2\alpha)\right]^2 -\left(\ln 1 +\dfrac{1}{2} (\ln 1)^2\right)\\&=& \ln(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\left[\ln(2\alpha)\right]^2 \end{matrix}$

$\boxed{ I(\alpha)=\ln(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\left[\ln(2\alpha)\right]^2 }$

b) D'aparès 4-b) : $\ln(2\alpha)=\alpha-1$ . Donc:

$\begin{matrix}I(\alpha)&=&\ln(2\alpha)+\dfrac{1}{2}\left[\ln(2\alpha)\right]^2 &=&(\alpha-1)+\dfrac{1}{2}(\alpha-1)^2\\&=&\left(1+\dfrac{1}{2}(\alpha-1)\right)(\alpha-1) &=&\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\alpha\right)(\alpha-1)\\&=& \dfrac{1}{2}(\alpha+1)(\alpha-1) &=& \dfrac{1}{2}(\alpha^2-1) \end{matrix}$

$\boxed{ I(\alpha)=\dfrac{\alpha^2-1}{2}}$

Partie B:

1) Puisque $g$ est la fonction définie sur $I=[2;3]$ par $g(x)=1+\ln(2x)$ .

Alors pour tout $x$ de $[2;3]\text{ : }f(x)=\dfrac{g(x)}{x}$ .

Or, l'unique solution de l'équation $f(x)=1$ strictement supérieur à $\dfrac{1}{2}$ qui est $\alpha$ appartient à $]2;3[\text{ , donc :}$

$f(\alpha)=1\iff \dfrac{g(\alpha)}{\alpha}=1 \iff \boxed{g(\alpha)=\alpha}$

2) Pour tout $x \in I\text{ : }$

$2\leq x\leq 3 \iff 4\leq 2x\leq 6 \iff \ln 4 \leq \ln (2x)\leq \ln 6 \iff 1+\ln 4 \leq g(x) \leq 1+\ln 6$

Or, $1+\ln 4 \approx 2,39 \geq 2 \enskip\text{ et }\enskip 1+\ln 6 \approx 2,79\leq 3 \enskip\text{ , il s'ensuit que: } \enskip 2\leq g(x)\leq 3$

Donc: $\boxed{\forall x\in I\text{ : }g(x)\in I}$

$g'(x)=\left(1+\ln(2x)\right)'=\dfrac{1}{x}$

$2\leq x\leq 3 \iff \dfrac{1}{3}\leq \dfrac{1}{x}\leq \dfrac{1}{2} \iff \dfrac{1}{3}\leq g'(x)\leq \dfrac{1}{2}$

Or, $-\dfrac{1}{2}\leq \dfrac{1}{3}\enskip\text{ , on en tire que: } -\dfrac{1}{2}\leq g'(x)\leq \dfrac{1}{2}$

Donc: $\boxed{\forall x\in I\text{ : }|g'(x)|\leq \dfrac{1}{2} }$

3) Montrons par récurrence que $\forall n\in\N\text{ ; }U_n\in I\text{ : }$

Initialisation: Pour $n=0\text{ , on a } U_0=2\in I$

La proposition est vérifiée pour $n=0$ .

Hérédité: Supposons que pour un entier naturel $n$ donné, on a $U_n\in I$ .

Montrons alors que dans ce cas, on a aussi $U_{n+1}\in I$

On vient de montrer que $\forall x\in I\text{ : }g(x)\in I$ , alors puisque $U_n\in I \text{ , alors }g(U_n)\in I$ .

Il s'ensuit alors que $U_{n+1}=g(U_n)\in I$

Conclusion: D'après le principe de récurrence: $\boxed{\forall n\in\N\text{ ; }U_n\in I}$

4)On a:

La fonction $g$ est dérivable sur $I$ .

$\forall x\in I\text{ : } \left|\overset{}{g'(x)}\right|\le\dfrac{1}{2}.$

Alors, d'après l'inégalité des accroissements finies (I.A.F.):

$\forall x,y\in I\text{ : } |\,g(x)-g(y)\,|\le\dfrac{1}{2}|\,x-y\,|.$
Dans cette dernière inégalité, nous pouvons remplacer $x$ par $U_n$ car : $\forall n\in\N\text{ ; }\overset{{\white{.}}}{U_n\in I}$ .

De même , nous pouvons remplacer $y$ par $\alpha$ car $\overset{{\white{.}}}{\alpha\in\,I}$ .

Nous obtenons ainsi : $\forall n\in\N\text{ : }\left\mid g(U_{n})-g(\alpha)\right\mid\le\dfrac{1}{2}|\,U_{n}-\alpha\,|$ .

Finalement, $\forall n\in\N\text{ : }g(U_n)=U_{n+1}\text{ , et } g(\alpha)=\alpha$

Soit: $\boxed{\forall n\in\N\text{ : }\left\mid U_{n+1}-\alpha\right\mid\le\dfrac{1}{2}|\,U_{n}-\alpha\,|}\,}$

5) Démontrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $\left\mid U_{n}-\alpha\right\mid\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .

Initialisation: Pour $n=0\text{ , on a } U_0=2\text{ , de plus }2\leq \alpha \leq 3 \Rightarrow -3\leq -\alpha\leq -2\text{ , donc }-1\leq 2-\alpha \leq 0 \leq 1$

Donc $-1\leq 2-\alpha \leq 1 \Longrightarrow |U_0-\alpha|\leq 1 = \left(\dfrac{1}{2}\right)^0$

La proposition est vérifiée pour $n=0$ .

Hérédité: Montrons donc que si pour un nombre naturel $n$ fixé, $|\, U_{n}-\alpha\right\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ , alors $|\, U_{n+1}-\alpha\right\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}$

En effet, en utilisant le résultat de la question précédente et l'hypothèse de récurrence, nous obtenons :

$\left\lbrace\begin{matrix}|\, U_{n+1}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)|\,U_{n}-\alpha\,|\\|\, U_{n}-\alpha\right\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\phantom{wwww}\end{matrix}\right. \quad\Longrightarrow\quad|\, U_{n+1}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \\\\\text{D'où }\quad\boxed{|\, U_{n+1}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}$

Conclusion:

$\boxed{ \forall n\in\N \text{ ; } |U_n-\alpha|\leq\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} }$

6) Nous avons montré que pour tout entier naturel $n$ , $|\,U_{n}-\alpha\,|\le\left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ .

De plus, $0<\dfrac{1}{2}<1\quad\Longrightarrow\quad\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0$ .

Selon le théorème des gendarmes avec valeurs absolues:

$\boxed{\text{La suite }\overset{{\white{.}}}{(u_n)_{n\in\N}} \text{ converge vers } \overset{{\white{.}}}{\alpha.}}$

7) Pour que $U_n$ soit une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-3}$ près , il faut que $|U_n-\alpha|\leq 10^{-3}$ .

Ceci est vérifié si : $\left(\dfrac 1 2 \right)^n \leq 10^{-3} \Longrightarrow 2^n\geq 10^3 \Longrightarrow n\ln 2\geq 3\ln 10 \Longrightarrow n\geq 3\dfrac{\ln 10 }{\ln 2} \approx 9,96$

Conclusion:

$\boxed{p=10\text{ est le plus petit entier naturel tel que }U_p \text{ soit une valeur approchée de }\alpha \text{ à }10^{-3} \text{ près}}$

Publié par malou/Panter le 26-06-2023

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