Fiche de mathématiques

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Bac Côte d'Ivoire 2022

Mathématiques Série A1

Durée : 3 heures
Coefficient : 3

Seules les calculatrices scientifiques non graphiques sont autorisées.

2 points

exercice 1

Pour chacun des énoncés du tableau ci-dessous, les informations des colonnes $A, B \text{ et } C$ permettent d'obtenir trois affirmations dont une seule est vraie. Écris sur ta feuille de copie, le numéro de l'énoncé suivi de la lettre de la colonne qui donne l'affirmation vraie. Par exemple, pour l'énoncé 1., la bonne réponse est dans la colonne $B.$ Tu écriras 1-B.

Bac Côte d'Ivoire 2022 série A1 : image 1

2 points

exercice 2

Écris sur ta feuille de copie, le numéro de chaque proposition suivi de Vrai si la proposition est vraie, ou de Faux si la proposition est fausse.

$\begin{array}{|c|l|}\hline \text{ N° }&\text{ Propositions }\\ \hline 1. & \text{ L'équation }(E):x\in \R\text{ , } 2\text e ^{2x}-3\text e ^x + 1 = 0 \text{ admet pour ensemble de solutions } \lbrace 1 ; 3\rbrace. \\ \hline 2. & \text{ La dérivée de la fonction }x\mapsto2x-1-\ln x \text{ sur }]0,+\infty[ \text{ est la fonction }x\mapsto 2+\dfrac{1}{x} .\\ \hline 3. & \text{ La droite d'ajustement d'un nuage de points passe par le point moyen.}\\ \hline 4. &\text{ Le système d'équations } ((x;y)\in \R_+^*\times \R_+^*\,, \left\lbrace\begin{matrix} \ln (x)+3\ln(y)&= & 9\\ 2\ln(x)-\ln(y)& =& 4 \end{matrix}\right. \text{ admet pour ensemble de solutions } \lbrace(e^3 ; e^2)\rbrace . \\ \hline \end{array}$

5 points

exercice 3

Un sac contient dix (10) petites boîtes cubiques indiscernables au toucher dont six (06) rouges, trois (03) vertes et une (01) jaune.

On tire simultanément trois (03) boîtes du sac.

On admet que la probabilité de tirer une boîte est indépendante de sa couleur.

1. Justifie qu'il y a 120 tirages possibles.

2. Détermine la probabilité de l'événement A "tirer exactement deux boîtes vertes".

3. Justifie que la probabilité de l'événement B "ne tirer aucune boîte verte" est égale à $\dfrac{7}{24}\,\cdot$

4.On associe à ce tirage simultané le jeu suivant :

Le joueur mise la somme de 200F avant le tirage.

Après le tirage :

S'il y a exactement une boîte verte , il gagne 100F .

S'il y a exactement deux boîtes vertes , il gagne 200F .

S'il y a exactement trois boîtes vertes , il gagne 500F .

S'il n'y a aucune boîte verte , il ne gagne rien .

Soit $X$ la variable aléatoire qui associe à chaque tirage , le gain algébrique issu du tirage . (Gain algébrique = gain-mise)

a) Justifie que les valeurs prises par $X$ sont : $-200;-100;0\text{ et }300$ .

b) Détermine la loi de probabilité de $X$ .

c) Justifie que l'espérance mathématique de $\text{[math]}$ X est égale à $-\dfrac{325}{3}$ .

6 points

exercice 4

On considère la fonction numérique $f$ définie sur $]-\infty ; 3[$ par : $f(x)=\dfrac{x²-3x+9}{x-3} \,\cdot$

On désigne par $(\mathcal C)$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; I , J)$ .

L'unité graphique est le centimètre.

1.a) Justifie que : ${\white{ww}}\lim\limits_{\substack{x \to 3 \\ x<3}} f(x) = -\infty \,\cdot$

b) Donne une interprétation graphique du résultat précédent.

2. Justifie que $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$ .

3. On admet que $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 3[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.

a) Justifie que pour tout $x$ élément de $]-\infty ; 3[, {\white w}f'(x)=\dfrac{x(x-6)}{(x-3)²}\,\cdot$

b) Étudie le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x\,\cdot$

c) Dresse le tableau de variations de $f\,\cdot$

4. Démontre que la droite $(D)$ d'équation $y=x$ est une asymptote oblique à $(\mathcal C)$ en $-\infty$ .

5. On donne le tableau de valeurs ci-dessous.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline x&-5&-4&-3&-2&0&1&2&3 \\\hline f(x)&-6,1&-5,3&-4,5&-3,8&-3&-3,5&-7&\\\hline\end{array}$

Représente $(\mathcal C)$ et ses asymptotes sur l'intervalle $[-5;3[$ .

6.a) Justifie qu'une primitive de la fonction $x\mapsto\dfrac{-9}{x-3}$ sur $]-\infty;3[$ est la fonction $G$ définie par : $G(x)=-9\ln(3-x)$ .

b) Sachant que la courbe $(\mathcal C)$ est en dessous de la droite $(D)$ , calcule l'aire $\mathcal A$ en $\text{cm}^2$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal C) , (D)$ et les droites d'équations $x=-2\text{ et }x=0$ .

5 points

exercice 5

Un élève, en classe de 3ème, est déclaré vainqueur à un concours de mathématiques.

Pour le récompenser, le sponsor du concours lui verse, pendant douze mois, une somme d'argent dont le montant initial est de $\text{ 25 000 F }$ et cela à partir du 03 janvier 2022 (premier mois).

Le versement augmente de $6\%$ du précédent versement à partir du deuxième mois jusqu'au douzième mois. Il souhaite, à la fin du douzième mois, utiliser la somme totale reçue pour s'acheter un ordinateur d'un coût de $\text{ 500 000 F }$ . Son père promet de donner la différence lui permettant d'acheter l'ordinateur, si la somme versée atteint au moins $\text{ 400 000 F }$ . L'élève se demande s'il pourra acheter l'ordinateur .

A l'aide d'une production argumentée basée sur tes connaissances mathématiques, dis si l'élève pourra bénéficier de l'aide de son père pour acheter l'ordinateur ou non.

Voir la correction

exercice 1

Les affirmations de cet exercice sont des résultats du cours :

1-B $\text{ : }\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$

2-C $\text{ : Pour tout réel }x\text{: }e^x>0$

3-B $\text{ : }E\text{ et }F \text{ sont incompatibles , alors : }P(E\cup F)=P(E)+P(F)$

4-C $\text{ : Soit }a\in \R^{*}\text{ et }n\in\N^{*} \text{ , pour tout réel }x\text{ : }(ax^n)'=nax^{n-1}$

5-B $\text{ : Soit }(v_n) \text{ une suite arithmétique de raison }r\neq 0\text{ , alors : }v_0+v_1+\cdots+v_{n-1}=\dfrac{n(v_0+v_{n-1})}{2}$

exercice 2

Les justifications présentées ici ne sont pas demandées .

1- Faux

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2- Faux

Cliquez pour afficher

3- Vrai

Directement d'après le cours .

4- Vrai

Cliquez pour afficher

exercice 3

1- On tire simultanément 3 boîtes du sac contenant 10 , alors :

$\boxed{\text{ Le nombre de tirages possibles est : }{10\choose 3}=120 }$

2- La probabilité de l'événement A "tirer exactement deux boîtes vertes" , donc :

$P(A)=\dfrac{{3\choose 2}\times {7\choose 1}}{{10\choose 3}}=\dfrac{3\times 7}{120} =\dfrac{7}{40}$

$\boxed{P(A)=\dfrac{7}{40}}$

3- La probabilité de l'événement B "ne tirer aucune boîte verte" , donc :

$P(B)=\dfrac{ {7\choose 3}}{{10\choose 3}}=\dfrac{35}{120} =\dfrac{7}{24}$

$\boxed{P(B)=\dfrac{7}{24}}$

4-a) On sait que la mise est toujours $200$ , alors :

S'il y a exactement une boîte verte , le gain est $100$ , le gain algébrique est donc $100-200=-100$
S'il y a exactement deux boîtes vertes , le gain est $200$ , le gain algébrique est donc $200-200=0$
S'il y a exactement trois boîtes vertes , le gain est $500$ , le gain algébrique est donc $500-200=300$
S'il n'y a aucune boîte verte , le gain est $0$ , le gain algébrique est donc $0-200=-200$

On conclut alors que :
$\boxed{\text{Les valeurs prises par }X \text{ sont : } -200;-100;0\text{ et }300 }$

b) On a :

$P(X=-200)=P(B)=\dfrac{7}{24}$
$P(X=-100)=\dfrac{{3\choose 1}\times {7\choose 2}}{{10\choose 3}}=\dfrac{3\times 21}{120}=\dfrac{21}{40}$ .
$P(X=0)=P(A)=\dfrac{7}{40}$
$P(X=300)=\dfrac{{3\choose 3}}{{10\choose 3}}=\dfrac{1}{120}$ .

Récapitulatif :

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x_i&-200&-100&0&300\\\hline & &&&\\ P(X=x_i) & \dfrac{7}{24} &\dfrac{21}{40}&\dfrac{7}{40}&\dfrac{1}{120}\\ && &&\\ \hline \end{array}$

c) L'espérance mathématique se calcule par : $E(X)=\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)$

$\begin{matrix} E(X)&=&\displaystyle \sum_{i} x_iP(X=x_i)\\&=& -200\times\dfrac{7}{24}-100\times\dfrac{21}{40}+0\times\dfrac{7}{10}+300\times \dfrac{1}{120}\\&=& -\dfrac{175}{3}-\dfrac{105}{2}+\dfrac{5}{2}\\&=&-\dfrac{175}{3}-\dfrac{150}{3}\\&=&-\dfrac{325}{3}\end{matrix}$

Conclusion :

$\boxed{E(X)=-\dfrac{325}{3}}$

exercice 4

1-a) On sait que $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}x-3=0^-$ et $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}x^2-3x+9=9$

Donc $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}\dfrac{x^2-3x+9}{x-3}=\dfrac{9}{0^-}=-\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty}$

b)On a $\displaystyle\lim_{x\to 3^-}f(x)=-\infty$

Interprétation graphique :

$\boxed{\text{La droite d'équation }x=3\text{ est une asymptote verticale à la courbe } (\mathcal C) }$

2) $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^2-3x+9}{x-3} =\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x^2}{x}=\displaystyle\lim_{x\to -\infty}x=-\infty$

$\boxed{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)=-\infty}$

3-a) La fonction $f$ est dérivable sur $]-\infty ; 3[$ , donc :

$\text{ Pour tout }x\text{ de }]-\infty;3[\text{ : }$

$\begin{matrix}f'(x)&=&\left( \dfrac{x²-3x+9}{x-3}\right)'&=& \dfrac{(x²-3x+9)'(x-3)-(x^2-3x+9)(x-3)'}{(x-3)^2}\\&=& \dfrac{(2x-3)(x-3)-(x^2-3x+9)}{(x-3)^2} &=&\dfrac{2x^2-6x-3x+9-x^2+3x-9}{(x-3)^2} \\&=& \dfrac{x^2-6x}{(x-3)^2}&=&\dfrac{x(x-6)}{(x-3)^2}\end{matrix}$

$\boxed{\text{Pour tout }x\text{ appartenant à }]-\infty;3[\text{ : }f'(x)=\dfrac{x(x-6)}{(x-3)^2}}$

b) Pour tout réel $x$ de $]-\infty;3[\text{ : } (x-3)^2>0$ .

De plus , $3>x\iff -3>x-6$ , donc $x-6<0$

Donc , le signe de $f'(x)$ est l'opposé de celui de $x$ , donc :

$\boxed{\begin{matrix} \text{ Pour tout } x\in ]-\infty;0]\text{ : } f'(x)\geq 0 \\\text{ Pour tout } x\in [0;3[\text{ : } f'(x)\leq 0 \end{matrix}}$

c) Les résultats de la question précédente permettent de dresser le tableau de variations de $f$ :

$\begin{array}{|c|cccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & & 3 \\ \hline f'(x) && + & \barre{0} & - & & \dbarre \\ \hline && & f(0)=-3 & & & \dbarre \\ f & & \nearrow && \searrow& &\dbarre \\ &-\infty& && & -\infty & \dbarre\\ \hline \end{array}$

Avec $f(0)=\dfrac{0^2-3\times 0+9}{0-3}=\dfrac{9}{-3}=-3$

4) On calcule la limite en $-\infty$ de $f(x)-y$ avec $y=x$ l'équation de la droite $(D)$ :

$\begin{matrix}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}f(x)-y&=&\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x²-3x+9}{x-3}-x&=&\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x²-3x+9-x(x-3)}{x-3}\\&=&\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{x²-3x+9-x^2+3x)}{x-3}&=&\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\dfrac{9}{x-3}\\\\&=&0\end{matrix}$

Interprétation graphique :

$\boxed{\text{La droite }(D) \text{ : } y=x \text{ est une asymptote oblique à }(\mathcal C) \text{ en }-\infty}$

5) La représentation graphique :

Bac Côte d'Ivoire 2022 série A1 : image 2

6-a) La fonction $G$ est dérivable sur $]-\infty;3[$ , et on a :

$\text{ Pour tout }x\text{ de }]-\infty;3[\text{ : }G'(x)=\left[-9\ln(3-x)\right]'=-9\dfrac{(3-x)'}{3-x}=-9\dfrac{-1}{3-x}=\dfrac{9}{3-x}=\dfrac{-9}{x-3}$

$\boxed{\text{La fonction }G\text{ est une primitive de la fonction } x\mapsto\dfrac{-9}{x-3} \text{ sur }]-\infty;3[}$

b) L'aire $\mathcal A$ de la partie du plan limitée par $(\mathcal C) \text{ , } (D)$ et les droites d'équations $x=-2\text{ et }x=0$ est en unité d'aire $(U.A)$ :

$\mathcal A=\displaystyle \int_{-2}^{0}|f(x)-y|\text{ d}x\enskip \text{ avec }y=x\text{ l'équation de }(D)$

De plus , on sait que la courbe $(\mathcal C)$ est en dessous de la droite $(D)$ , donc :

Pour tout $x$ de $]-\infty;3[\text{ : }y\geq f(x)\text{ , et : }$

$\begin{matrix}|f(x)-y|&=&y-f(x)&=&x-f(x)&=&-\dfrac{9}{x-3}&\enskip&\left(\text{ d'après }\red 4) \black\right)\end{matrix}$

On obtient :

$\begin{matrix}\mathcal A&=&\displaystyle \int_{-2}^{0}|f(x)-y|\text{ d}x&=&\displaystyle \int_{-2}^{0}\dfrac{-9}{x-3}\text{ d}x\\&=&\displaystyle\left[-9\ln(3-x)\right]_{-2}^0 &=& -9\ln(3)+9\ln(5)\\&=& 9\left(\ln (5)-\ln (3)\right)&=&\boxed{9\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)\enskip (U.A)}\end{matrix}$

Enfin , l'unité graphique est $\text{ cm , alors : }1U.A=1\text{ cm }\times 1\text{ cm }=1\text{ cm}^2$

Conclusion :

$\boxed{\mathcal A = 9\ln\left(\dfrac{5}{3}\right)\text{ cm}^2}$

exercice 5

Puisque chaque versement augmente mensuellement de $6\%$ du précédent . Alors pour voir si l'élève pourra bénéficier de l'aide de son père pour acheter son ordinateur ou non , on utilise la suite géométrique $(u_n)$ avec $n\in\N^*$ , de raison $1,06$ , définie par :

$u_1=25000 \text{ le montant initial (premier mois) }$

$\text{Pour tout }n\text{ de }\N^{*}\text{ : }u_{n+1}=1,06u_n \text{ , avec :}$

$\begin{matrix} \bullet & u_n\text{ le montant au n-ième mois }\\ \bullet & u_{n+1} \text{ le montant au mois } n+1\end{matrix}$

(En effet , augmenter de $6\%$ revient à multiplier par $1,06$ )

La somme totale notée $T$ , reçue à la fin du douzième mois correspond donc à la somme des $12$ premiers termes de la suite $(u_n)$ , alors :

$\begin{matrix}T&=&u_1+u_2+\cdots+u_{12}\\&=&u_1\dfrac{1-(1,06)^{12}}{1-1,06}\\&\approx&421749\end{matrix}$

Enfin , $421749>400000$

Donc :

$\boxed{\text{L'élève pourra bien bénéficier de l'aide de son père pour acheter l'ordinateur}}$

Publié par malou/Panter le 18-11-2022

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