Fiche de mathématiques

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BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

SESSION 2021

MATHÉMATIQUES

Épreuve prévue à l'origine les 15 et 16 mars 2021

Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.

Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

Partie I
Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d'un lecteur optique automatique de reconnaissance de l'adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître convenablement 97 % des adresses ; le reste du courrier, que l'on qualifiera d'illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d'effectuer la lecture de neuf adresses. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre d'adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que X suit la loi binomiale de paramètres n = 9 et p = 0, 03.

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 35

Partie II
Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 36

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 31

6 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

On considère les suites (u_n) et (v_n) définies pour tout entier naturel n par :

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 34

Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites (u_n) et (v_n) sont strictement positives.

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 41

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 37

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; vecti

) on considère les points :
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 42

L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 33

5 points

exercice au choix du candidat

Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués dans un encadré.

Exercice A

${\boxed{\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation }}}$

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 40

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 39

Exercice B

${\boxed{\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation }}}$

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 44

Correction

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021

5 points

exercice 1 : Commun à tous les candidats

Partie I

${\red{\text{1. }}{\blue{\text{Réponse\ d\,:\ La probabilité qu'aucune des neuf adresses soit illisible est égale, au centième près à 0,76. }}}}$

Nous devons calculer $P(X=0).$

$P(X=0)=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\times0,03^0\times(1-0,03)^{9-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,97^{9} \\\phantom{P(X=0)}\approx0,76 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)\approx 0,76}$
Donc la réponse correcte est la réponse d : 0,76.

${\red{\text{2. }}{\blue{\text{Réponse\ c\,:\ La probabilité qu'exactement deux des neuf adresses soient illisibles}}}$
${\white{wwwwwwwww}}{\blue{\text{pour la machine est }\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,97^{7}\times0,03^2.}}}$

Nous devons calculer $P(X=2).$

$P(X=2)=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,03^2\times(1-0,03)^{9-2} \\\phantom{P(X=2)}=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,03^2\times0,97^{7} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,97^{7}\times0,03^2}$
Donc la réponse correcte est la réponse c : ${\red{\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,97^{7}\times0,03^2.}}$

${\red{\text{3. }}{\blue{\text{Réponse\ d\,:\ La probabilité qu'au moins une des neuf adresses soit illisible}}}$
${\white{wwwwwwwww}}{\blue{\text{pour la machine est }1-P(X=0).}}}$

L'événement contraire de l'événement "au moins une des neuf adresses est illisible" est "aucune des neuf adresses n'est illisible".
Dès lors, $P(X\ge1)=1-P(X=0).$
Donc la réponse correcte est la réponse d : $\overset{{\white{.}}}{{\red{1-P(X=0).}}}$

Partie II

Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.

${\red{\text{4. }}{\blue{\text{Réponse\ b\,:\ La probabilité de }V_2\text{ sachant que } V_1\text{ est réalisé, notée }P_{V_1}(V_2),\text{ est égale à }\dfrac{4}{7}.}}}$
Nous supposons que $\overset{{\white{.}}}{V_1}$ est réalisé.
Il s'ensuit que l'urne ne contient plus que 7 boules dont 4 boules vertes.
Dès lors, la probabilité de $\overset{{\white{.}}}{V_2}$ sachant que $\overset{{\white{.}}}{V_1}$ est réalisé est égale à $\dfrac{4}{7}.$
Donc la réponse correcte est la réponse b : ${\red{\dfrac{4}{7}.}}$

Arbre pondéré traduisant la situation.

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 52

${\red{\text{5. }}{\blue{\text{Réponse\ a\,:\ La probabilité de l'événement }V_2\text{ est égale à }\dfrac{5}{8}.}}}$
Les événements $V_1$ et $B_1$ forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

$P(V_2)=P(V_1\cap V_2)+P(B_1\cap V_2) \\\phantom{P(V_2)}=P(V_1)\times P_{V_1}(V_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(V_2) \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7} \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56} \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{35}{56}=\dfrac{7\times5}{7\times8}=\dfrac{5}{8} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(V_2)=\dfrac{5}{8}}$

Donc la réponse correcte est la réponse a : ${\red{\dfrac{5}{8}.}}$

6 points

exercice 2 : Commun à tous les candidats

On considère les suites $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ définies pour tout entier naturel n par :

$\left\lbrace\begin{matrix}u_0=v_0=1\\u_{n+1}=u_n+v_n\\v_{n+1}=2u_n+v_n\end{matrix}\right.$
Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites $\overset{{\white{.}}}{(u_n)}$ et $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ sont strictement positives.

${\red{1.\ \text{a) }}}\ u_1=u_0+v_0=1+1=2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}}\ v_1=2u_0+v_0=2\times1+1=2+1=3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}u_1=2\\v_1=3\end{matrix}\right.}$

1. b) Nous devons démontrer que la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ est strictement croissante.

Pour tout entier naturel n ,

$v_{n+1}-v_n=(2u_n+v_n)-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n+v_n-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}>0{\white{wwww}}(\text{car }u_n>0\text{ [admis dans l'énoncé])} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-v_n>0}$
Par conséquent, la suite $\overset{{\white{.}}}{(v_n)}$ est strictement croissante.

Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , $\overset{{\white{.}}}{v_n\ge v_0}$ , soit que $\overset{{\white{.}}}{\boxed{v_n\ge 1}}$

1. c) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a : $\overset{{\white{.}}}{u_n\ge n+1}$

$\bullet {\white{w}}$ Initialisation : Démontrons la propriété pour n = 0, soit $\overset{{\white{.}}}{u_0\ge 1}$ .
Évident car $u_0=1$
L'initiation est donc vraie.

$\bullet {\white{w}}$ Hérédité : Démontrons que si pour une valeur entière naturelle fixée de n , la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que si pour tout entier naturel n , nous avons $\overset{{\white{.}}}{u_n\ge n+1}$ , alors $\overset{{\white{.}}}{u_{n+1}\ge n+2}.$

Nous savons par définition que $u_{n+1}=u_n+v_n.$

$\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}u_n\ge n+1{\white{wwww}}(\text{par hypothèse de récurrrence)}\\v_n\ge1{\white{wwwwwww}}(\text{voir la question 1. b)}{\white{wwwww}} \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow u_n+v_n\ge n+1+1 \\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow u_n+v_n\ge n+2 \\\\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}\ge n+2}$
L'hérédité est donc vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons : $\overset{{\white{.}}}{u_n\ge n+1}.$

1. d) Par le théorème de comparaison, nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix} u_n\ge n+1\\\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}$

2. On pose pour tout entier naturel n : $\overset{{\white{.}}}{r_n=\dfrac{v_n}{u_n}}.$

On admet que : $r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.$

2. a) Pour tout entier naturel n , $\left\lbrace\begin{matrix}-1\le (-1)^{n+1}\le1{\white{wwwwwwwwwwwwww}}\\u_n^2>0{\white{ww}}(\text{car }u_n>0:\text{admis dans l'énoncé)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{-\dfrac{1}{u_n^2}\le\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}\le\dfrac{1}{u_n^2}}$

2. b) Par la question 1. d), nous savons que $\overset{{\white{.}}}{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty.}$

$\text{D'où }\ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}u_n^2=+\infty \\\phantom{\text{D'où }\ \lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=0$
Par le "théorème des gendarmes", nous obtenons : $\left\lbrace\begin{matrix}-\dfrac{1}{u_n^2}\le\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}\le\dfrac{1}{u_n^2}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=0\end{matrix}\right.{\white{.}}\Longrightarrow{\white{.}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}=0}$

2. c) Nous savons par l'énoncé que $r_n^2=2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{u_n^2}.$
Or $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}=0$
Par conséquent, $\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}r_n^2=2}$

Il s'ensuit que $\left\lbrace\begin{matrix}\ \lim\limits_{n\to+\infty}r_n^2=2\\\lim\limits_{X\to2}\sqrt{X} =\sqrt{2}\end{matrix}\right.{\white{wwv}}\underset{\text{par composition avec }X=r_n^2}{\Longrightarrow}{\white{www}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}r_n=\sqrt{2}}$

2. d) Pour tout entier naturel n ,

$\dfrac{2+r_n}{1+r_n}=\dfrac{2+\dfrac{v_n}{u_n}}{1+\dfrac{v_n}{u_n}}=\dfrac{\dfrac{2u_n+v_n}{u_n}}{\dfrac{u_n+v_n}{u_n}} =\dfrac{2u_n+v_n}{u_n+v_n}=\dfrac{v_{n+1}}{u_{n+1}}=r_{n+1} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall n\in\N,\ r_{n+1}=\dfrac{2+r_n}{1+r_n}}$

2. e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 53

La valeur renvoyée par le programme est 5, ce qui correspond à la plus petite valeur entière naturelle de n telle que $|r_n-\sqrt{2}|\le10^{-4}.$
Autrement dit, l'erreur commise en approchant $\sqrt{2}$ par $\overset{{\white{.}}}{r_5}$ est inférieure à 10^-4.

4 points

exercice 3 : Commun à tous les candidats

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; $\vec i,\, \vec j,\, \vec k$ ) on considère les points :
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 50

1. a) Montrons que le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC).

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,0\ ;\,0))\\B(0\,;\,3\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-2\\3-0\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}}$

$\left\lbrace\begin{array}l A(2\ ;\,0\ ;\,0))\\C(0\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-2\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$

Manifestement, les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

De plus,

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AB}\ \ &\ 3\times(-2)+2\times3+6\times0\\\ \ &\ -6+6-0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}}$

$\begin{array}{r @{ = } l} \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}\ \ &\ 3\times(-2)+2\times0+6\times1\\\ \ &\ -6+0+6\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}}$

Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{n}$ étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est normal au plan (ABC).

1. b) Nous savons que tout plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ admet une équation cartésienne de la
forme ax + by + cz + d = 0.

Puisque le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}3\\2\\6\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 3x + 2y + 6z + d = 0.

Or le point C(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (ABC).
Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 + 0 + 6 + d = 0 , soit d = -6.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est $\boxed{3x+2y+6z-6=0}.$

2. On note d la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).

2. a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .

La droite d est orthogonale au plan (ABC).
Cette droite est donc dirigée par le vecteur $\boxed{\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}{\red{3}}\\ {\red{2}}\\ {\red{6}}\end{pmatrix}}$ .
La droite d passe par le point $O({\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}\,;\,{\blue{0}}).$
D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par : $\left\lbrace\begin{array}l x={\blue{0}}+{\red{3}}\times t\\y={\blue{0}}+{\red{2}}\times t\\z={\blue{0}}+{\red{6}}\times t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})$
soit $\boxed{d :\left\lbrace\begin{array}l x=3t\\y=2t\\z=6t \end{array}\ \ \ (t\in\mathbb{R})}$

2. b. Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite d et du plan (ABC), soit du système :

$\left\lbrace\begin{array}l x=3t\\y=2t\\z=6t\\3x+2y+6z-6=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3t\\y=2t\\z=6t\\3\times3t+2\times2t+6\times6t-6=0 \end{array}\ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3t\\y=2t\\z=6t\\49t-6=0 \end{array}$

$\left\lbrace\begin{array}l x=3t\\y=2t\\z=6t\\t=\dfrac{6}{49} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=3\times\dfrac{6}{49}\\\\y=2\times\dfrac{6}{49}\\\\z=6\times\dfrac{6}{49}\\t=\dfrac{6}{49} \end{array}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrace\begin{array}l x=\dfrac{18}{49}\\\\y=\dfrac{12}{49}\\\\z=\dfrac{36}{49}\\\\t=\dfrac{6}{49}\end{array}$

D'où les coordonnées du point H sont $\boxed{(\dfrac{18}{49}\,;\,\dfrac{12}{49}\, ;\, \dfrac{36}{49})}.$

${\red{2.\ \text{c) }}}\ OH=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{12}{49}\right)^2+\left(\dfrac{36}{49}\right)^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ OH}=\sqrt{\dfrac{324}{49^2}+\dfrac{144}{49^2}+\dfrac{1296}{49^2}} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ OH}=\sqrt{\dfrac{1764}{49^2}}=\dfrac{42}{49}=\dfrac{6}{7} \\\\\Longrightarrow\boxed{OH=\dfrac{6}{7}}$

3. Déterminons de deux manières différentes le volume V de la pyramide OABC.

$\bullet {\white{w}}$ Prenons le triangle ABC comme étant la base de la pyramide et OH comme hauteur.

${\white{nnn}}V=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{\text{ABC}}\times OH=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{\text{ABC}}\times \dfrac{6}{7}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{6}{7}\times\text{Aire}_{\text{ABC}} \\\\\Longrightarrow\boxed{V=\dfrac{2}{7}\times\text{Aire}_{\text{ABC}}}$

$\bullet {\white{w}}$ Prenons le triangle OAB comme étant la base de la pyramide et OC comme hauteur.

${\white{nnn}}V=\dfrac{1}{3}\times\text{Aire}_{\text{OAB}}\times OC=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{OA\times OB}{2}\times OC=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2\times 3}{2}\times 1=\dfrac{2\times 3}{3\times2}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{V=1}$

$\bullet {\white{w}}$ En identifiant ces deux expressions du volume de la pyramide, nous obtenons :

${\white{nnn}}\dfrac{2}{7}\times\text{Aire}_{\text{ABC}}=1$ , soit $\boxed{\text{Aire}_{\text{ABC}}=\dfrac{7}{2}}$

5 points

exercice Au choix du candidat

Exercice A

${\boxed{\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction exponentielle ; dérivation }}}$

Le graphique ci-dessous représente dans un repère orthogonal, les courbes $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}$ et $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ des fonctions f et g définies sur

par : $\overset{{\white{.}}}{f(x)=x^2\,\text{e}^{-x}}$ et $\overset{{\white{.}}}{g(x)=\text{e}^{-x}}.$

Bac général Épreuve de Spécialité 2-Mars 2021 : image 49

1. a) Les abscisses des points d'intersections de $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}$ et $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ sont les solutions de l'équation : $\overset{{\white{.}}}{f(x)=g(x).}$

$f(x)=g(x)\Longleftrightarrow x^2\,\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)=g(x)}\Longleftrightarrow x^2=1{\white{www}}(\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\ne0) \\\phantom{f(x)=g(x)}\Longleftrightarrow\boxed{ x=1{\white{ww}}\text{ou}{\white{ww}}x=-1}$

Les ordonnées de ces points d'intersections sont $\overset{{\white{.}}}{f(1)=g(1)=\text{e}^{-1}}$ et $\overset{{\white{.}}}{f(-1)=g(-1)=\text{e}.}$
Par conséquent, les coordonnées des points d'intersections de $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}$ et $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ sont $\overset{{\white{.}}}{(-1\,;\,\text{e})}$ et $\overset{{\white{.}}}{(1\,;\,\text{e}^{-1}).}$

1. b) Etudions le signe sur

de f (x ) - g (x ).

$f(x)-g(x)=x^2\,\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}\\\Longrightarrow\overset{{\white{.}}}{ f(x)-g(x)=(x^2-1)\,\text{e}^{-x}}$
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de f (x ) - g (x ) est le signe de (x ² - 1).

Or x ² - 1 est un polynôme du second degré dont les racines sont -1 et 1. Il est du signe du coefficient de x ² (donc positif) pour toutes les valeurs de x sauf entre les racines (où il est négatif).
D'où le tableau de signe de f (x ) - g (x ).

${\white{wwww}}$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&x^2-1&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline &&&&&&&&f(x)-g(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, pour tout x ]- ; -1[ U ]1 ; +[, $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}$ est au-dessus de $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ ,
${\white{wwwwwwwww}}$ pour tout x ]-1 ; 1[, $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_f}$ est en dessous de $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}.$

2. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [-1 ; 1], on considère les points M de coordonnées (x ; f (x )) et N de coordonnées (x ; g (x )), et on note d (x ) distance MN. On admet que : $\overset{{\white{.}}}{d(x)=\text{e}^{-x}-x^2\,\text{e}^{-x}.}$
On admet que la fonction d est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1] et on note d' sa fonction dérivée.

${\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)=(\text{e}^{-x})'-(x^2\,\text{e}^{-x})' \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[(x^2)'\times\text{e}^{-x}+x^2\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[2x\times\text{e}^{-x}+x^2\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}+x^2\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{d\,'(x)=\text{e}^{-x}(x^2-2x-1)}$

2. b) Étudions le signe de la dérivée d' et les variations de la fonction d sur l'intervalle [-1 ; 1].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur

, le signe de d' (x ) est le signe de (x ² - 2x - 1).

$\underline{\text{Discriminant}}:\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8>0. \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1-\sqrt{2})}{2}=1-\sqrt{2}\approx-0,4 \\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1+\sqrt{2})}{2}=1+\sqrt{2}\approx2,4$
D'où le tableau de signes de (x ² - 2x - 1) sur

.

${\white{wwww}}$ $\begin{array}{|c|ccccccccccc|}\hline&&&&&&&&&&&\\ x&-\infty&& (-1)&&1-\sqrt{2}\approx-0,4&&(1)&&1+\sqrt{2}\approx2,4&&+\infty\\&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&x^2-2x-1&&+&+&+&0&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée d' (x ) et les variations de la fonction d sur
l'intervalle [-1 ; 1].

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}:d(-1)=\text{e}-1\times\text{e}=0\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}d(1-\sqrt{2})=\text{e}^{-(1-\sqrt{2})}-(1-\sqrt{2})^2\,\text{e}^{-(1-\sqrt{2})}\approx1,3\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}d(1)=\text{e}^{-1}-1\times\,\text{e}^{-1}=0\\\\\\ {\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&-1&&1-\sqrt{2}&&1\\&&&&& \\\hline &&&&&&d\,'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\approx1,3&&&d(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction d est croissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[-1\,;\,1-\sqrt{2}]}$
${\white{wwwwwwwww}}$ et est décroissante sur l'intervalle $\overset{{\white{.}}}{[1-\sqrt{2}\,;\,1]}.$

2. c) A l'aide du tableau de variation de la fonction d , nous pouvons déduire que sur l'intervalle [-1 ; 1], la fonction d admet un maximum en $x=1-\sqrt{2},$ ce maximum étant environ égal à 1,3 (valeur approchée à 0,1 près).

Par conséquent, l'abscisse commune x ₀ des points M ₀ et N ₀ permettant d'obtenir une distance d (x ₀) maximale est $\boxed{x_0=1-\sqrt{2}}$ . Nous obtenons alors : $\boxed{M_0N_0\approx1,3.}$

3. Soit deltamaj

la droite d'équation : y = x + 2.
Considérons la fonction h dérivable sur

et définie par : $\overset{{\white{.}}}{h(x)=\text{e}^{-x}-x-2}.$
Etudions le nombre de solutions de l'équation h (x ) = 0.

$\bullet {\white{w}}$ La fonction h est continue sur

car elle est dérivable sur

.

$\bullet {\white{w}}h(x)=\text{e}^{-x}-x+2\Longrightarrow h'(x)=-\text{e}^{-x}-1. \\\\\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0\Longrightarrow-\text{e}^{-x}<0 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0}\Longrightarrow-\text{e}^{-x}-1<0 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0}\Longrightarrow \boxed{h'(x)<0}$
D'où la fonction h est strictement décroissante sur

.

De plus,

$\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}(-x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty}$

$\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(-x-2)=-\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty}$

Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution sur .

Interprétation graphique :

$h(x)=0\Longleftrightarrow\text{e}^{-x}-x-2=0 \\\phantom{h(x)=0}\Longleftrightarrow\text{e}^{-x}=x+2 \\\\\Longrightarrow \boxed{h(x)=0\Longleftrightarrow g(x)=x+2}$ .

Par conséquent, dire que "l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution sur

" revient à dire que "la droite et la courbe $\overset{{\white{.}}}{\mathscr{C}_g}$ possèdent un et un seul point d'intersection."

Exercice B

${\boxed{\textbf{Principaux domaines abordés : Fonction logarithme ; dérivation }}}$

Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire

Soit g la fonction définie sur ]0 ; + infini

[ par : $\overset{{\white{.}}}{g(x)=\ln(x)+2x-2.}$

${\red{1.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\ln(x)+2x-2]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}$

$\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to0^+}(2x-2)=-2\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to0^+}[\ln(x)+2x-2]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty}$

2. Déterminons les variations de la fonction g .

$g(x)=\ln(x)+2x-2\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x}+2 \\\\\phantom{g(x)=\ln(x)+2x-2}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1+2x}{x} \\\\\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0\Longrightarrow\dfrac{1+2x}{x}>0 \\\\\phantom{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0}\Longrightarrow \boxed{g'(x)>0}$
D'où la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +[.

3. $\bullet {\white{w}}$ La fonction g est continue sur ]0 ; + infini

[ comme somme de fonctions continues sur ]0 ; + infini

[.

$\bullet {\white{w}}$ La fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.

$\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty$

$\bullet {\white{w}}\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution a sur ]0 ; +[.

4. $g(1)=\ln(1)+2\times1-2=0+2-2\Longrightarrow\boxed{g(1)=0}\,.$

La fonction g est strictement croissante sur ]0 ; + infini

[.
D'où, par définition de la croissance, nous obtenons :

$\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1\Longrightarrow g(x)<g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1}\Longrightarrow g(x)<0 \\\\\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1\Longrightarrow g(x)>g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1}\Longrightarrow g(x)>0$

Par conséquent, $\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]0\,;\,1[,\ \text{alors }g(x) <0}$
${\white{wwwwwwwww}}$ et $\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\ \text{alors }g(x) >0}.$

Partie II : Étude d'une fonction f

On considère la fonction f , définie sur ]0 ; + infini

[ par : $f(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-1).$

1. a) Pour tout x de ]0 ; + infini

[,

$f'(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)'\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\ln(x)-1)' \\\phantom{f'(x)}=\left(0+\dfrac{1}{x^2}\right)\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\dfrac{1}{x}-0) \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\left(\dfrac{2x-1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\dfrac{2x-1}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2}=\dfrac{\ln(x)+2x-2}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}$

1. b) $\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ x^2>0.$
Donc le signe de f' (x ) est celui de g (x ).
Or le signe de g (x ) a été déterminé dans la question 4, partie I.
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; + infini

[.

$\underline{\text{Calcul préliminaire}}:f(1)=\left(2-\dfrac{1}{1}\right)(\ln(1)-1)=(2-1)(0-1)=-1\\\\\\\phantom{wwwww}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&& \\\hline &||&&&&&g(x)&||&-&0&+&\\&||&&&& \\\hline &||&&&&&f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&&f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&-1&&\\\hline \end{array}$

${\red{2.\ }}\ f(x)=0\Longleftrightarrow\left(2-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-1)=0 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow2-\dfrac{1}{x}=0{\white{ww}}\text{ou}{\white{ww}}\ln(x)-1=0 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{x}=2\ \text{ ou }\ \ln(x)=1 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ \text{ ou }\ x=\text{e}$
D'où l'ensemble S des solutions de l'équation f (x ) = 0 est $\boxed{S=\lbrace\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}\rbrace}$

Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de f complété par son signe sur l'intervalle ]0 ; + infini

[.

${\white{wwww}}$ $\begin{array}{|c|ccccccccc|}\hline&&&&&&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&1&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&&& \\\hline &||&&&&&&&&&f(x)&||&\searrow&0&\searrow&&\nearrow&0&\nearrow&\\&||&&&&-1&&&& \\\hline &||&&&&&&&&&f(x)&||&+&0&-&-&-&0&+&\\&||&&&&&&&&\\\hline \end{array}$

Partie III : Étude d'une fonction F admettant pour dérivée la fonction f

On admet qu'il existe une fonction F dérivable sur ]0 ; + infini

[ dont la dérivée F' est la fonction f .
Ainsi, nous avons : F' = f .

1. A l'aide du tableau de signes de f dressé dans la question 2. partie II, nous obtenons le tableau de variations de F sur ]0 ; + infini

[.

${\white{wwww}}$ $\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F'(x)\ [=f(x)]&||&+&0&-&0&+&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F(x)&||&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction F est strictement croissante sur l'intervalle $]0\,;\,\dfrac{1}{2}]$ et sur l'intervalle $[\text{e}\,;\,+\infty[$ . ${\white{wwwwwwwww}}$ et est strictement décroissante sur l'intervalle $[\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}]$ .

2. Nous savons que $\boxed{F'(x)=0}\Longleftrightarrow f(x)=0\Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{2}\ \text{ ou }\ x=\text{e}.}$

Dès lors la courbe $\mathscr{C}_F$ représentative de F admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, la première en son point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ et la seconde en son point d'abscisse e.

Publié par malou le 02-05-2021

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