Durée de l'épreuve : 4 heures
L'usage de la calculatrice avec mode examen actif est autorisé.
L'usage de la calculatrice sans mémoire, « type collège » est autorisé.
Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul
des deux exercices A ou B.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en
compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou
infructueuses, seront valorisées.
5 points
exercice 1 : Commun à tous les candidats
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule
des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de
réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Partie I
Dans un centre de traitement du courrier, une machine est équipée d'un lecteur optique automatique de reconnaissance de l'adresse postale. Ce système de lecture permet de reconnaître
convenablement 97 % des adresses ; le reste du courrier, que l'on qualifiera d'illisible pour la machine, est orienté vers un employé du centre chargé de lire les adresses.
Cette machine vient d'effectuer la lecture de neuf adresses. On note X la variable aléatoire qui
donne le nombre d'adresses illisibles parmi ces neuf adresses.
On admet que X suit la loi binomiale de paramètres n = 9 et p = 0, 03.
Partie II
Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
6 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
On considère les suites (un) et (vn) définies pour tout entier naturel n par :
Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites (un) et (vn) sont strictement positives.
4 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; , , ) on considère les points :
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).
L'objectif de cet exercice est de calculer l'aire du triangle ABC.
5 points
exercice au choix du candidat
Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.
Il indique sur sa copie l'exercice choisi : exercice A ou exercice B.
Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés par chaque exercice sont indiqués
dans un encadré.
L'événement contraire de l'événement "au moins une des neuf adresses est illisible" est "aucune des neuf adresses n'est illisible".
Dès lors,
Donc la réponse correcte est la réponse d :
Partie II
Une urne contient 5 boules vertes et 3 boules blanches, indiscernables au toucher.
On tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l'urne.
Nous supposons que est réalisé.
Il s'ensuit que l'urne ne contient plus que 7 boules dont 4 boules vertes.
Dès lors, la probabilité de sachant que est réalisé est égale à
Donc la réponse correcte est la réponse b :
Arbre pondéré traduisant la situation.
Les événements et forment une partition de l'univers.
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :
Donc la réponse correcte est la réponse a :
6 points
exercice 2 : Commun à tous les candidats
On considère les suites et définies pour tout entier naturel n par :
Dans toute la suite de l'exercice, on admet que les suites et sont strictement positives.
1. b) Nous devons démontrer que la suite est strictement croissante.
Pour tout entier naturel n ,
Par conséquent, la suite est strictement croissante.
Nous en déduisons que pour tout entier naturel n , , soit que
1. c) Nous devons démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , on a :
Initialisation : Démontrons la propriété pour n = 0, soit .
Évident car
L'initiation est donc vraie.
Hérédité : Démontrons que si pour une valeur entière naturelle fixée de n , la propriété est vraie au rang n , alors elle est encore vraie au rang n + 1.
Supposons donc que si pour tout entier naturel n , nous avons , alors
Nous savons par définition que
L'hérédité est donc vraie.
Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, nous avons montré par récurrence que pour tout entier naturel n , nous avons :
1. d) Par le théorème de comparaison, nous obtenons :
2. On pose pour tout entier naturel n :
On admet que :
2. a) Pour tout entier naturel n ,
2. b) Par la question 1. d), nous savons que
Par le "théorème des gendarmes", nous obtenons :
2. c) Nous savons par l'énoncé que
Or
Par conséquent,
Il s'ensuit que
2. d) Pour tout entier naturel n ,
2. e) On considère le programme suivant écrit en langage Python :
La valeur renvoyée par le programme est 5, ce qui correspond à la plus petite valeur entière naturelle de n telle que
Autrement dit, l'erreur commise en approchant par est inférieure à 10-4.
4 points
exercice 3 : Commun à tous les candidats
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé (O; ) on considère les points :
A de coordonnées (2 ; 0 ; 0), B de coordonnées (0 ; 3 ; 0) et C de coordonnées (0 ; 0 ; 1).
1. a) Montrons que le vecteur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires et du plan (ABC).
Manifestement, les vecteurs et ne sont pas colinéaires.
De plus,
Par conséquent, le vecteur étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires et du plan (ABC), nous en déduisons que le vecteur est normal au plan (ABC).
1. b) Nous savons que tout plan de vecteur normal admet une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0.
Puisque le vecteur est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 3x + 2y + 6z + d = 0.
Or le point C(0 ; 0 ; 1) appartient au plan (ABC). Ses coordonnées vérifient l'équation du plan.
D'où 0 + 0 + 6 + d = 0 , soit d = -6.
Par conséquent, une équation cartésienne du plan (ABC) est
2. On note d la droite passant par O et orthogonale au plan (ABC).
2. a) Déterminons une représentation paramétrique de la droite d .
La droite d est orthogonale au plan (ABC).
Cette droite est donc dirigée par le vecteur .
La droite d passe par le point
D'où une représentation paramétrique de la droite d est donnée par :
soit
2. b. Les coordonnées du point H sont les solutions du système composé par les équations de la droite d et du plan (ABC),
soit du système :
D'où les coordonnées du point H sont
3. Déterminons de deux manières différentes le volume V de la pyramide OABC.
Prenons le triangle ABC comme étant la base de la pyramide et OH comme hauteur.
Prenons le triangle OAB comme étant la base de la pyramide et OC comme hauteur.
En identifiant ces deux expressions du volume de la pyramide, nous obtenons :
, soit
5 points
exercice Au choix du candidat
Exercice A
Le graphique ci-dessous représente dans un repère orthogonal, les courbes et des fonctions f et g définies sur par : et
1. a) Les abscisses des points d'intersections de et sont les solutions de l'équation :
Les ordonnées de ces points d'intersections sont et
Par conséquent, les coordonnées des points d'intersections de et sont et
1. b) Etudions le signe sur de f (x ) - g (x ).
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de f (x ) - g (x ) est le signe de (x2 - 1).
Or x2 - 1 est un polynôme du second degré dont les racines sont -1 et 1. Il est du signe du coefficient de x2 (donc positif) pour toutes les valeurs de x sauf entre les racines (où il est négatif).
D'où le tableau de signe de f (x ) - g (x ).
Par conséquent, pour tout x ]- ; -1[ U ]1 ; +[, est au-dessus de , pour tout x ]-1 ; 1[, est en dessous de
2. Pour tout nombre réel x de l'intervalle [-1 ; 1], on considère les points M de coordonnées (x ; f (x )) et N de coordonnées (x ; g (x )), et on note d (x ) distance MN. On admet que :
On admet que la fonction d est dérivable sur l'intervalle [-1 ; 1] et on note d' sa fonction dérivée.
2. b) Étudions le signe de la dérivée d' et les variations de la fonction d sur l'intervalle [-1 ; 1].
Puisque l'exponentielle est strictement positive sur , le signe de d' (x ) est le signe de (x2 - 2x - 1).
D'où le tableau de signes de (x2 - 2x - 1) sur .
Nous en déduisons le tableau de signes de la dérivée d' (x ) et les variations de la fonction d sur l'intervalle [-1 ; 1].
Par conséquent, la fonction d est croissante sur l'intervalle et est décroissante sur l'intervalle
2. c) A l'aide du tableau de variation de la fonction d , nous pouvons déduire que sur l'intervalle [-1 ; 1], la fonction d admet un maximum en ce maximum étant environ égal à 1,3 (valeur approchée à 0,1 près).
Par conséquent, l'abscisse commune x0 des points M0 et N0 permettant d'obtenir une distance d (x0) maximale est . Nous obtenons alors :
3. Soit la droite d'équation : y = x + 2.
Considérons la fonction h dérivable sur et définie par :
Etudions le nombre de solutions de l'équation h (x ) = 0.
La fonction h est continue sur car elle est dérivable sur .
D'où la fonction h est strictement décroissante sur .
De plus,
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution sur .
Interprétation graphique :
.
Par conséquent, dire que "l'équation h (x ) = 0 possède une et une seule solution sur " revient à dire que "la droite et la courbe possèdent un et un seul point d'intersection."
Exercice B
Partie I : Étude d'une fonction auxiliaire
Soit g la fonction définie sur ]0 ; +[ par :
2. Déterminons les variations de la fonction g .
D'où la fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +[.
3. La fonction g est continue sur ]0 ; +[ comme somme de fonctions continues sur ]0 ; +[.
La fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +[.
Selon le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, nous déduisons que l'équation g (x ) = 0 possède une et une seule solution a sur ]0 ; +[.
4.
La fonction g est strictement croissante sur ]0 ; +[.
D'où, par définition de la croissance, nous obtenons :
Par conséquent, et
Partie II : Étude d'une fonction f
On considère la fonction f , définie sur ]0 ; +[ par :
1. a) Pour tout x de ]0 ; +[,
1. b)
Donc le signe de f' (x ) est celui de g (x ).
Or le signe de g (x ) a été déterminé dans la question 4, partie I.
Nous obtenons ainsi le tableau de variations de la fonction f sur ]0 ; +[.
D'où l'ensemble S des solutions de l'équation f (x ) = 0 est
Nous pouvons alors dresser le tableau de variations de f complété par son signe sur l'intervalle ]0 ; +[.
Partie III : Étude d'une fonction F admettant pour dérivée la fonction f
On admet qu'il existe une fonction F dérivable sur ]0 ; +[ dont la dérivée F' est la fonction f .
Ainsi, nous avons : F' = f .
1. A l'aide du tableau de signes de f dressé dans la question 2. partie II, nous obtenons le tableau de variations de F sur ]0 ; +[.
Par conséquent, la fonction F est strictement croissante sur l'intervalle et sur l'intervalle .et est strictement décroissante sur l'intervalle .
2. Nous savons que
Dès lors la courbe représentative de F admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, la première en son point d'abscisse et la seconde en son point d'abscisse e.
Publié par malou
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, 
, 
) on considère les points :
.)
=\begin{pmatrix}9\\0\end{pmatrix}\times0,03^0\times(1-0,03)^{9-0} \\\phantom{P(X=0)}=1\times1\times0,97^{9} \\\phantom{P(X=0)}\approx0,76 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=0)\approx 0,76})
.)
=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,03^2\times(1-0,03)^{9-2} \\\phantom{P(X=2)}=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,03^2\times0,97^{7} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(X=2)=\begin{pmatrix}9\\2\end{pmatrix}\times0,97^{7}\times0,03^2})
.}}})
=1-P(X=0).)
.}}})
,\text{ est égale à }\dfrac{4}{7}.}}})
est réalisé.
sachant que 
et 
forment une partition de l'univers.=P(V_1\cap V_2)+P(B_1\cap V_2) \\\phantom{P(V_2)}=P(V_1)\times P_{V_1}(V_2)+P(B_1)\times P_{B_1}(V_2) \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{8}\times\dfrac{5}{7} \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56} \\\\\phantom{P(V_2)}=\dfrac{35}{56}=\dfrac{7\times5}{7\times8}=\dfrac{5}{8} \\\\\Longrightarrow\boxed{P(V_2)=\dfrac{5}{8}})
})
et })
définies pour tout entier naturel n par : 
 }}}\ u_1=u_0+v_0=1+1=2 \\\phantom{{\red{1.\ \text{a) }}}}\ v_1=2u_0+v_0=2\times1+1=2+1=3 \\\\\Longrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}u_1=2\\v_1=3\end{matrix}\right.})
![v_{n+1}-v_n=(2u_n+v_n)-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n+v_n-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}>0{\white{wwww}}(\text{car }u_n>0\text{ [admis dans l'énoncé])} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-v_n>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?v_{n+1}-v_n=(2u_n+v_n)-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n+v_n-v_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}=2u_n \\\phantom{v_{n+1}-v_n}>0{\white{wwww}}(\text{car }u_n>0\text{ [admis dans l'énoncé])} \\\\\Longrightarrow\boxed{v_{n+1}-v_n>0})
, soit que 
Initialisation : Démontrons la propriété pour n = 0, soit 
.
}\\v_n\ge1{\white{wwwwwww}}(\text{voir la question 1. b)}{\white{wwwww}} \end{matrix}\right. \\\\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow u_n+v_n\ge n+1+1 \\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow u_n+v_n\ge n+2 \\\\\phantom{\text{Or }}\Longrightarrow \boxed{u_{n+1}\ge n+2})
=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty})
^{n+1}}{u_n^2}.)
^{n+1}\le1{\white{wwwwwwwwwwwwww}}\\u_n^2>0{\white{ww}}(\text{car }u_n>0:\text{admis dans l'énoncé)}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{-\dfrac{1}{u_n^2}\le\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}\le\dfrac{1}{u_n^2}})
^{n+1}}{u_n^2}\le\dfrac{1}{u_n^2}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{u_n^2}=0\end{matrix}\right.{\white{.}}\Longrightarrow{\white{.}}\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{ (-1)^{n+1}}{u_n^2}=0})
^{n+1}}{u_n^2}=0)
par 
est inférieure à 10-4.
) on considère les points :
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires 
et 
du plan (ABC).)\\B(0\,;\,3\,;\,0)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}0-2\\3-0\\0-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-2\\3\\0\end{pmatrix}})
)\\C(0\,;\,0\,;\,1)\end{array}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}0-2\\0-0\\1-0\end{pmatrix}\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}})
+2\times3+6\times0\\\ \ &\ -6+6-0\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AB}})
+2\times0+6\times1\\\ \ &\ -6+0+6\\\ \ &\ 0\end{array}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{AC}})
étant orthogonal à deux vecteurs non colinéaires 
admet une équation cartésienne de la 
est normal au plan (ABC), nous déduisons qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est de la forme 3x + 2y + 6z + d = 0.
..)
)
})
}.)
 }}}\ OH=\sqrt{\left(\dfrac{18}{49}\right)^2+\left(\dfrac{12}{49}\right)^2+\left(\dfrac{36}{49}\right)^2} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ OH}=\sqrt{\dfrac{324}{49^2}+\dfrac{144}{49^2}+\dfrac{1296}{49^2}} \\\\\phantom{{\red{2.\ \text{c) }}}\ OH}=\sqrt{\dfrac{1764}{49^2}}=\dfrac{42}{49}=\dfrac{6}{7} \\\\\Longrightarrow\boxed{OH=\dfrac{6}{7}})
, soit 
et 
des fonctions f et g définies sur 
par : =x^2\,\text{e}^{-x}})
et =\text{e}^{-x}}.)
=g(x).})
=g(x)\Longleftrightarrow x^2\,\text{e}^{-x}=\text{e}^{-x} \\\phantom{f(x)=g(x)}\Longleftrightarrow x^2=1{\white{www}}(\text{en divisant les deux membres par }\text{e}^{-x}\ne0) \\\phantom{f(x)=g(x)}\Longleftrightarrow\boxed{ x=1{\white{ww}}\text{ou}{\white{ww}}x=-1})
=g(1)=\text{e}^{-1}})
et =g(-1)=\text{e}.})
})
et .})
-g(x)=x^2\,\text{e}^{-x}-\text{e}^{-x}\\\Longrightarrow\overset{{\white{.}}}{ f(x)-g(x)=(x^2-1)\,\text{e}^{-x}})
-g(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline \end{array})
]-
; -1[ U ]1 ; +
pour tout x 
=\text{e}^{-x}-x^2\,\text{e}^{-x}.})
![{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)=(\text{e}^{-x})'-(x^2\,\text{e}^{-x})' \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[(x^2)'\times\text{e}^{-x}+x^2\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[2x\times\text{e}^{-x}+x^2\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}+x^2\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{d\,'(x)=\text{e}^{-x}(x^2-2x-1)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)=(\text{e}^{-x})'-(x^2\,\text{e}^{-x})' \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[(x^2)'\times\text{e}^{-x}+x^2\times(\text{e}^{-x})'] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-[2x\times\text{e}^{-x}+x^2\times(-\text{e}^{-x})] \\\phantom{{\red{2.\ \text{a) }}}\ d\,'(x)}=-\text{e}^{-x}-2x\,\text{e}^{-x}+x^2\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{d\,'(x)=\text{e}^{-x}(x^2-2x-1)})
^2-4\times1\times(-1)=4+4=8>0. \\\\\underline{\text{Racines}}:x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1-\sqrt{2})}{2}=1-\sqrt{2}\approx-0,4 \\\phantom{\underline{\text{Racines}}:}x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1+\sqrt{2})}{2}=1+\sqrt{2}\approx2,4)
&&1-\sqrt{2}\approx-0,4&&(1)&&1+\sqrt{2}\approx2,4&&+\infty\\&&&&&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&&&&&x^2-2x-1&&+&+&+&0&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&&&&&\\\hline \end{array})
=\text{e}-1\times\text{e}=0\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}d(1-\sqrt{2})=\text{e}^{-(1-\sqrt{2})}-(1-\sqrt{2})^2\,\text{e}^{-(1-\sqrt{2})}\approx1,3\\\phantom{\underline{\text{Calculs préliminaires}}:}d(1)=\text{e}^{-1}-1\times\,\text{e}^{-1}=0\\\\\\ {\white{wwwww}}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&-1&&1-\sqrt{2}&&1\\&&&&& \\\hline &&&&&&d\,'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&\approx1,3&&&d(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array})
![\overset{{\white{.}}}{[-1\,;\,1-\sqrt{2}]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{[-1\,;\,1-\sqrt{2}]})
![\overset{{\white{.}}}{[1-\sqrt{2}\,;\,1]}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{[1-\sqrt{2}\,;\,1]}.)
ce maximum étant environ égal à 1,3 (valeur approchée à 0,1 près).
. Nous obtenons alors : 
la droite d'équation : y = x + 2.=\text{e}^{-x}-x-2}.)
=\text{e}^{-x}-x+2\Longrightarrow h'(x)=-\text{e}^{-x}-1. \\\\\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0\Longrightarrow-\text{e}^{-x}<0 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0}\Longrightarrow-\text{e}^{-x}-1<0 \\\phantom{\forall\ x\in\R,\ \text{e}^{-x}>0}\Longrightarrow \boxed{h'(x)<0})
![\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}(-x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to-\infty}(-x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to-\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}h(x)=+\infty})
![\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(-x-2)=-\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\bullet {\white{w}}\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(-x-2)=-\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\text{e}^{-x}+(-x-2)]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}h(x)=-\infty})
=0\Longleftrightarrow\text{e}^{-x}-x-2=0 \\\phantom{h(x)=0}\Longleftrightarrow\text{e}^{-x}=x+2 \\\\\Longrightarrow \boxed{h(x)=0\Longleftrightarrow g(x)=x+2})
.=\ln(x)+2x-2.})
![{\red{1.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\ln(x)+2x-2]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{1.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\\\\\lim\limits_{x\to+\infty}(2x-2)=+\infty\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to+\infty}[\ln(x)+2x-2]=+\infty \\\phantom{WWWWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty})
![\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to0^+}(2x-2)=-2\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to0^+}[\ln(x)+2x-2]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\\\\\lim\limits_{x\to0^+}(2x-2)=-2\end{matrix}\right.{\white{ww}}\Longrightarrow{\white{ww}}\lim\limits_{x\to0^+}[\ln(x)+2x-2]=-\infty \\\phantom{WWWWWWWWWww}\Longrightarrow{\white{ww}}\boxed{\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty})
![g(x)=\ln(x)+2x-2\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x}+2 \\\\\phantom{g(x)=\ln(x)+2x-2}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1+2x}{x} \\\\\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0\Longrightarrow\dfrac{1+2x}{x}>0 \\\\\phantom{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0}\Longrightarrow \boxed{g'(x)>0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?g(x)=\ln(x)+2x-2\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1}{x}+2 \\\\\phantom{g(x)=\ln(x)+2x-2}\Longrightarrow g'(x)=\dfrac{1+2x}{x} \\\\\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0\Longrightarrow\dfrac{1+2x}{x}>0 \\\\\phantom{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ 1+2x>0}\Longrightarrow \boxed{g'(x)>0})
=-\infty)
=+\infty)
=\ln(1)+2\times1-2=0+2-2\Longrightarrow\boxed{g(1)=0}\,.)
![\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1\Longrightarrow g(x)<g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1}\Longrightarrow g(x)<0 \\\\\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1\Longrightarrow g(x)>g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1}\Longrightarrow g(x)>0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1\Longrightarrow g(x)<g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]0\,;\,1[\ :x<1}\Longrightarrow g(x)<0 \\\\\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1\Longrightarrow g(x)>g(1) \\\phantom{\forall\ x\in\,]1\,;\,+\infty[\ :x>1}\Longrightarrow g(x)>0)
![\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]0\,;\,1[,\ \text{alors }g(x) <0}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]0\,;\,1[,\ \text{alors }g(x) <0})
![\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\ \text{alors }g(x) >0}.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\overset{{\white{.}}}{\text{si }x\in\,]1\,;\,+\infty[,\ \text{alors }g(x) >0}.)
=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-1).)
![f'(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)'\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\ln(x)-1)' \\\phantom{f'(x)}=\left(0+\dfrac{1}{x^2}\right)\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\dfrac{1}{x}-0) \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\left(\dfrac{2x-1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\dfrac{2x-1}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2}=\dfrac{\ln(x)+2x-2}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?f'(x)=\left(2-\dfrac{1}{x}\right)'\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\ln(x)-1)' \\\phantom{f'(x)}=\left(0+\dfrac{1}{x^2}\right)\times(\ln(x)-1)+\left(2-\dfrac{1}{x}\right)\times(\dfrac{1}{x}-0) \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\left(\dfrac{2x-1}{x}\right)\times\dfrac{1}{x}=\dfrac{\ln(x)-1}{x^2}+\dfrac{2x-1}{x^2} \\\\\phantom{f'(x)}=\dfrac{\ln(x)-1+2x-1}{x^2}=\dfrac{\ln(x)+2x-2}{x^2}=\dfrac{g(x)}{x^2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}})
![\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ x^2>0.](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall\ x\in\ ]0\,;\,+\infty[,\ x^2>0.)
=\left(2-\dfrac{1}{1}\right)(\ln(1)-1)=(2-1)(0-1)=-1\\\\\\\phantom{wwwww}\begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&1&&+\infty\\&&&&& \\\hline &||&&&&&g(x)&||&-&0&+&\\&||&&&& \\\hline &||&&&&&f'(x)&||&-&0&+&\\&||&&&&\\\hline &||&&&&&f(x)&||&\searrow&&\nearrow&\\&||&&-1&&\\\hline \end{array})
=0\Longleftrightarrow\left(2-\dfrac{1}{x}\right)(\ln(x)-1)=0 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow2-\dfrac{1}{x}=0{\white{ww}}\text{ou}{\white{ww}}\ln(x)-1=0 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow\dfrac{1}{x}=2\ \text{ ou }\ \ln(x)=1 \\\phantom{{\red{2.\ }}\ f(x)=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\ \text{ ou }\ x=\text{e})
&||&\searrow&0&\searrow&&\nearrow&0&\nearrow&\\&||&&&&-1&&&& \\\hline &||&&&&&&&&&f(x)&||&+&0&-&-&-&0&+&\\&||&&&&&&&&\\\hline \end{array})
![\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F'(x)\ [=f(x)]&||&+&0&-&0&+&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F(x)&||&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&0&&\dfrac{1}{2}&&\text{e}&&+\infty\\&&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F'(x)\ [=f(x)]&||&+&0&-&0&+&\\&||&&&&&&\\\hline &||&&&&&&&F(x)&||&\nearrow&&\searrow&&\nearrow&\\&||&&&&&&\\\hline \end{array})
![]0\,;\,\dfrac{1}{2}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]0\,;\,\dfrac{1}{2}])
et sur l'intervalle 
.
![[\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[\dfrac{1}{2}\,;\,\text{e}])
.=0}\Longleftrightarrow f(x)=0\Longleftrightarrow \boxed{x=\dfrac{1}{2}\ \text{ ou }\ x=\text{e}.})
représentative de F admet deux tangentes parallèles à l'axe des abscisses, la première en son point d'abscisse 
et la seconde en son point d'abscisse e.Publié par malou
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