Bac sciences expérimentales (série SVT et PC) - Maroc 2020
INSTRUCTIONS GENERALES
L'utilisation de la calculatrice non programmable est autorisée.
Le candidat peut traiter les exercices de l'épreuve suivant l'ordre qui lui convient.
L'utilisation de la couleur rouge lors de la rédaction des solutions est à éviter.
COEFFICIENT : 7
DURÉE : 3 HEURES
4 points exercice 1
On considère la suite définie par
1. On calcule
par
2. Montrons par récurrence que, pour tout n de
Initialisation: : l'inégalité de l'énoncé est vraie quand n=0
Hérédité: Soit p un entier naturel tel que
> 0.
Alors,
donc 2u
p +5 est non nul et on peut prendre son inverse,
or l'inverse d'un nombre strictement positif étant strictement positif,
et
donc en faisant le produit
On a montré par récurrence que, pour tout n de
3. a) D'après la question précédente, pour tout n de
,
donc
et
soit
puis
On a donc bien démontré que, pour tout n de
L'inégalité
a déjà été démontrée à la question 2.
Montrons par récurrence que, pour tout n de
initialisation: : l'inégalité est donc vraie pour n=0
hérédité: Soit p un entier naturel tel que
Avec l'inégalité démontrée dans cette même question,
On a donc démontré par récurrence que, pour tout n entier naturel,
3. b) Comme
,
, et à l'aide du théorème des gendarmes, et donc de l'encadrement
, vraie pour tout n entier naturel,
4. On considère à présent la suite définie par, pour tout entier naturel n,
4. a) Exprimons
en fonction de
On a bien que
est géométrique de raison
4. b) On en déduit immédiatement que
avec
donc pour tout n de
Ensuite, pour tout n de
5 points exercice 2
Dans l'ensemble des complexes
, on considère l'équation (E) :
1. a) Le discriminant est
D'où le résultat
1. b) On a donc deux solutions conjuguées z
1 et z
2 qu'on détermine par
ou encore
donc
2. Soient les nombres complexes
2. a) On calcule avec les expressions données :
En multipliant cette égalité par
, on obtient:
2. b)
2. c) Comme
est non nul,
, donc en se servant des formes exponentielles, on obtient:
3. On considère les points B, C et d'affixes respectives b, c et d telle que
. Soient z l'affixe du point M du plan
et z' l'affixe de M' image de M par la rotation R de centre O et d'angle
3.a) Pour une rotation R de centre P, d'affixe z
p , et d'angle
, l'affixe z' de M' image de M d'affixe z par la rotation R est
Ici,
3. b) On applique la formule précédente pour z=c
donc
3. c) On a démontré que
donc
.
3. d) On a
Donc
Trois points A, B, C d'affixes respectives a, b,et c sont alignés si
Ici,
: un de ses arguments est 0, on a bien que
donc
.
4 points exercice 3 On considère la fonction numérique g définie sur ]0, +
[ par
1. a) g est dérivable sur ]0, +
[ et pour tout x de ]0, +
[,
Soit
1. b) Pour tout
de
est strictement positif et
Donc
D'où
1. c) Puisque
est croissante sur
Donc
, il s'ensuit que
Et comme
pour tout
On conclut
1. d) Notons
la fonction définie sur
par
.
Cette fonction usuelle est croissante sur
et donc sur
.
On a alors:
On en tire que
Et comme
est non nul, on peut diviser par
D'où
Et comme
Donc d'après le théorème des gendarmes
2. On considère G:
2. a) On a
Donc
2. b) On a
Or
, d'où
7 points probleme
On considère f la fonction numérique définie sur
par
et (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) Lorque x tend vers -
, x-2 tend aussi vers -
et
D'où
Lorque x tend vers +
, x-2 tend aussi vers +
et
ainsi que
Donc
2. a)
Pour tout x de
,
Et puisque
Alors
:
Ce qui se traduit géométriquement par:
2. b) On a
Donc
Pour tout réel
Puisque
, alors le signe de
est le signe de l'opposé de
En traçant le tableau de signes:
On conclut que:
3. Pour tout réel
non nul, on a:
De plus, on a:
On déduit par opérations élémentaires sur les limites que
Interprétation géométrique:
4. a) est dérivable sur
en tant que somme de fonctions dérivables sur
.
Donc, pour tout réel
:
On a donc bien
4. b) Pour tout
de
donc on peut dresser le tableau de variations de
5. est deux fois dérivable sur
, donc pour tout réel
, on a :
Donc:
Or, on sait que pour tout réel
, donc le signe de
est le signe de
:
Et enfin, on a:
On peut tracer le tableau de signes:
On en tire que
s'annule en
en changeant de signe, donc le point
est un point d'inflexion de
Or
6. D'après le tableau de variations de la question
4.b) ,
est continue et strictement décroissante sur
Et comme
(question
1 )
Donc, d'après
le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un réel unique
tel que
.
De plus:
(d'une manière analogue)
On en déduit que:
Conclusion:
7.
8. a)
Puisque
est continue et strictement décroissante sur
, donc
est bijective et admet une fonction réciproque
définie sur
8.b) Pour tracer la courbe de
que l'on note
, il suffit de tracer le symétrique de
par rapport à la droite d'équation
pour obtenir :
9. Rappel:
Pour tout point
tel que
,
est dérivable en
Puisque
, alors
De plus,
, il s'ensuit que
est dérivable en
et
Donc