1) La fonction affine et la fonction homographique sont définies, continues (et dérivables) sur l'intervalle .
Leur somme , qui est la fonction , est donc une fonction continue sur
La fonction est aussi dérivable sur et on a
Il s'ensuit que la fonction est strictement décroissante sur
Enfin :
De , réalise une bijection de sur un intervalle .
2) On a vu que est une fonction strictement décroissante sur et que
Afin de faciliter le traçage de la courbe de , on Interprète graphiquement les limites :
, et on remarque que Donc la droite est une asymptote oblique à au voisinage de .
Ensuite , on calcule quelques images de réels appartenants à par la fonction pour encore mieux tracer la courbe , on prend par exemple :
Finalement , la construction de la courbe de la fonction se déduit de , par symétrie d'axe la première bissectrice du repère .
Figure:
3) Posons pour tout , nous devons trouver une expression de en fonction de
On considère ici que soit fixe , calculons le discriminant du trinôme trouvé d'inconnu
Le trinôme admet donc deux racines réelles qui sont :
On ne retient que la racine qui est strictement positive pour tout réel car la condition est imposée .
On remarque facilement que n'est pas toujours positive , par exemple , pour
Montrons alors que est toujours strictement positive quel que soit le réel
On a , pour tout
Donc :
Or , pour tout
Il s'ensuit que pour tout
convient comme solution .
On obtient , pour tout :
Conclusion :
Remarque : On a introduit l'inconnu intermédiaire pour faciliter les calculs .
4) Puisque la fonction est dérivable sur et que pour tout réel .
Donc :
Pour tout
exercice 2
1) La représentation du nuage de points de la série statistique , on a choisi l'échelle suivante:
1cm pour 1 rang sur l'axe des abscisses.
1cm pour 5 rangs sur l'axe des ordonnées.
On remarque que le nuage a une forme allongée autour d'une droite , donc:
2)Calcul direct en utilisant la calculatrice , on trouve :
Pour Ali :
Calcul de
Pour Moussa :
Calcul de
3) Puisque
On en déduit que:
4) Notons l'équation de la droite de régression
Avec une calculatrice qui permet de calculer des statistiques , on trouve :
Une équation de la droite de régression de en s'écrit :
probleme
Partie A
1) La fonction est dérivable sur est dérivable sur .
De plus , la fonction est elle aussi dérivable sur.
Donc, est dérivable sur comme produit de deux fonctions dérivables sur .
D'où :
2) Pour tout
Donc , la fonction primitive de sur s'écrit :
Déterminons
On obtient alors :
3) On a
Donc
De plus , puisque pour tout réel
D'où :
Conclusion :
Partie B
1) La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur cet intervalle.
Donc , pour tout
On en tire que la fonction est strictement croissante sur .
Ensuite, on remarque facilement que
On en déduit que , pour tout
On conclut que :
2) La fonction est définie sur par :
Donc sur , or le signe des fonctions et sont connus , on dresse le tableau de signe de sur
On en déduit que :
Finalement , on a :
On obtient :
3) Calculons la limite en de la fonction
En effet , on a d'après le cours , la limite usuelle suivante :
De plus , , on en déduit que :
D'où :
4) La limite de en à droite :
Réutilisons l'expression utilisée en 3) pour le calcul de la limite en :
D'où:
La limite de en :
En effet ,
Conclusion:
Partie C
5) Pour tout
Pour tout
On en tire que
D'autre part , pour tout
En multipliant termes à termes les inégalités
Ou encore:
6)Erreur dans l'énoncé :Il faut déduire que :
On sait que , d'après ce qui précède :
Donc , pour tout
Or , puisque pour tout
De plus
On en déduit finalement que :
7) Puisque:
Alors:
Or,
On obtient, par comparaison:
On tire de l'inégalité trouvée en 6) aussi que:
Et on a vu que: , d'où:
Et en sachant que , on trouve:
Calculons la limite
On a:
Or:
On en déduit que:
Et:
Finalement, on obtient par comparaison:
Publié par malou/Panter
le
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