1. a. La formule 1 ne convient pas car l'écriture $B$3 signifie que cette adresse restera la même lorsque nous déplacerons la formule vers la droite, ce qui ne correspond pas aux données du tableau.
La formule 3 ne convient pas car zi est défini par zi = -2 + ln(yi ) et non pas par zi = -2 + ln(xi ). La formule à entrer dans la cellule B4, qui, recopiée vers la droite, complète la dernière ligne du tableau est la formule 2 :
1. b. Tableau complété :
2. Nuage de points Mi(xi ; zi )
Le nuage de points est représenté par les six points bleus du graphique repris dans la question 4. b.
3. Déterminons les coordonnées (xG ; yG ) du point moyen G du nuage.
D'où en arrondissant les résultats à 10-2, les coordonnées du point G sont (5 ; 0,61).
Ce point G est placé sur le graphique repris dans la question 4. b.
4. a. L'équation réduite de la droite (D ) d'ajustement affine de z en x est de la forme z = ax + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a 0,079 et b 0,214 . Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de z en x est z = 0,079x + 0,214.
Pour la suite de l'exercice, on prendra z = 0,08x + 0,21 pour équation de la droite D.
4. b. Représentation du nuage de points Mi(xi ; zi), du point moyen G et de la droite d'ajustement D.
4. c. "Le volume d'eau potable atteint 24 millions de m3 " se formalise par y = 24.
Déterminons la valeur de z correspondant à y = 24.
Nous devons déterminer la valeur du plus petit entier x vérifiant l'inéquation 0,08x + 0,21 1,178.
Le plus petit entier x vérifiant l'inéquation est x = 13.
Le rang x = 13 correspond à l'année 2004 + 13 = 2017.
Par conséquent, le volume d'eau potable atteindra 24 millions de m3à partir de l'année 2017.
5 points
exercice 2
1. a. Nous renouvelons 200 fois de manière indépendante et identique le tirage aléatoire d'une lame de microscope.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
le "succès" (la lame n'est pas conforme au cahier des charges) de probabilité p = 0,05
l'"échec" (la lame est conforme au cahier des charges) de probabilité 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.
Donc la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,05.
1. c. Nous devons calculer P (X = 6).
Avec l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
D'où la probabilité de l'événement : "Exactement 6 lames de microscope parmi les 200 ne sont pas conformes au cahier des charges" est environ égale à 0,06 (arrondie à 10-2).
1. d. La probabilité qu'au maximum 1 lame de microscope parmi les 200 n'est pas conforme au cahier des charges se détermine par P (X 1).
Cette probabilité étant extrêmement petite, il est donc quasiment impossible d'être dans une situation telle que parmi 200 lames, il n'y ait qu'au maximum 1 lame qui ne soit pas conforme au cahier des charges.
Par conséquent, l'entreprise ne peut pas garantir à ses clients qu'au maximum 1 lame de microscope parmi les 200 n'est pas conforme au cahier des charges.
2. a. Sous certaines conditions, nous pouvons approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale.
Les conditions sont : n 30 ; np 5 et n(1 - p) 5.
Ces conditions sont réalisées car
La variable aléatoire X qui suit une loi binomiale d'espérance mathématique E(X ) = 10 et d'écart-type (X ) = 3,08 (voir question 1. b.), peut donc être approchée par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance et d'écart-type .
Il est donc judicieux de choisir pour les deux lois la même valeur pour les espérances mathématiques et la même valeur pour les écarts-types.
Dès lors, choisissons
2. b. A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :
D'où, en arrondissant le résultat à 10-2,
Nous traduirons ce résultat en signifiant que dans le lot de 200 lames de microscope prélevé dans la production, la probabilité que ce lot contienne entre 7 et 10 lames non conformes au cahier des charges est environ égale à 0,33.
3. a. Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I250 au seuil de 95 % de la fréquence observée des lames de microscope qui ne sont pas conformes.
Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,
Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I250 au seuil de 95% est :
3. b. La fréquence observée est
Nous remarquons que
Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'annonce du responsable de la chaîne de production est acceptable.
6 points
exercice 3
Partie A
1. Une augmentation de 10 % par minute correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,10 = 1,1.
La vitesse vn +1 du sportif (n +1) minutes après le déclenchement du chronomètre s'obtient en multipliant par 1,1 la vitesse vn du sportif n minutes après le déclenchement du chronomètre.
Nous obtenons ainsi la relation
Par conséquent, la suite (vn ) est une suite géométrique de raison q = 1,1 et dont le premier terme est v0 = 6.
2. Calculons le terme général vn de cette suite géométrique.
L'indice n correspondant à 5 minutes après le déclenchement du chronomètre est n = 5.
Donc la vitesse de ce sportif 5 minutes après le déclenchement du chronomètre est d'environ 9,7 km.h-1 (valeur arrondie à 0,1 km.h-1).
3. Soit l'algorithme :
3. a. Tableau reprenant les valeurs successives prises par les variables n et v jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
3. b.La valeur de la variable n à la fin de l'exécution de l'algorithme est n = 8.
Dès lors, la vitesse de ce sportif 8 minutes après le déclenchement du chronomètre dépasse 12 km.h-1 puisqu'elle est environ égale à 12,9 km.h-1.
Partie B
1. Résoudre sur l'intervalle [0 ; 13] l'équation différentielle
Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay où a est un nombre réel fixé, est l'ensemble des fonctions y définies sur par où k désigne un réel quelconque.
Puisque a = 0,17, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) est l'ensemble des fonctions f définies sur [0 ; 13] par
2. Nous savons que f (0) = 2.
D'où
Puisque f' (t ) > 0 sur [0 ; 13], nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur [0 ; 13].
3. b. Courbe représentative de la fonction f
3. c. Nous devons résoudre l'inéquation f (t ) 15.
Par conséquent, le sportif arrêtera son effort au bout de 12 minutes.
Calcul de sa vitesse : .
D'où, la vitesse au moment où le sportif décide d'arrêter son effort est d'environ 18,8 km.h-1.
4. L'autre sportif produit moins d'acide lactique.
Donc pour tout t appartenant à [0 ; 13], g (t ) < f (t ).
4 points
exercice 4
Nous savons que
D'où l'affirmation 1 est vraie.
pour tout x appartenant à [0 ; 3], f' (x ) 0.
La courbe (C) représentative de la fonction f "descend" sur l'intervalle [1 ; 1,5].
D'où la fonction f est strictement décroissante sur [1 ; 1,5].
Par conséquent, pour tout x appartenant à [1 ; 1,5], f' (x ) < 0.
L'affirmation 2 est donc fausse.
Nous pouvions également montrer que l'affirmation est fausse en montrant que la dérivée est strictement négative en une valeur de l'intervalle [0 ; 3].
Par exemple, 1 [0 ; 3].
Montrons que f' (1) < 0.
D'où l'affirmation 2 est fausse.
l'aire I est supérieure à 0,15 unité d'aire
Sur le graphique ci-dessus, la surface dont l'aire est I est la surface colorée.
L'aire de chaque carreau est égale à 0,5 0,1 = 0,05 unité d'aire.
L'aire totale de 3 carreaux est 3 0,05 = 0,15 unité d'aire.
Manifestement, la surface colorée est plus étendue que 3 carreaux.
Par conséquent, l'aire I de cette surface est supérieure à 0,15 unité d'aire.
D'où l'affirmation 3 est vraie.
Nous pouvions également montrer que l'affirmation est vraie en calculant l'aire I .
La fonction f est positive et continue sur l'intervalle [0 ; 1].
Dès lors,
Nous savons qu'une primitive de la fonction f est définie par
D'où l'affirmation 3 est vraie.
la primitive G de la fonction f qui s'annule en 0 est définie pour tout x de [0 ; 3] par
Nous savons que les primitives F de f sur [0 ; 3] sont définies par une expression de la forme
Déterminons la valeur de k telle que F (0) = 0.
La primitive G de la fonction f qui s'annule en 0 est donc définie pour tout x de [0 ; 3] par
D'où l'affirmation 4 est vraie.
Publié par malou
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}}})
0,079 et b 
\\y=24\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ z=-2+\ln(24)\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z=-2+\ln(y)\\y=24\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ \ \boxed{z\approx1,178})
1,178.
=n\times p \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:\ \text{E}(X)}=200\times 0,05 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:\ \text{E}(X)}=10 \\\phantom{ee{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:}\Longrightarrow\boxed{\text{E}(X)=10})
=\sqrt{n\times p\times(1-p)} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :\sigma(X)}=\sqrt{200\times 0,05\times(1-0,05)} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :\sigma(X)}=\sqrt{9,5} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :}\Longrightarrow\boxed{\sigma(X)=\sqrt{9,5}\approx3,08})
=\begin{pmatrix}200\\6\end{pmatrix}\times0,05^6\times(1-0,05)^{200-6} \\\\\phantom{P(X=6)}=\begin{pmatrix}200\\6\end{pmatrix}\times0,05^6\times0,95^{194} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx0,06)
1).=P(X=0)+P(X=1) \\\\\phantom{P(X\le1)}=\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}\times0,05^0\times(1-0,05)^{200-0}+\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}\times0,05^1\times(1-0,05)^{200-1} \\\\\phantom{P(X=6)}=1\times1\times0,95^{200}+200\times0,05\times0,95^{199} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx4,04\times10^{-4} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx0,000404)
=200\times(1-0,05)=190\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ {\blue{\left\lbrace\begin{matrix}n\ge5\ \ \ \ \ \ \ \ \\np\ge5\ \ \ \ \ \ \ \\n(1-p)\ge5\end{matrix}\right.}})
(X ) = 3,08 (voir question 1. b.), peut donc être approchée par une variable aléatoire Y qui suit la loi normale d'espérance 
et d'écart-type =10\ \ \text{et}\ \ \sigma=\sigma(X)=3,08.)
\approx0,33497817.)
\approx0,33})
= 250\times(1-0,05)= 250\times0,95=237,5\ge5 \end{array})
![I_{250}=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}}\right]\\\\\Longrightarrow \boxed{I_{250}\approx[0,023;0,077]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?I_{250}=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}}\right]\\\\\Longrightarrow \boxed{I_{250}\approx[0,023;0,077]})
^{n}\Longrightarrow\boxed{v_n=6\times1,1^{n}})
:y'-0,17y=0.)
\Longleftrightarrow\boxed{y'=0,17y})
par =k\ \text{e}^{ax})
où k désigne un réel quelconque. = k\,\text{e}^{0,17t}\ \ \ \text{avec }\ k\in\R}})
 = k\,\text{e}^{0,17t}\\f(0)=2\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ k\,\text{e}^{0,17\times0}=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \ k\,\text{e}^{0}=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \ k\times1=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{ k=2})
![\boxed{f(t) = 2\,\text{e}^{0,17t}\ \ \ \text{avec }t\in[0\,;\,13]}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{f(t) = 2\,\text{e}^{0,17t}\ \ \ \text{avec }t\in[0\,;\,13]})
![{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)=(2\,\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(0,17t)'\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times0,17\times\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=0,34\times\text{e}^{0,17t} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=0,34\times\text{e}^{0,17t}} \\\\\underline{\text{Signe de f'(t)}}: \\\\\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow0,34\times\text{e}^{0,17t}>0\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow\boxed{f'(t)>0\ \ \ \text{sur [0 ; 13]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)=(2\,\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(0,17t)'\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times0,17\times\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=0,34\times\text{e}^{0,17t} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=0,34\times\text{e}^{0,17t}} \\\\\underline{\text{Signe de f'(t)}}: \\\\\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow0,34\times\text{e}^{0,17t}>0\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow\boxed{f'(t)>0\ \ \ \text{sur [0 ; 13]}})
\ge\ln(7,5) \\\\\phantom{2\ \text{e}^{0,17t}\ge15}\Longleftrightarrow 0,17t\ge\ln(7,5) \\\\\phantom{2\ \text{e}^{0,17t}\ge15}\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{\ln(7,5)}{0,17} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(7,5)}{0,17}\approx11,85)
.<f(t)\Longleftrightarrow2\ \text{e}^{kt}<2\ \text{e}^{0,17t} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow\text{e}^{kt}<\text{e}^{0,17t} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow kt<0,17t\ \ \ \ \text{(car l'exponentielle est strictement croissante)} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow \boxed{k<0,17}\ \ \ \ \text{(car }t\ge0))
=1.\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE})
=(1-2x^2)\,\text{e}^{-x^2})
=(1-2\times0^2)\,\text{e}^{-0^2} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(0)}=(1-0)\,\text{e}^{0} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(0)}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(0)=1})
pour tout x appartenant à [0 ; 3], f' (x ) 
[0 ; 3].=(1-2x^2)\,\text{e}^{-x^2}})
=(1-2\times1^2)\,\text{e}^{-1^2} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}=(1-2)\,\text{e}^{-1} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}=-\text{e}^{-1} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}\approx-0,378 \\\Longrightarrow\boxed{f'(1)<0})
l'aire I est supérieure à 0,15 unité d'aire 
0,1 = 0,05 unité d'aire.\,dx.)
=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2})
![\text{D'où }\ I=\int_0^1f(x)\,dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1^2}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\text{e}^{-0^2}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\approx0,316\ {\red{>0,15}}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }\ I=\int_0^1f(x)\,dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1^2}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\text{e}^{-0^2}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\approx0,316\ {\red{>0,15}}})
la primitive G de la fonction f qui s'annule en 0 est définie pour tout x de [0 ; 3] par =-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}})
=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}+k\ \ \ \ (k\in\R)})
=0\Longleftrightarrow-\dfrac{\text{e}^{-0^2}}{2}+k=0 \\\\\phantom{F(0)=0}\Longleftrightarrow-\dfrac{1}{2}+k=0 \\\\\phantom{F(0)=0}\Longleftrightarrow\boxed{k=\dfrac{1}{2}})
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