Fiche de mathématiques
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Bac Mathématiques STL 2018

Biotechnologies

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Durée : 4 heures

Coefficient : 4

5 points

exercice 1

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5 points

exercice 2

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6 points

exercice 3

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4 points

exercice 4

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Bac STL Biotechnologies Polynésie 2018

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5 points

exercice 1

1. a.  La formule 1 ne convient pas car l'écriture $B$3 signifie que cette adresse restera la même lorsque nous déplacerons la formule vers la droite, ce qui ne correspond pas aux données du tableau.
La formule 3 ne convient pas car zi  est défini par zi = -2 + ln(yi ) et non pas par zi = -2 + ln(xi ).
La formule à entrer dans la cellule B4, qui, recopiée vers la droite, complète la dernière ligne du tableau est la formule 2 : \overset{.}{\boxed{=-2+\text{LN(B3)}}}

1. b. Tableau complété :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Année}&\ \ 2004\ \  &\ \ 2006\ \ &\ \ 2008\ \ &\ \ 2010\ \ &\ \  2012\ \ &\ \ 2014\\\hline&&&&&&\\ \text{Rang de l'année : }{\red{x_i}}&\ \ 0\ \  &2&4& 6& 8& 10\\&&&&&&\\\hline \text{Volume d'eau}&&&&&&\\\text{potable produit en}& 7,5&11,9&14,5&15,9&17&17,9\\\text{millions de m}^3:{\red{y_i}}&&&&&&\\\hline{\red{z_i}}&\ \ \blue{0,01}\ \  &\ \ \blue{0,48}\ \ &\ \ \blue{0,67}\ \ &\ \ \blue{0,77}\ \ &\ \ \blue{ 0,83}\ \ &\ \ \blue{0,88}\\\hline \end{array}

2.  Nuage de points Mi(x i ; z i )
Le nuage de points est représenté par les six points bleus du graphique repris dans la question 4. b.

3.   Déterminons les coordonnées (xG ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{0+2+4+6+8+10}{6}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\y_G=\dfrac{0,01+0,48+0,67+0,77+0,83+0,88}{6}\ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_G=5\ \ \ \ \\\\y_G\approx0,61 \end{matrix}\right.

D'où en arrondissant les résultats à 10-2, les coordonnées du point G  sont (5 ; 0,61).
Ce point G  est placé sur le graphique repris dans la question 4. b.

4. a.   L'équation réduite de la droite (D ) d'ajustement affine de z  en x  est de la forme z  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a environegal 0,079 et b environegal 0,214 .
Donc l'équation réduite de la droite d'ajustement affine de z  en x  est z  = 0,079x  + 0,214.

Pour la suite de l'exercice, on prendra z = 0,08x + 0,21 pour équation de la droite D.

4. b.   Représentation du nuage de points Mi(xi ; zi), du point moyen G  et de la droite d'ajustement D.

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4. c.  "Le volume d'eau potable atteint 24 millions de m3 " se formalise par y  = 24.
Déterminons la valeur de z  correspondant à y  = 24.

\left\lbrace\begin{matrix}z=-2+\ln(y)\\y=24\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ z=-2+\ln(24)\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}z=-2+\ln(y)\\y=24\end{matrix}\right.\ \ \ }\Longrightarrow\ \ \ \boxed{z\approx1,178}

Nous devons déterminer la valeur du plus petit entier x  vérifiant l'inéquation 0,08x + 0,21 supegal 1,178.

0,08x+0,21\ge1,178\Longleftrightarrow 0,08x\ge1,178-0,21 \\\phantom{0,08x+0,21\ge1,178}\Longleftrightarrow 0,08x\ge0,968 \\\\\phantom{0,08x+0,21\ge1,178}\Longleftrightarrow x\ge\dfrac{0,968}{0,08} \\\\\phantom{0,08x+0,21\ge1,178}\Longleftrightarrow x\ge12,1

Le plus petit entier x  vérifiant l'inéquation est x  = 13.
Le rang x  = 13 correspond à l'année 2004 + 13 = 2017.
Par conséquent, le volume d'eau potable atteindra 24 millions de m3 à partir de l'année 2017.

5 points

exercice 2

1. a.  Nous renouvelons 200 fois de manière indépendante et identique le tirage aléatoire d'une lame de microscope.
Lors de chaque tirage, deux issues sont possibles :
le "succès" (la lame n'est pas conforme au cahier des charges) de probabilité p = 0,05
l'"échec" (la lame est conforme au cahier des charges) de probabilité 1 - p = 1 - 0,05 = 0,95.

Donc la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n = 200 et p = 0,05.

{\red{1.\ \text{b. }}}{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:\ \text{E}(X)=n\times p \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:\ \text{E}(X)}=200\times 0,05 \\\phantom{{\red{1.\ \text{b. }}}{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:\ \text{E}(X)}=10 \\\phantom{ee{\blue{\text{Espérance mathématique de }X}}:}\Longrightarrow\boxed{\text{E}(X)=10}

{\blue{\text{Ecart-type de }X}}\ :\sigma(X)=\sqrt{n\times p\times(1-p)} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :\sigma(X)}=\sqrt{200\times 0,05\times(1-0,05)} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :\sigma(X)}=\sqrt{9,5} \\\phantom{\text{Exart-type de }X\ :}\Longrightarrow\boxed{\sigma(X)=\sqrt{9,5}\approx3,08}

1. c.  Nous devons calculer P (X  = 6).
Avec l'aide de la calculatrice, nous obtenons :

P(X=6)=\begin{pmatrix}200\\6\end{pmatrix}\times0,05^6\times(1-0,05)^{200-6} \\\\\phantom{P(X=6)}=\begin{pmatrix}200\\6\end{pmatrix}\times0,05^6\times0,95^{194} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx0,06

D'où la probabilité de l'événement : "Exactement 6 lames de microscope parmi les 200 ne sont pas conformes au cahier des charges" est environ égale à 0,06 (arrondie à 10-2).

1. d.   La probabilité qu'au maximum 1 lame de microscope parmi les 200 n'est pas conforme au cahier des charges se détermine par P (X  infegal 1).

P(X\le1)=P(X=0)+P(X=1) \\\\\phantom{P(X\le1)}=\begin{pmatrix}200\\0\end{pmatrix}\times0,05^0\times(1-0,05)^{200-0}+\begin{pmatrix}200\\1\end{pmatrix}\times0,05^1\times(1-0,05)^{200-1} \\\\\phantom{P(X=6)}=1\times1\times0,95^{200}+200\times0,05\times0,95^{199} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx4,04\times10^{-4} \\\\\phantom{P(X=6)}\approx0,000404
Cette probabilité étant extrêmement petite, il est donc quasiment impossible d'être dans une situation telle que parmi 200 lames, il n'y ait qu'au maximum 1 lame qui ne soit pas conforme au cahier des charges.
Par conséquent, l'entreprise ne peut pas garantir à ses clients qu'au maximum 1 lame de microscope parmi les 200 n'est pas conforme au cahier des charges.

2. a.   Sous certaines conditions, nous pouvons approcher une loi binomiale de paramètres n  et p  par une loi normale.
Les conditions sont : n supegal 30 ; np supegal 5 et n(1 - p) supegal 5.
Ces conditions sont réalisées car

\left\lbrace\begin{matrix}n=200\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\np=200\times0,05=10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\n(1-p)=200\times(1-0,05)=190\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ {\blue{\left\lbrace\begin{matrix}n\ge5\ \ \ \ \ \ \ \ \\np\ge5\ \ \ \ \ \ \ \\n(1-p)\ge5\end{matrix}\right.}}

La variable aléatoire X  qui suit une loi binomiale d'espérance mathématique E(X ) = 10 et d'écart-type sigma(X ) = 3,08 (voir question 1. b.), peut donc être approchée par une variable aléatoire Y  qui suit la loi normale d'espérance mu et d'écart-type sigma.
Il est donc judicieux de choisir pour les deux lois la même valeur pour les espérances mathématiques et la même valeur pour les écarts-types.
Dès lors, choisissons  \mu=E(X)=10\ \ \text{et}\ \ \sigma=\sigma(X)=3,08.

2. b.  A l'aide de la calculatrice, nous obtenons :  P(7\le Y\le10)\approx0,33497817.
D'où, en arrondissant le résultat à 10-2,  \boxed{P(7\le Y\le10)\approx0,33}
Nous traduirons ce résultat en signifiant que dans le lot de 200 lames de microscope prélevé dans la production, la probabilité que ce lot contienne entre 7 et 10 lames non conformes au cahier des charges est environ égale à 0,33.

3. a.   Déterminons un intervalle de fluctuation asymptotique I250  au seuil de 95 % de la fréquence observée des lames de microscope qui ne sont pas conformes.

Les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation sont remplies.
En effet,

\left\lbrace\begin{array}l n=250\ge30 \\ p=0,05\Longrightarrow np=250\times0,05=12,5\ge5 \\n(1-p)= 250\times(1-0,05)= 250\times0,95=237,5\ge5 \end{array}

Donc un intervalle de fluctuation asymptotique I250  au seuil de 95% est :

I_{250}=\left[0,05-1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}};0,05+1,96\sqrt{\dfrac{0,05 (1-0,05)}{250}}\right]\\\\\Longrightarrow \boxed{I_{250}\approx[0,023;0,077]}

3. b.   La fréquence observée est   f=\dfrac{17}{250}=0,068.
Nous remarquons que   f\in I_{250}.
Par conséquent, au risque de se tromper de 5%, l'annonce du responsable de la chaîne de production est acceptable.

6 points

exercice 3

Partie A

1.  Une augmentation de 10 % par minute correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,10 = 1,1.
La vitesse vn +1  du sportif (n +1) minutes après le déclenchement du chronomètre s'obtient en multipliant
par 1,1 la vitesse vn  du sportif n minutes après le déclenchement du chronomètre.
Nous obtenons ainsi la relation  \red{v_{n+1} = 1,1\times v_n}
Par conséquent, la suite (vn )  est une suite géométrique de raison q = 1,1 et dont le premier terme
est v 0 = 6.


2.  Calculons le terme général vn  de cette suite géométrique.
v_n=v_0\times(\text{raison})^{n}\Longrightarrow\boxed{v_n=6\times1,1^{n}}
L'indice n  correspondant à 5 minutes après le déclenchement du chronomètre est n  = 5.
\overset{.}{v_{5}=6\times1,1^{5}=9,66306.}
Donc la vitesse de ce sportif 5 minutes après le déclenchement du chronomètre est d'environ 9,7 km.h-1 (valeur arrondie à 0,1 km.h-1).

3.  Soit l'algorithme :

                 \begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\v\longleftarrow6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }v\le12\ \ \ \  \\n\longleftarrow n+1\\\ \ \ \ v\longleftarrow 1,1\times v\ \ \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

3. a.   Tableau reprenant les valeurs successives prises par les variables n  et v  jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.

                 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline {\blue{n}}&0&1&2&3&4&5&6&7&8& \hline {\blue{v}}&6&6,6&7,3&8&8,8&9,7&10,6&11,7\ {\green{\le12}}&12,9\ {\red{>12}}\\\hline \end{array}

3. b.  La valeur de la variable n  à la fin de l'exécution de l'algorithme est n  = 8.
Dès lors, la vitesse de ce sportif 8 minutes après le déclenchement du chronomètre dépasse 12 km.h-1 puisqu'elle est environ égale à 12,9 km.h-1.

Partie B

1.   Résoudre sur l'intervalle [0 ; 13] l'équation différentielle  (E):y'-0,17y=0.

(E)\Longleftrightarrow\boxed{y'=0,17y}
Nous savons que l'ensemble des solutions de l'équation différentielle y' = ay  où a  est un nombre réel fixé, est l'ensemble des fonctions y  définies sur R par  y(x)=k\ \text{e}^{ax}k  désigne un réel quelconque.

Puisque a  = 0,17, l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) est l'ensemble des fonctions f  définies sur [0 ; 13] par  \overset{.}{\boxed{f(t) = k\,\text{e}^{0,17t}\ \ \ \text{avec }\ k\in\R}}

2.   Nous savons que f (0) = 2.

\left\lbrace\begin{matrix}f(t) = k\,\text{e}^{0,17t}\\f(0)=2\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \  k\,\text{e}^{0,17\times0}=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \  k\,\text{e}^{0}=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \  k\times1=2 \\\phantom{dddddddddddddd}\ \ \Longrightarrow\ \ \boxed{ k=2}

D'où  \boxed{f(t) = 2\,\text{e}^{0,17t}\ \ \ \text{avec }t\in[0\,;\,13]}

{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)=(2\,\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(\text{e}^{0,17t})' \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times(0,17t)'\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=2\times0,17\times\text{e}^{0,17t} \\\phantom{{\red{3.\ \text{a. }}}\ f'(t)}=0,34\times\text{e}^{0,17t} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(t)=0,34\times\text{e}^{0,17t}} \\\\\underline{\text{Signe de f'(t)}}: \\\\\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow0,34\times\text{e}^{0,17t}>0\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}0,34>0\\\text{e}^{0,17t}>0\end{matrix}\right.\ \ }\Longrightarrow\boxed{f'(t)>0\ \ \ \text{sur [0 ; 13]}}

Puisque f' (t ) > 0 sur [0 ; 13], nous en déduisons que la fonction f  est strictement croissante sur [0 ; 13].

3. b.   Courbe représentative de la fonction f

                
Bac STL Biotechnologies Polynésie 2018 : image 18


3. c.  Nous devons résoudre l'inéquation f (t ) supegal 15.

2\ \text{e}^{0,17t}\ge15\Longleftrightarrow \text{e}^{0,17t}\ge7,5 \\\\\phantom{2\ \text{e}^{0,17t}\ge15}\Longleftrightarrow \ln(\text{e}^{0,17t})\ge\ln(7,5) \\\\\phantom{2\ \text{e}^{0,17t}\ge15}\Longleftrightarrow 0,17t\ge\ln(7,5) \\\\\phantom{2\ \text{e}^{0,17t}\ge15}\Longleftrightarrow t\ge\dfrac{\ln(7,5)}{0,17} \\\\\text{Or }\ \dfrac{\ln(7,5)}{0,17}\approx11,85

Par conséquent, le sportif arrêtera son effort au bout de 12 minutes.
Calcul de sa vitesse :  v_{12}=6\times1,1^{12}\approx18,8.
D'où, la vitesse au moment où le sportif décide d'arrêter son effort est d'environ 18,8 km.h-1.

4.   L'autre sportif produit moins d'acide lactique.
Donc pour tout t  appartenant à [0 ; 13], g (t ) < f (t ).

g(t)<f(t)\Longleftrightarrow2\ \text{e}^{kt}<2\ \text{e}^{0,17t} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow\text{e}^{kt}<\text{e}^{0,17t} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow kt<0,17t\ \ \ \ \text{(car l'exponentielle est strictement croissante)} \\\\\phantom{g(t)<f(t)}\Longleftrightarrow \boxed{k<0,17}\ \ \ \ \text{(car }t\ge0)

4 points

exercice 4

{\mathbf{Affirmation\ 1 :\ }f'(0)=1.\ \ \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}

Nous savons que  f'(x)=(1-2x^2)\,\text{e}^{-x^2}
\text{Donc }\ f'(0)=(1-2\times0^2)\,\text{e}^{-0^2} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(0)}=(1-0)\,\text{e}^{0} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(0)}=1 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(0)=1}
D'où l'affirmation 1 est vraie.

{\mathbf{Affirmation\ 2 :\ } pour tout x  appartenant à [0 ; 3], f' (x ) supegal 0.    \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ FAUSSE}

La courbe (C) représentative de la fonction f "descend" sur l'intervalle [1 ; 1,5].
D'où la fonction f  est strictement décroissante sur [1 ; 1,5].
Par conséquent, pour tout x  appartenant à [1 ; 1,5], f' (x ) < 0.
L'affirmation 2 est donc fausse.

Nous pouvions également montrer que l'affirmation est fausse en montrant que la dérivée est strictement négative en une valeur de l'intervalle [0 ; 3].
Par exemple, 1 appartient [0 ; 3].
Montrons que f' (1) < 0.
\overset{.}{f'(x)=(1-2x^2)\,\text{e}^{-x^2}}
\text{Donc }\ f'(1)=(1-2\times1^2)\,\text{e}^{-1^2} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}=(1-2)\,\text{e}^{-1} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}=-\text{e}^{-1} \\\phantom{\text{Donc }\ f'(1)}\approx-0,378 \\\Longrightarrow\boxed{f'(1)<0}
D'où l'affirmation 2 est fausse.

{\mathbf{Affirmation\ 3 :\ } l'aire I  est supérieure à 0,15 unité d'aire    \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}

Bac STL Biotechnologies Polynésie 2018 : image 17

Sur le graphique ci-dessus, la surface dont l'aire est I  est la surface colorée.
L'aire de chaque carreau est égale à 0,5 multiplie 0,1 = 0,05 unité d'aire.
L'aire totale de 3 carreaux est 3 multiplie 0,05 = 0,15 unité d'aire.
Manifestement, la surface colorée est plus étendue que 3 carreaux.
Par conséquent, l'aire I  de cette surface est supérieure à 0,15 unité d'aire.
D'où l'affirmation 3 est vraie.

Nous pouvions également montrer que l'affirmation est vraie en calculant l'aire I .
La fonction f  est positive et continue sur l'intervalle [0 ; 1].
Dès lors,  I=\int_0^1f(x)\,dx.
Nous savons qu'une primitive de la fonction f  est définie par  F(x)=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}
\text{D'où }\ I=\int_0^1f(x)\,dx=[F(x)]_0^1=F(1)-F(0) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1^2}}{2}\right)-\left(-\dfrac{\text{e}^{-0^2}}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\left(-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\right) \\\\\phantom{\text{D'où }\ I}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{I=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\text{e}^{-1}}{2}\approx0,316\ {\red{>0,15}}}
D'où l'affirmation 3 est vraie.

{\mathbf{Affirmation\ 4 :\ } la primitive G  de la fonction f  qui s'annule en 0 est définie pour tout x  de [0 ; 3] par  \overset{.}{G(x)=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}}   \longrightarrow\blue{\mathbf{AFFIRMATION\ VRAIE}

Nous savons que les primitives F  de f  sur [0 ; 3] sont définies par une expression de la forme  \overset{.}{F(x)=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}+k\ \ \ \ (k\in\R)}
Déterminons la valeur de k  telle que F (0) = 0.

F(0)=0\Longleftrightarrow-\dfrac{\text{e}^{-0^2}}{2}+k=0 \\\\\phantom{F(0)=0}\Longleftrightarrow-\dfrac{1}{2}+k=0 \\\\\phantom{F(0)=0}\Longleftrightarrow\boxed{k=\dfrac{1}{2}}

La primitive G  de la fonction f  qui s'annule en 0 est donc définie pour tout x  de [0 ; 3] par  \overset{.}{G(x)=-\dfrac{\text{e}^{-x^2}}{2}+\dfrac{1}{2}}
D'où l'affirmation 4 est vraie.

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