Fiche de mathématiques
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Sujet corrigé du Bac 2016 STMG de Mathématiques Métropole

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Correction de l'épreuve de Mathématiques du Bac 2016 Métropole, série STMG


exercice 1

Partie A

1. f'(4)=0 donc la tangente est horizontale.
Puisque f(4)=18 son équation est donc y=18
Réponse c

2. Puisque f'(x) est positif sur [1;4] et qu'on cherche une expression de la forme f'(x)=ax^2+bx+c alors a<0.
Si on choisit f'(x)=-3x^2+15x-12 alors f'(1)=-3+15-12=0
Si on choisit f'(x)=-3x^2-15x-12 alors f'(1)=-3-15-12\neq 0
Réponse a

Partie B

1. On teste les différentes valeurs.
Si \sigma = 3 alors P(60 \le X \le 72) \approx 0,9545
Si \sigma = 6 alors P(60 \le X \le 72) \approx 0,6827
Si \sigma = 5 alors P(60 \le X \le 72) \approx 0,7699
Si \sigma = 9 alors P(60 \le X \le 72) \approx 0,4950
Réponse a

2. P(X \le 60) = 0,5-P(60 \le X \le 66) \approx 0,02
Réponse d



exercice 2

Partie A

1. D'après l'énoncé u_0=\numprint{42000}
En 2027, toutes la production sera assurée par le site B donc u_{12}=\numprint{0}

2. \dfrac{u_{12}-u_0}{12}=\numprint{3500}
On doit donc diminuer la production du site A de \numprint{3500} véhicule par an.

Partie B

1. La production augmente de 5\% par an; elle est donc multipliée par 1+\dfrac{5}{100}=1,05
Par conséquent \left(v_n\right) est une suite géométrique de raison 1,05 et de premier terme v_0=\numprint{53000}.

2. On a ainsi v_n=\numprint{53000}\times 1,05^n pour tout entier naturel n.

3. En 2016, on calcule v_1=1,05 \times \numprint{53000}=\numprint{55650}. Ainsi \numprint{55650} véhicules seront produits sur le site B en 2016.

En En 2016, on calcule v_2=1,05^2 \times \numprint{53000}\approx \numprint{58433}. Ainsi \numprint{58433} véhicules seront produits sur le site B en 2017.

4. Le nombre k indique le nombre d'année nécessaire pour que le site B assure en totalité la production des \numprint{95000} véhicules.



exercice 3

Partie A

1. A l'aide de la calculatrice on trouve l'équation : y=-9,52x+574,01

2.
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3. En 2016, x=13 donc y=-9,5\times 13+574=450,5

On peut donc prévoir 450,5 million de tonnes de gaz à effet de serre émis en 2016.

Partie B

1. Le taux d'évolution global entre 2004 et 2011 est t=\dfrac{490,01-557,21}{557,21}\approx -0,1206 = -12,06\%

2. \left(1-\dfrac{1,82}{100}\right)^7\approx 0,8793

Et 1-\dfrac{12,06}{100}=0,8794

Donc la baisse annuelle moyenne d'émission de gaz à effet de serre sur cette période est bien environ égale à 1,82\%.

2. En 2016, on aura 490,01\times \left(1-\dfrac{1,82}{100}\right)^5 \approx 447,01 million de tonnes de gaz à effet de serre selon cette hypothèse.



exercice 4

Partie A

1. f(10)=\dfrac{750}{12}=62,5<70

L'objectif n'est donc pas atteint après 10 semaines.

2. Au bout de 4 semaines le pourcentage est de 50\%.
Au bout de 8 semaines le pourcentage est de 60\%.
Il faut donc 4 semaines pour passer de 50\% à 60\%

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3. f'(x)=\dfrac{75(x+2)-75x}{(x+2)^2}=\dfrac{150}{(x+2)^2}

4. Un carré est toujours positif et 150 est positif.
Par conséquent, pour tout réel x appartenant à l'intervalle [0;15], f'(x)>0 et la fonction f est strictement croissante sur cet intervalle.

5. f(15) =\dfrac{\numprint{1125}}{17} \approx 66,18 <70.
L'agence demandera un délai supplémentaire après ces 15 semaines.

6. On veut trouver la plus petite valeur de x telle que \dfrac{75x}{x+2}\ge 70

soit 75x \ge 70(x+2)
Donc 75x \ge 70x + 140
D'où 5x \ge 140
Finalement x \ge 28
28-15=13
L'agence aura besoin de 13 semaines supplémentaires pour atteindre l'objectif fixé par l'entreprise.

Partie B

1.
p(C)=f(3)=\dfrac{75\times 3}{3+2}=45 donc 45\% des consommateurs connaissent la marque de boisson. Soit p(C)=0,45.
2. On obtient l'arbre suivant :
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3. p(A \cap C)=0,45 \times 0,2 =0,09.

4.
On a donc : p(A)&=0,09+0,55\times 0,04 =0,112

5. Un intervalle de fluctuation est I=\left[0,112-\dfrac{1}{\sqrt{500}};0,112+\dfrac{1}{\sqrt{500}}\right]

soit I \approx [0,067;0,157]

On observe une fréquence f=\dfrac{44}{500}=0,088 \in I

Au risque de 5\%, on ne peut pas rejeter l'hypothèse.
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