exercice 1 : PHYSIQUE-CHIMIE-MATHÉMATIQUES, COMMUN À TOUS LES CANDIDATS
1. La relation littérale entre la force électrostatique s'exerçant sur l'espèce chimique et le vecteur champ électrostatique est : où q est la charge de l'espèce chimique.
2. Schéma complété représentant les forces qui s'exercent sur la glycine, en sachant que la vitesse initiale est nulle.
Nous savons qu'une charge q plongée dans un champ électrostatique subit une force électrostatique donnée par la loi de Coulomb et par la relation
Les lignes de champ du champ électrostatique partent des charges + pour aller vers les charges -.
Puisque la charge q est positive, la force électrostatique possède le même sens que le champ électrique
La charge de l'espèce chimique étant positive et la vitesse initiale étant nulle, l'espèce chimique se dirigera vers la cathode contrairement à la force de frottement dont le sens se dirigera vers l'anode.
3. La deuxième loi de Newton se traduit dans cet exercice par :
4. A partir du résultat précédent, on montre que la vitesse de la glycine obéit à l'équation différentielle :
4. a) Nous devons déterminer la solution générale de l'équation différentielle (I ) de fonction inconnue v .
La solution générale d'une équation différentielle de la forme est
Dans ce cas, a = -17 109 et b = 55 106.
D'où la solution générale de l'équation (I ) est de la forme ,
soit
4. c) Nous devons calculer :
4. d) L'instant t0 où la vitesse atteint 63 % de la vitesse limite est la solution de l'équation
D'où la vitesse de l'espèce chimique atteint 63 % de la vitesse limite à l'instant t0 5,810-11 s. Cette durée est négligeable face aux 15 minutes représentant la durée de l'expérience.
4. e) Nous déduisons de la question précédente que la vitesse limite est quasi immédiatement atteinte.
Nous pouvons donc estimer que la vitesse de l'espèce chimique est constante.
Donc le mouvement de l'espèce chimique peut être considéré comme uniforme.
De plus, la direction du vecteur vitesse reste inchangée durant l'expérience.
Par conséquent, le mouvement de la glycine peut être considéré comme rectiligne uniforme.
5. Puisque le mouvement de la glycine peut être considéré comme rectiligne uniforme, d'après la réciproque de la première loi de Newton, la somme vectorielle des forces appliquées à la particule est nulle.
6. La durée tm nécessaire pour la migration de la glycine, au sein du capillaire, sur une distance de 0,70 m vérifie la relation
Or 2102 s = 210 s = 3,5 min.
Par conséquent, la durée nécessaire pour la migration de la glycine, au sein du capillaire, sur une distance de 70 cm est de 3,5 min.
Puisque la durée de l'expérience est de 15 min, cette expérience permettra de détecter la glycine à la sortie du capillaire.
4 points
exercice 3
Les questions 1, 2 et 3 reposent sur la figure ci-dessous:
1. Calcul de l'aire A1 du trapèze ABCD.
1. a) L'équation réduite de la tangente T à la courbe de la fonction f au point A d'abscisse 1 est de la forme :
D'où , soit
1. b) L'aire du trapèze ABCD est donnée par
2. a) Laquelle des figures ci-dessous correspond à l'exécution de l'instruction meth_rect(2) ?
L'instruction meth_rect(2) impose un pas égal à 2.
Dès lors, les figures 3 et 5 sont à rejeter.
Le premier rectangle est défini à partir de x = 1.
Dans ce cas, la hauteur du premier rectangle est ln(1) = 0.
L'aire du premier rectangle est donc nulle (le rectangle est "aplati").
Dès lors, la figure 2 est à rejeter.
Par conséquent, la figure correspondant à l'exécution de l'instruction meth_rect(2) est la figure 4.
2. b) représente l'aire du domaine délimité par la courbe , l'axe des abscisses et le segment [BC].
La valeur 9,307920700315046 renvoyée par l'exécution de meth_rect(2) représente l'aire totale des trois rectangles hachurés dans la figure 4.
La figure 4 montre que l'aire est supérieure à la valeur 9,307920700315046 renvoyée par l'exécution de meth_rect(2) .
3. Calcul de la valeur exacte de .
3. a) La fonction F définie sur [1 ; 9] par est dérivable sur [1 ; 9].
Nous en déduisons que la fonction F est une primitive de f sur [1 ; 9].
3. b) La fonction f est continue et positive sur [1 ; 9].
4. On considère la fonction f définie sur par
4. a) On admet que la fonction f est dérivable sur .
4. b) Etudions le signe de f' (x ) et les variations de f .
L'exponentielle est strictement positive pour tout x réel.
D'où le signe de la dérivée f' (x ) est le signe de (-3x + 1)
Remarque :
Nous en déduisons que la fonction f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur
5. En appliquant la formule d'Al-Kashi, nous obtenons :
6. Soit un réel appartenant à l'intervalle [0 ; [ et f la fonction définie sur par
6. a) Nous devons montrer que pour tout réel t ,
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s'exerçant sur l'espèce chimique et le vecteur champ électrostatique 
est : 
où q est la charge de l'espèce chimique. 
\ :\ \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}=55\times 10^6-17\times10^9\,v.)
est .)
109 et b = 55 =k\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}-\left(\dfrac{55\times10^6}{-17\times10^{9}}\right))
,=k\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}+3,2\times10^{-3}\ \ \ \ \ (k\in\R)})
 }}}\ v(0)=0\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+3,2\times10^{-3}=0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{b) }}}\ v(0)=0}\Longleftrightarrow k=-3,2\times10^{-3} \\\\\Longrightarrow v(t)=-3,2\times10^{-3}\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}+3,2\times10^{-3} \\\\\Longrightarrow \boxed{v(t)=3,2\times10^{-3}(1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t})})
.)
![\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-17\times10^9t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^{T}=0\end{matrix}\right. \underset{\text{par composée}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-17\times10^9t}=0\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})=1\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\left[3,2\times10^{-3}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})\right]=3,2\times10^{-3}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=3,2\times10^{-3}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-17\times10^9t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^{T}=0\end{matrix}\right. \underset{\text{par composée}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-17\times10^9t}=0\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})=1\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\left[3,2\times10^{-3}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})\right]=3,2\times10^{-3}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=3,2\times10^{-3}})
=0,63\times 3,2\times10^{-3}.)
=0,63\times 3,2\times10^{-3}\Longleftrightarrow3,2\times10^{-3}(1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t})=0,63\times 3,2\times10^{-3} \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}=0,63 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-17\times10^{9}t}=1-0,63 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-17\times10^{9}t}=0,37 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow-17\times10^{9}t=\ln(0,37) \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow t=-\dfrac{\ln(0,37)}{17}\times10^{-9}\approx5,8\times10^{-11})
5,8
de la fonction f au point A d'abscisse 1 est (x-1)+f(1).)
=\ln(x)\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\ln(1)\\f'(x)=\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\\f'(1)=\dfrac{1}{1}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\\f'(1)=1\end{matrix}\right.)
+0)
, soit 
du trapèze ABCD est donnée par \times BC}{2}.)
+1)|=|8-2\ln(3)|=8-2\ln(3)\\BC=|y_C-y_B|=|y_D-y_B|=|2\ln(3)-0|=2\ln(3) \\\\\Longrightarrow\mathscr{A}_1=\dfrac{(8+8-2\ln(3))\times 2\ln(3)}{2}=(16-2\ln(3))\times \ln(3) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_1=16\ln(3)-2\left(\overset{}{\ln(3))}\right)^2})
représente l'aire du domaine 
délimité par la courbe 
, l'axe des abscisses et le segment [BC].=x\ln(x)-x)
est dérivable sur [1 ; 9].![F\,'(x)=(x\ln(x))'-x' \\\phantom{F'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'-1 \\\phantom{F'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x)+1-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x) \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[1;9],\ \ F\,'(x)=f(x)}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?F\,'(x)=(x\ln(x))'-x' \\\phantom{F'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'-1 \\\phantom{F'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x)+1-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x) \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[1;9],\ \ F\,'(x)=f(x)})
![\text{D'où }\mathscr{A}_2=\int\limits_1^9f(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_1^9=\left[\overset{}{x\ln(x)-x}\right]\limits_1^9 \\\\\phantom{WWW,}=(9\ln(9)-9)-(1\ln(1)-1) \\\\\phantom{WWW,}=9\ln(9)-9-0+1=9\ln(9)-8 \\\\\Longrightarrow\boxed{A_2=9\ln(9)-8}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\text{D'où }\mathscr{A}_2=\int\limits_1^9f(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_1^9=\left[\overset{}{x\ln(x)-x}\right]\limits_1^9 \\\\\phantom{WWW,}=(9\ln(9)-9)-(1\ln(1)-1) \\\\\phantom{WWW,}=9\ln(9)-9-0+1=9\ln(9)-8 \\\\\Longrightarrow\boxed{A_2=9\ln(9)-8})
par =(3x+2)\,\text{e}^{-x}.)
=(3x+2)'\times\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=3\times\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(-x)'\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(-1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}-(3x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}-3x\,\text{e}^{-x}-2\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=-3x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-3x+1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-3x+1)\,\text{e}^{-x}})
&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&3\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\approx2,15&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix})
=(3\times\dfrac{1}{3}+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{1}{3})=3\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\approx2,15} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(3x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(3x+2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}\ \ \ (\text{par les croissances comparées)})
![]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}])
 \\\phantom{PR^2}=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos\dfrac{\pi}{3} \\\phantom{PR^2}=25+9-30\times\dfrac{1}{2} \\\phantom{PR^2}=19 \\\\\Longrightarrow\boxed{PR=\sqrt{19}})
un réel appartenant à l'intervalle [0 ; 
[ et f la fonction définie sur =\cos(3t+\varphi).)
+9f(t)=0.)
=\cos(3t+\varphi)\Longrightarrow f'(t)=-(3t+\varphi)'\sin(3t+\varphi) \\\\\phantom{f(t)=\cos(3t+\varphi)}\Longrightarrow f'(t)=-3\sin(3t+\varphi) \\\\f'(t)=-3\sin(3t+\varphi)\Longrightarrow f''(t)=-3(3t+\varphi)'\cos(3t+\varphi) \\\\\phantom{f'(t)=-3\sin(3t+\varphi)}\Longrightarrow f''(t)=-9\cos(3t+\varphi) \\\\\text{D'où } f''(t)+9f(t)=-9\cos(3t+\varphi)+9\cos(3t+\varphi)=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(t)+9f(t)=0})
 }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Longleftrightarrow\cos(0+\varphi)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\phantom{{\red{6. \ \text{b) }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} }\Longleftrightarrow\cos \varphi=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\phantom{{\red{6. \ \text{b) }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} }\Longleftrightarrow\boxed{\varphi=\dfrac{\pi}{4}}\ \ \ \ \ (\text{car }\varphi\in[0\,;\,\pi[).)
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