Fiche de mathématiques
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Sujet 0 Voie technologique STL

Epreuve d'enseignement de Spécialité

Physique-Chimie-Mathématiques

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exercice 1 : Physique-Chimie-Mathématiques, commun à tous les candidats

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exercice 3


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(partie mathématiques)

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exercice 1 : PHYSIQUE-CHIMIE-MATHÉMATIQUES, COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1.  La relation littérale entre la force électrostatique  \overrightarrow{F_e}  s'exerçant sur l'espèce chimique et le vecteur champ électrostatique  \overrightarrow{E}  est :  \boxed{\overrightarrow{F_e}=q\times \overrightarrow{E}}  où q est la charge de l'espèce chimique.

2.  Schéma complété représentant les forces qui s'exercent sur la glycine, en sachant que la vitesse initiale est nulle.

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Nous savons qu'une charge q  plongée dans un champ électrostatique  \overrightarrow{E}  subit une force électrostatique  \overrightarrow{F_e}  donnée par la loi de Coulomb et par la relation  \overrightarrow{F_e}=q\times \overrightarrow{E}.

Les lignes de champ du champ électrostatique  \overrightarrow{E}  partent des charges + pour aller vers les charges -.
Puisque la charge q  est positive, la force électrostatique  \overrightarrow{F_e}  possède le même sens que le champ électrique  \overrightarrow{E}.

La charge de l'espèce chimique étant positive et la vitesse initiale étant nulle, l'espèce chimique se dirigera vers la cathode contrairement à la force de frottement dont le sens se dirigera vers l'anode.

3.  La deuxième loi de Newton se traduit dans cet exercice par :  \boxed{\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=m.\overrightarrow{a}}

\text{D'où }\ \overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=m.\overrightarrow{a}\Longleftrightarrow q.\overrightarrow{E}-6\pi.\eta.r. \overrightarrow{v} =m.\overrightarrow{a} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=m.\overrightarrow{a}}\Longleftrightarrow \overrightarrow{a}=\dfrac{q.\overrightarrow{E}-6\pi.\eta.r.\overrightarrow{v} }{m} \\\\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=m.\overrightarrow{a}}\Longleftrightarrow \boxed{\overrightarrow{a}=\dfrac{q.\overrightarrow{E}}{m}-\dfrac{6\pi.\eta.r }{m}\overrightarrow{v}}\Longleftrightarrow \boxed{a=\dfrac{q.E}{m}-\dfrac{6\pi.\eta.r\  }{m}v}

4.  A partir du résultat précédent, on montre que la vitesse de la glycine obéit à l'équation différentielle :

(I)\ :\ \dfrac{\text{d}V}{\text{d}t}=55\times 10^6-17\times10^9\,v.
4. a)  Nous devons déterminer la solution générale de l'équation différentielle (I ) de fonction inconnue v .
La solution générale d'une équation différentielle de la forme  y'=ay+b  est  y=k\,\text{e}^{at}-\dfrac{b}{a}\ \ \ \ \ (k\in\R).
Dans ce cas, a  = -17 multiplie 109 et b  = 55 multiplie 106
D'où la solution générale de l'équation (I ) est de la forme  v(t)=k\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}-\left(\dfrac{55\times10^6}{-17\times10^{9}}\right) ,
soit  \boxed{v(t)=k\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}+3,2\times10^{-3}\ \ \ \ \ (k\in\R)}

{\red{4.\ \text{b) }}}\ v(0)=0\Longleftrightarrow k\,\text{e}^{0}+3,2\times10^{-3}=0 \\\phantom{{\red{4.\ \text{b) }}}\ v(0)=0}\Longleftrightarrow k=-3,2\times10^{-3} \\\\\Longrightarrow v(t)=-3,2\times10^{-3}\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}+3,2\times10^{-3} \\\\\Longrightarrow \boxed{v(t)=3,2\times10^{-3}(1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t})}

4. c)  Nous devons calculer :  \lim\limits_{t\to+\infty}v(t).

\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{t\to+\infty}(-17\times10^9t)=-\infty\\\lim\limits_{T\to-\infty}\text{e}^{T}=0\end{matrix}\right. \underset{\text{par composée}}{\Longrightarrow}\ \ \ \ \lim\limits_{t\to+\infty}\text{e}^{-17\times10^9t}=0\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})=1\\\\\phantom{WWWWWWWWW,,WWW}\Longrightarrow\lim\limits_{t\to+\infty}\left[3,2\times10^{-3}(1-\text{e}^{-17\times10^9t})\right]=3,2\times10^{-3}\\\\\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{t\to+\infty}v(t)=3,2\times10^{-3}}

4. d)  L'instant t 0 où la vitesse atteint 63 % de la vitesse limite est la solution de l'équation  v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}.

v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}\Longleftrightarrow3,2\times10^{-3}(1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t})=0,63\times 3,2\times10^{-3} \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow1-\,\text{e}^{-17\times10^{9}t}=0,63 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-17\times10^{9}t}=1-0,63 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow\text{e}^{-17\times10^{9}t}=0,37 \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow-17\times10^{9}t=\ln(0,37) \\\phantom{v(t)=0,63\times 3,2\times10^{-3}}\Longleftrightarrow t=-\dfrac{\ln(0,37)}{17}\times10^{-9}\approx5,8\times10^{-11}
D'où la vitesse de l'espèce chimique atteint 63 % de la vitesse limite à l'instant t 0 environegal 5,8multiplie10-11 s.
Cette durée est négligeable face aux 15 minutes représentant la durée de l'expérience.

4. e)  Nous déduisons de la question précédente que la vitesse limite est quasi immédiatement atteinte.
Nous pouvons donc estimer que la vitesse de l'espèce chimique est constante.
Donc le mouvement de l'espèce chimique peut être considéré comme uniforme.

De plus, la direction du vecteur vitesse reste inchangée durant l'expérience.
Par conséquent, le mouvement de la glycine peut être considéré comme rectiligne uniforme.

5.  Puisque le mouvement de la glycine peut être considéré comme rectiligne uniforme, d'après la réciproque de la première loi de Newton, la somme vectorielle des forces appliquées à la particule est nulle.

\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}\Longleftrightarrow q.\overrightarrow{E}-6\pi.\eta.r.\overrightarrow{v} =\overrightarrow{0} \\\phantom{\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow q.E-6\pi.\eta.r.v =0 \\\phantom{\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow 6\pi\ \eta\ r.v =q.E \\\phantom{\overrightarrow{F_e}+\overrightarrow{f}=\overrightarrow{0}}\Longleftrightarrow \boxed{ v =\dfrac{q.E}{6\pi.\eta.r}}

6.  La durée tm  nécessaire pour la migration de la glycine, au sein du capillaire, sur une distance de 0,70 m vérifie la relation  v=\dfrac{0,70}{t_m}.

v=\dfrac{0,70}{t_m}\Longleftrightarrow t_m=\dfrac{0,7}{v} \\\\\phantom{v=\dfrac{0,70}{t_m}}\Longleftrightarrow t_m=\dfrac{0,7}{\dfrac{q.E}{6\pi.\eta.r}} \\\\\phantom{v=\dfrac{0,70}{t_m}}\Longleftrightarrow t_m=\dfrac{0,7\times6\pi.\eta.r}{q.E} \\\\\phantom{v=\dfrac{0,70}{t_m}}\Longleftrightarrow t_m=\dfrac{0,7\times6\pi\times1,1\times10^{-13}}{1,6\times10^{-19}\times 4,3\times10^4} \\\\\phantom{v=\dfrac{0,70}{t_m}}\Longrightarrow t_m\approx2,1\times10^2

Or 2multiplie102 s = 210 s = 3,5 min.
Par conséquent, la durée nécessaire pour la migration de la glycine, au sein du capillaire, sur une distance de 70 cm est de 3,5 min.
Puisque la durée de l'expérience est de 15 min, cette expérience permettra de détecter la glycine à la sortie du capillaire.

4 points

exercice 3

Les questions 1, 2 et 3 reposent sur la figure ci-dessous:

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1.  Calcul de l'aire A 1 du trapèze ABCD.

1. a)  L'équation réduite de la tangente T  à la courbe  \mathscr{C}_f  de la fonction f  au point A d'abscisse 1 est
de la forme :  y=f'(1)(x-1)+f(1).

\text{Or }f(x)=\ln(x)\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=\ln(1)\\f'(x)=\dfrac{1}{x}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\\f'(1)=\dfrac{1}{1}\end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(1)=0\\f'(1)=1\end{matrix}\right.

D'où  T:y=1(x-1)+0 , soit  \boxed{T:y=x-1}

1. b)  L'aire  \mathscr{A}_1  du trapèze ABCD est donnée par   \mathscr{A}_1=\dfrac{(AB+DC)\times BC}{2}.

AB=9-1=8\\DC=|x_C-x_D|=|9-(2\ln(3)+1)|=|8-2\ln(3)|=8-2\ln(3)\\BC=|y_C-y_B|=|y_D-y_B|=|2\ln(3)-0|=2\ln(3) \\\\\Longrightarrow\mathscr{A}_1=\dfrac{(8+8-2\ln(3))\times 2\ln(3)}{2}=(16-2\ln(3))\times \ln(3) \\\\\Longrightarrow\boxed{\mathscr{A}_1=16\ln(3)-2\left(\overset{}{\ln(3))}\right)^2}

2. a)  Laquelle des figures ci-dessous correspond à l'exécution de l'instruction meth_rect(2)  ?

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L'instruction meth_rect(2)  impose un pas égal à 2.
Dès lors, les figures 3 et 5 sont à rejeter.
Le premier rectangle est défini à partir de x  = 1.
Dans ce cas, la hauteur du premier rectangle est ln(1) = 0.
L'aire du premier rectangle est donc nulle (le rectangle est "aplati").
Dès lors, la figure 2 est à rejeter.
Par conséquent, la figure correspondant à l'exécution de l'instruction meth_rect(2)  est la figure 4.

2. b)   \mathscr{A}_2  représente l'aire du domaine deltamaj délimité par la courbe  \mathscr{C} , l'axe des abscisses et le segment [BC].
La valeur 9,307920700315046 renvoyée par l'exécution de meth_rect(2)  représente l'aire totale des trois rectangles hachurés dans la figure 4.
La figure 4 montre que l'aire  \mathscr{A}_2  est supérieure à la valeur 9,307920700315046 renvoyée par l'exécution de meth_rect(2) .

3.  Calcul de la valeur exacte de  \mathscr{A}_2 .

3. a)  La fonction F  définie sur [1 ; 9] par  F(x)=x\ln(x)-x  est dérivable sur [1 ; 9].

F\,'(x)=(x\ln(x))'-x' \\\phantom{F'(x)}=x'\times\ln(x)+x\times(\ln(x))'-1 \\\phantom{F'(x)}=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x)+1-1 \\\phantom{F'(x)}=\ln(x) \\\phantom{F'(x)}=f(x) \\\\\Longrightarrow\boxed{\forall\ x\in[1;9],\ \ F\,'(x)=f(x)}
Nous en déduisons que la fonction F  est une primitive de f  sur [1 ; 9].

3. b)  La fonction f  est continue et positive sur [1 ; 9].

\text{D'où }\mathscr{A}_2=\int\limits_1^9f(x)\,\text{d}x=\left[\overset{}{F(x)}\right]\limits_1^9=\left[\overset{}{x\ln(x)-x}\right]\limits_1^9 \\\\\phantom{WWW,}=(9\ln(9)-9)-(1\ln(1)-1) \\\\\phantom{WWW,}=9\ln(9)-9-0+1=9\ln(9)-8 \\\\\Longrightarrow\boxed{A_2=9\ln(9)-8}

4.  On considère la fonction f  définie sur R par  f(x)=(3x+2)\,\text{e}^{-x}.

4. a)  On admet que la fonction f  est dérivable sur R.

f'(x)=(3x+2)'\times\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(\text{e}^{-x})' \\\phantom{f'(x)}=3\times\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(-x)'\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}+(3x+2)\times(-1)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}-(3x+2)\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=3\,\text{e}^{-x}-3x\,\text{e}^{-x}-2\,\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=-3x\,\text{e}^{-x}+\text{e}^{-x} \\\phantom{f'(x)}=(-3x+1)\,\text{e}^{-x} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=(-3x+1)\,\text{e}^{-x}}

4. b)  Etudions le signe de f' (x ) et les variations de f .
L'exponentielle est strictement positive pour tout x  réel.
D'où le signe de la dérivée f' (x ) est le signe de (-3x  + 1)

\begin{matrix}-3x+1<0\Longleftrightarrow -3x<-1\\\phantom{-3x+1<0}\Longleftrightarrow x>\dfrac{1}{3}\\\\-3x+1=0\Longleftrightarrow -3x=-1\\\phantom{-3x+1=0}\Longleftrightarrow x=\dfrac{1}{3}\\\\-3x+1>0\Longleftrightarrow -3x>-1\\\phantom{-3x+1>0}\Longleftrightarrow x<\dfrac{1}{3}\end{matrix} \ \ \begin{matrix} |\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\ x&-\infty&&\dfrac{1}{3}&&+\infty\\&&&&&\\\hline -3x+1&&+&0&-&\\\hline&&&&&\\f'(x)&&+&0&-&\\&&&&&\\\hline &&&3\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\approx2,15&& \\ f(x)&&\nearrow&&\searrow& \\ &-\infty&&&&0 \\ \hline \end{array}\end{matrix}
Remarque :
f(\dfrac{1}{3})=(3\times\dfrac{1}{3}+2)\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\Longrightarrow \boxed{f(\dfrac{1}{3})=3\,\text{e}^{-\frac{1}{3}}\approx2,15} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to-\infty}(3x+2)=-\infty\\\lim\limits_{x\to-\infty}\text{e}^{-x}=+\infty\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty} \\\\\left\lbrace\begin{matrix}\lim\limits_{x\to+\infty}(3x+2)=+\infty\\\lim\limits_{x\to+\infty}\text{e}^{-x}=0\end{matrix}\right.\Longrightarrow\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0}\ \ \ (\text{par les croissances comparées)}

Nous en déduisons que la fonction f  est strictement croissante sur  ]-\infty\,;\,\dfrac{1}{3}] 
et strictement décroissante sur  [\dfrac{1}{3}\,;\,+\infty[.


5.  En appliquant la formule d'Al-Kashi, nous obtenons :

PR^2=PQ^2+QR^2-2\times PQ\times QR\times\cos(\widehat{PQR}) \\\phantom{PR^2}=5^2+3^2-2\times5\times3\times\cos\dfrac{\pi}{3} \\\phantom{PR^2}=25+9-30\times\dfrac{1}{2} \\\phantom{PR^2}=19 \\\\\Longrightarrow\boxed{PR=\sqrt{19}}

6.  Soit phi un réel appartenant à l'intervalle [0 ; pi[ et f  la fonction définie sur R par  f(t)=\cos(3t+\varphi).

6. a)  Nous devons montrer que pour tout réel t ,  f''(t)+9f(t)=0.

f(t)=\cos(3t+\varphi)\Longrightarrow f'(t)=-(3t+\varphi)'\sin(3t+\varphi) \\\\\phantom{f(t)=\cos(3t+\varphi)}\Longrightarrow f'(t)=-3\sin(3t+\varphi) \\\\f'(t)=-3\sin(3t+\varphi)\Longrightarrow f''(t)=-3(3t+\varphi)'\cos(3t+\varphi) \\\\\phantom{f'(t)=-3\sin(3t+\varphi)}\Longrightarrow f''(t)=-9\cos(3t+\varphi) \\\\\text{D'où } f''(t)+9f(t)=-9\cos(3t+\varphi)+9\cos(3t+\varphi)=0 \\\\\Longrightarrow\boxed{f''(t)+9f(t)=0}

{\red{6. \ \text{b) }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Longleftrightarrow\cos(0+\varphi)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\phantom{{\red{6. \ \text{b) }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} }\Longleftrightarrow\cos \varphi=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\\phantom{{\red{6. \ \text{b) }}} f(0)=\dfrac{\sqrt{2}}{2} }\Longleftrightarrow\boxed{\varphi=\dfrac{\pi}{4}}\ \ \ \ \ (\text{car }\varphi\in[0\,;\,\pi[).
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