Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique. Ces sujets dans leur totalité
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Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 5.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.
Détails des 5 premières réponses
1) Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points A(2 ; 4) et B(6 ; 16).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax + b.
Première méthode : par le coefficient directeur.
Calcul du coefficient directeur a .
L'équation réduite de la droite (AB) est donc de la forme : y = 3x + b.
Calcul de l'ordonnée à l'origine b .
La droite (AB) passe par le point A(2 ; 4).
Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
4 = 3 2 + b 4 = 6 + bb = -2.
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB) est
Deuxième méthode : par l'appartenance des points A et B à la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax + b.
Le point A(2 ; 4) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
Le point B(6 ; 16) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 6 et y par 16.
Dès lors,
2) Soit f la fonction définie sur par
L'ordonnée du point de ayant pour abscisse -3 est f (-3).
Par conséquent, l'ordonnée du point de ayant pour abscisse -3 est 24.
4) Soit g la fonction définie sur par
L'antécédent de -11 par g est la valeur de x telle que g (x ) = -11.
Par conséquent, l'antécédent de -11 par g est 6.
5) Notons p le prix initial du produit.
Nous savons que
L'énoncé se traduit alors par la relation :
Par conséquent, le prix initial du produit est de 250 euros.
Tableau "énoncé-réponse" des questions 6 à 9.
Détails des réponses de 6 à 9
6) Première méthode :
Seconde méthode (plus longue):
9) Compléter le tableau de signe de l'expression (x - 1)(x + 3).
Tableau "énoncé-réponse" de la question 10.
Partie II (Calculatrice autorisée)
5 points
exercice 2
Soit f une fonction polynôme du second degré, définie sur et représentée par la parabole ci-dessous.
1. a. L'image de 0 par f , exprimée par f (0), est l'ordonnée du point d'intersection entre la parabole et l'axe des ordonnées.
Par lecture graphique, nous observons que cette ordonnée est égale à -4.
Par conséquent, l'image de 0 par f est égale à -4, soit f (0) = -4.
1. b. Les racines de la fonction f sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole et l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, nous observons que ces abscisses sont égales à -1 et 2.
Par conséquent, les racines de la fonction f sont -1 et 2.
1. c. Les solutions de l'équation f (x ) = 1 sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole et la droite d'équation : y = 1.
Par lecture graphique, nous observons que la droite d'équation y = 1 coupe la parabole en deux points B et C.
Par conséquent, l'équation f (x ) = 1 possède deux solutions.
2. Si une fonction polynôme du second degré f admet deux racines x1 et x2, alors l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x - x1)(x - x2) où a est un nombre réel.
Nous avons montré dans la question 1.b. que les racines de la fonction f sont -1 et 2.
Dès lors, l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x - (-1))(x - 2), soit f (x ) = a (x + 1)(x - 2)
De plus, nous avons montré dans la question 1.a. que f (0) = -4.
Par conséquent, f (x ) peut s'écrire f (x ) = 2(x + 1)(x - 2).
3. L'instruction balayage(0.0001) renvoie le résultat (2.1583, 2.1584).
Ce résultat signifie que la solution de l'équation f (x ) = 1 dans l'intervalle [2 ; 3] appartient plus précisément à l'intervalle [2,1583, 2,1584] dont l'amplitude est 0,0001.
5 points
exercice 3
On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d'une plaque carrée de 3 mètres de côté.
A chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté x mètres, où x est un nombre réel
appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5]. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume V (x ) exprimé en m3.
1. a. L'aire d'un carré se calcule par la formule : côté côté.
Or la mesure du côté AD = 3 - x - x , soit 3 - 2x .
Donc l'aire du carré ABCD = (3 - 2x ) (3 - 2x ), soit (3 - 2x )2.
1. b. La cuve obtenue après découpage, pliage, soudage est un pavé droit (parallélépipède rectangle).
Le volume d'un pavé droit est donné par la formule : aire de la base hauteur du pavé.
L'aire de la base de la cuve est égale à (3 - 2x )2 et la hauteur est égale à x .
Donc le volume de la cuve peut s'écrire sous la forme :
2. a. Déterminons l'expression de V' (x ).
2. b. Etudions le signe de V' (x ). V' (x ) est un polynôme du second degré dont les racines sont 0,5 et 1,5 (voir question 2.a.).
Le signe de V' (x ) est le signe du coefficient de x2 (positif) à l'extérieur des racines et est négatif entre les racines.
D'où le tableau de signes de V' (x ) et les variations de V sur l'intervalle [0 ; 15].
Par conséquent, la fonction V est croissante sur l'intervalle [0 ; 0,5] décroissante sur l'intervalle [0,5 ; 1,5]
2. c. Les variations de la fonction V étudiées dans la question précédente nous permet de conclure que le volume de la cuve est maximal pour x = 0,5.
5 points
exercice 4
Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, 35 % ont choisi l'activité kayak, 25 % l'activité escalade et les autres l'activité équitation. Les filles représentent 30 % des personnes ayant choisi l'activité kayak, 40 % de l'activité escalade et 70 % de l'activité équitation.
1. Tableau des effectifs.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité kayak : 35 % de 200, soit 0,35 200 = 70.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité escalade : 25 % de 200, soit 0,25 200 = 50.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité équitation : 200 - (70 + 50) = 200 - 120 = 80.
Nombre de filles ayant choisi l'activité kayak : 30 % de 70, soit 0,3 70 = 21.
Nombre de filles ayant choisi l'activité escalade : 40 % de 50, soit 0,4 50 = 20.
Nombre de filles ayant choisi l'activité équitation : 70 % de 80, soit 0,7 80 = 56.
Nombre total de filles : 21 + 20 + 56 = 97.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité kayak : 70 - 21 = 49.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité escalade : 50 - 20 = 30.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité équitation : 80 - 56 = 24.
Nombre total de garçons : 49 + 30 + 24 = 103.
2. Parmi les 97 filles, 21 d'entre elles ont choisi l'activité kayak.
D'où, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l'activité kayak est de , soit environ 21,6 %.
3. a. Parmi les 200 adolescents, 24 garçons ont choisi l'activité équitation. La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l'équitation est de
3. b. Parmi les 97 filles, 56 d'entre elles ont choisi l'activité équitation.
Par conséquent, sachant que la personne sélectionnée est une fille, la probabilité qu'elle ait choisi l'équitation est égale à
4. Une augmentation annuelle de 7 % correspond à un coefficient multiplicateur de
Actuellement, le nombre d'adolescents est de 236. Après 5 années, le centre de vacances pourra accueillir 1,075 236 331 adolescents.
Publié par malou
le
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