Fiche de mathématiques

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E3C - Epreuve 2 - Voie technologique

Sujet 13 de la banque nationale

Durée : 2 heures

Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique.
Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document

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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 13

Partie I

5 points

exercice 1 : Automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 5.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

$\begin{array}{|c|l|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1)&\text{Dans un repère du plan, on donne }A(2;4)\ \text{et}&\\&B(6;16).&\\&\text{Déterminer une équation de la droite }(AB).&{\red{y=3x-2}}\\&&\\\hline&&\\ 2)&\text{Soit }f\ \text{la fonction définie sur }\R\text{ par}&\\&f(x)=2x^2-x+3.\text{ On note }\mathscr{C}_f\text{ sa courbe}&\\&\text{représentative dans un repère du plan.}&\\&\text{Déterminer l'ordonnée du point de }\mathscr{C}_f\text{ ayant}&\\&\text{pour abscisse }-3&{\red{24}}\\&&\\\hline&&\\ 3)&\text{Factoriser l'expression }4(x+2)+(x+2)^2.&{\red{(x+2)(x+6)}}\\&&\\\hline&&\\ 4)&\text{Soit }g\text{ la fonction définie par }g(x)=-3x+7.&\\&\text{Déterminer l'antécédent de }-11\text{ par }g.&{\red{6}}\\&&\\\hline&&\\ 5)&\text{Après une baisse de 20 } \%,\text{ un produit coûte}&\\&200\ \text{euros. Quel était son prix initial ?}&{\red{250\text{ euros.}}\\&&\\\hline \end{array}$

Détails des 5 premières réponses

1) Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points A(2 ; 4) et B(6 ; 16).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax + b .

Première méthode : par le coefficient directeur.
Calcul du coefficient directeur a .
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{16-4}{6-2}=\dfrac{12}{4}\Longrightarrow\boxed{a=3}$
L'équation réduite de la droite (AB) est donc de la forme : y = 3x + b .

Calcul de l'ordonnée à l'origine b .
La droite (AB) passe par le point A(2 ; 4).
Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
4 = 3 multiplie

2 + b

4 = 6 + b

b = -2.
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB) est $\boxed{{\red{y=3x-2}}}$

Deuxième méthode : par l'appartenance des points A et B à la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax + b .
Le point A(2 ; 4) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
Le point B(6 ; 16) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 6 et y par 16.
Dès lors,
$\left\lbrace\begin{matrix}A(2\,;\,4)\in(AB)\\B(6\,;\,16)\in(AB)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}4=a\times2+b\\16=a\times6+b\end{matrix}\right. \\\\\phantom{...WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}2a+b=4\\6a+b=16\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\6a+b=16\end{matrix}\right.\\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\ \ \ \ \ \ \ \\6a+(4-2a)=16\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\4a=12\end{matrix}\right. \\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\a=3\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2\times3\\a=3\end{matrix}\right. \\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.$
$\\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{(AB):y=3x-2}}}$

2) Soit f la fonction définie sur

par $f(x)=2x^2-x+3.$
L'ordonnée du point de $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse -3 est f (-3).
$f(-3)=2\times(-3)^2-(-3)+3=2\times9+3+3=18+6\Longrightarrow\boxed{f(-3)=24}$
Par conséquent, l'ordonnée du point de $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse -3 est 24.

$3)\ 4(x+2)+(x+2)^2=4{\blue{(x+2)}}+(x+2){\blue{(x+2)}} \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}={\blue{(x+2)}}[4+(x+2)] \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}=(x+2)(4+x+2) \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}=(x+2)(x+6) \\\\\Longrightarrow\boxed{4(x+2)+(x+2)^2={\red{(x+2)(x+6)}}}$

4) Soit g la fonction définie sur

par $g(x)=-3x+7.$
L'antécédent de -11 par g est la valeur de x telle que g (x ) = -11.
$g(x)=-11\Longleftrightarrow-3x+7=-11 \\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-3x=-11-7 \\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-3x=-18 \\\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-18}{-3} \\\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow \boxed{x=6}$
Par conséquent, l'antécédent de -11 par g est 6.

5) Notons p le prix initial du produit.
Nous savons que $20\ \% = \dfrac{20}{100}=0,2.$
L'énoncé se traduit alors par la relation : $p-0,2\times p=200$
$p-0,2\times p=200\Longleftrightarrow(1-0,2)\times p=200 \\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow0,8\times p=200 \\\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow p=\dfrac{200}{0,8} \\\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow \boxed{p=250}$
Par conséquent, le prix initial du produit est de 250 euros.

Tableau "énoncé-réponse" des questions 6 à 9.

$\begin{array}{|c|l|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 6)&\text{Calculer }\dfrac{10+10^3}{10}&{\red{101}}\\&&\\\hline&&\\ 7)&\text{Résoudre l'équation }x^2=25&{\red{x=-5\ \text{ou}\ x=5}}\\&&\\\hline&&\\ 8)&\text{La formule de l'IMC (indice de masse}&\\&\text{corporelle, noté }I\text{) est }I=\dfrac{m}{t^2}\text{ où }m\text{ est la masse}&\\&\text{en kilogramme et }t\text{ la taille en mètre.}&\\&\text{Exprimer }t\text{ en fonction de }m\text{ et de }I.&{\red{t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}}}\\&&\\\hline&&\\ 9)&\text{Compléter le tableau de signe de l'expression }&\\&(x-1)(x+3)&\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&{\red{-\infty}}&&{\red{-3}}&&{\red{1}}&&{\red{+\infty}} \\\hline (x-1)(x+3)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\\hline \end{array}\\&&\\\hline \end{array}$

Détails des réponses de 6 à 9

6) Première méthode :

$\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10+1000}{10}=\dfrac{1010}{10}=101\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}={\red{101}}}$

Seconde méthode (plus longue):

$\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10^1}=1+10^{3-1}=1+10^{2}=1+100=101 \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}={\red{101}}}$

$7)\ x^2=25\Longleftrightarrow x^2-25=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow x^2-5^2=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow (x+5)(x-5)=0\\\phantom{WWWW.WW}[\textit{en appliquant la formule : }a^2-b^2=(a+b)(a-b)\textit{ où }a=x\textit{ et }b=\mathit{5}] \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow x+5=0\ \ \text{ou}\ \ \ x-5=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{x=-5\ \ \text{ou}\ \ \ x=5}}}$

$8)\ I=\dfrac{m}{t^2}\Longleftrightarrow t^2\times I=m \\\\\phantom{8)\ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow t^2=\dfrac{m}{I} \\\\\phantom{8)\ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}}}}\ \ \ \ \ \ (\textit{car }t>0)$

9) Compléter le tableau de signe de l'expression (x - 1)(x + 3).

$\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow {x<1} \\ x-1=0\Longleftrightarrow {x=1} \\ x-1>0\Longleftrightarrow {x>1} \\\\x+3<0\Longleftrightarrow {x<-3} \\ x+3=0\Longleftrightarrow {x=-3} \\ x+3>0\Longleftrightarrow {x>-3} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&x-1&&-&-&-&0&+&\\x+3&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&(x-1)(x+3)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}$

Tableau "énoncé-réponse" de la question 10.

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 13 : image 11

Partie II (Calculatrice autorisée)

5 points

exercice 2

Soit f une fonction polynôme du second degré, définie sur

et représentée par la parabole $\mathscr{P}$ ci-dessous.

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 13 : image 12

1. a. L'image de 0 par f , exprimée par f (0), est l'ordonnée du point d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et l'axe des ordonnées.
Par lecture graphique, nous observons que cette ordonnée est égale à -4.
Par conséquent, l'image de 0 par f est égale à -4, soit f (0) = -4.

1. b. Les racines de la fonction f sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, nous observons que ces abscisses sont égales à -1 et 2.
Par conséquent, les racines de la fonction f sont -1 et 2.

1. c. Les solutions de l'équation f (x ) = 1 sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et la droite d'équation : y = 1.
Par lecture graphique, nous observons que la droite d'équation y = 1 coupe la parabole $\mathscr{P}$ en deux points B et C.
Par conséquent, l'équation f (x ) = 1 possède deux solutions.

2. Si une fonction polynôme du second degré f admet deux racines x ₁ et x ₂, alors l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x - x ₁)(x - x ₂) où a est un nombre réel.
Nous avons montré dans la question 1.b. que les racines de la fonction f sont -1 et 2.
Dès lors, l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x - (-1))(x - 2), soit f (x ) = a (x + 1)(x - 2)
De plus, nous avons montré dans la question 1.a. que f (0) = -4.
$\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4\Longleftrightarrow-2a=-4\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow a=\dfrac{-4}{-2}\\\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow \boxed{a=2}$
Par conséquent, f (x ) peut s'écrire f (x ) = 2(x + 1)(x - 2).

3. L'instruction balayage(0.0001) renvoie le résultat (2.1583, 2.1584).
Ce résultat signifie que la solution de l'équation f (x ) = 1 dans l'intervalle [2 ; 3] appartient plus précisément à l'intervalle [2,1583, 2,1584] dont l'amplitude est 0,0001.

5 points

exercice 3

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d'une plaque carrée de 3 mètres de côté.
A chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté x mètres, où x est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5]. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume V (x ) exprimé en m³.

E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 13 : image 13

1. a. L'aire d'un carré se calcule par la formule : côté côté.
Or la mesure du côté AD = 3 - x - x , soit 3 - 2x .
Donc l'aire du carré ABCD = (3 - 2x ) multiplie

(3 - 2x ), soit (3 - 2x )².

1. b. La cuve obtenue après découpage, pliage, soudage est un pavé droit (parallélépipède rectangle).
Le volume d'un pavé droit est donné par la formule : aire de la base hauteur du pavé.
L'aire de la base de la cuve est égale à (3 - 2x )² et la hauteur est égale à x .
Donc le volume de la cuve peut s'écrire sous la forme :

$V(x)=(3-2x)^2\times x \\\phantom{V(x)}=\left(\overset{}{3^2-2\times3\times2x+(2x)^2}\right)\times x \\\phantom{V(x)}=(9 - 12x + 4x^2)\times x \\\phantom{V(x)}=9x - 12x^2 + 4x^3 \\\\\Longrightarrow\boxed{V(x)=4x^3-12x^2+9x}$

2. a. Déterminons l'expression de V' (x ).

$V'(x)=(4x^3)'-(12x^2)'+(9x)' \\\phantom{V'(x)}=4(x^3)'-12(x^2)'+9x' \\\phantom{V'(x)}=4\times3x^2-12\times2x+9\times1 \\\phantom{V'(x)}=12x^2-24x+9 \\\\\Longrightarrow\boxed{V'(x)=12x^2-24x+9} \\\\\\V'(0,5)=12\times0,5^2-24\times0,5+9 \\\phantom{V'(0.5)}=12\times0,25-24\times0,5+9 \\\phantom{V'(0.5)}=3-12+9 \\\phantom{V'(0.5)}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{V'(0,5)=0} \\\\\\V'(1.5)=12\times1,5^2-24\times1,5+9 \\\phantom{V'(1.5)}=12\times2,25-24\times1,5+9 \\\phantom{V'(1.5)}=27-36+9 \\\phantom{V'(0.5)}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{V'(1,5)=0}$

2. b. Etudions le signe de V' (x ).
V' (x ) est un polynôme du second degré dont les racines sont 0,5 et 1,5 (voir question 2.a.).
Le signe de V' (x ) est le signe du coefficient de x ² (positif) à l'extérieur des racines et est négatif entre les racines.
D'où le tableau de signes de V' (x ) et les variations de V sur l'intervalle [0 ; 15].

$\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\V(0)=4\times0^3-12\times0^2+9\times0=0\\V(0,5)=4\times0,5^3-12\times0,5^2+9\times0,5=2 \\V(1,5)=4\times1,5^3-12\times1,5^2+9\times1,5=0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&0,5&&1,5\\&&&&& \\\hline &&&&&&V'(x)&&+&0&-&0\\&&&&&\\\hline &&&2&&&V(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}$

Par conséquent, la fonction V est croissante sur l'intervalle [0 ; 0,5]
décroissante sur l'intervalle [0,5 ; 1,5]

2. c. Les variations de la fonction V étudiées dans la question précédente nous permet de conclure que le volume de la cuve est maximal pour x = 0,5.

5 points

exercice 4

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, 35 % ont choisi l'activité kayak, 25 % l'activité escalade et les autres l'activité équitation. Les filles représentent 30 % des personnes ayant choisi l'activité kayak, 40 % de l'activité escalade et 70 % de l'activité équitation.

1. Tableau des effectifs.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité kayak : 35 % de 200, soit 0,35 multiplie

200 = 70.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité escalade : 25 % de 200, soit 0,25 multiplie

200 = 50.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité équitation : 200 - (70 + 50) = 200 - 120 = 80.
Nombre de filles ayant choisi l'activité kayak : 30 % de 70, soit 0,3 multiplie

70 = 21.
Nombre de filles ayant choisi l'activité escalade : 40 % de 50, soit 0,4 multiplie

50 = 20.
Nombre de filles ayant choisi l'activité équitation : 70 % de 80, soit 0,7 multiplie

80 = 56.
Nombre total de filles : 21 + 20 + 56 = 97.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité kayak : 70 - 21 = 49.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité escalade : 50 - 20 = 30.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité équitation : 80 - 56 = 24.
Nombre total de garçons : 49 + 30 + 24 = 103.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &&&&\\&\text{Kayak}&\text{Escalade}&\text{Equitation}&\text{Total}\\&&&&\\\hline &&&&\\\text{Filles}&\red{21} &\red{20}&\red{56}&\red{97}\\\hline &&&&\\\text{Garçons}&\red{49}&\red{30}&\red{24}&\red{103}\\\hline &&&&\\\text{Total}&\red{70}&\red{50}&\red{80}&200\\\hline\end{array}$

2. Parmi les 97 filles, 21 d'entre elles ont choisi l'activité kayak.
D'où, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l'activité kayak est de $\dfrac{21}{97}\approx0,216$ , soit environ 21,6 %.

3. a. Parmi les 200 adolescents, 24 garçons ont choisi l'activité équitation.
La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l'équitation est de $\dfrac{24}{200}=0,12.$

3. b. Parmi les 97 filles, 56 d'entre elles ont choisi l'activité équitation.
Par conséquent, sachant que la personne sélectionnée est une fille, la probabilité qu'elle ait choisi l'équitation est égale à $\dfrac{56}{97}.$

4. Une augmentation annuelle de 7 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1+\dfrac{7}{100}=1+0,07 =1,07.$
Actuellement, le nombre d'adolescents est de 236.
Après 5 années, le centre de vacances pourra accueillir 1,07⁵ 236 331 adolescents.

Publié par malou le 10-08-2020

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