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E3C - Epreuve 2 - Voie technologique

Sujet 13 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique.
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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 13

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Partie I

5 points

exercice 1 : Automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "énoncé-réponse" des questions de 1 à 5.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

\begin{array}{|c|l|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1)&\text{Dans un repère du plan, on donne  }A(2;4)\ \text{et}&\\&B(6;16).&\\&\text{Déterminer une équation de la droite }(AB).&{\red{y=3x-2}}\\&&\\\hline&&\\ 2)&\text{Soit }f\ \text{la fonction définie sur }\R\text{ par}&\\&f(x)=2x^2-x+3.\text{ On note }\mathscr{C}_f\text{ sa courbe}&\\&\text{représentative dans un repère du plan.}&\\&\text{Déterminer l'ordonnée du point de }\mathscr{C}_f\text{ ayant}&\\&\text{pour abscisse }-3&{\red{24}}\\&&\\\hline&&\\ 3)&\text{Factoriser l'expression }4(x+2)+(x+2)^2.&{\red{(x+2)(x+6)}}\\&&\\\hline&&\\ 4)&\text{Soit }g\text{ la fonction définie par }g(x)=-3x+7.&\\&\text{Déterminer l'antécédent de }-11\text{ par }g.&{\red{6}}\\&&\\\hline&&\\  5)&\text{Après une baisse de 20 } \%,\text{ un produit coûte}&\\&200\ \text{euros. Quel était son prix initial ?}&{\red{250\text{ euros.}}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des 5 premières réponses

1) Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points A(2 ; 4) et B(6 ; 16).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax  + b .

Première méthode : par le coefficient directeur.
  Calcul du coefficient directeur a . 
a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{16-4}{6-2}=\dfrac{12}{4}\Longrightarrow\boxed{a=3}
L'équation réduite de la droite (AB) est donc de la forme : y  = 3x  + b .

  Calcul de l'ordonnée à l'origine b .
La droite (AB) passe par le point A(2 ; 4).
Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x  par 2 et y  par 4.
4 = 3 multiplie 2 + b  equivaut 4 = 6 + b  equivaut b  = -2.
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB) est  \boxed{{\red{y=3x-2}}}

Deuxième méthode : par l'appartenance des points A et B à la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax  + b .
Le point A(2 ; 4) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
Le point B(6 ; 16) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 6 et y par 16.
Dès lors, 
\left\lbrace\begin{matrix}A(2\,;\,4)\in(AB)\\B(6\,;\,16)\in(AB)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}4=a\times2+b\\16=a\times6+b\end{matrix}\right. \\\\\phantom{...WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}2a+b=4\\6a+b=16\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\6a+b=16\end{matrix}\right.\\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\ \ \ \ \ \ \ \\6a+(4-2a)=16\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\4a=12\end{matrix}\right. \\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\a=3\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2\times3\\a=3\end{matrix}\right. \\\\\phantom{....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.
\\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{(AB):y=3x-2}}}

2) Soit f  la fonction définie sur R par  f(x)=2x^2-x+3.
L'ordonnée du point de  \mathscr{C}_f  ayant pour abscisse -3 est f (-3). 
f(-3)=2\times(-3)^2-(-3)+3=2\times9+3+3=18+6\Longrightarrow\boxed{f(-3)=24}
Par conséquent, l'ordonnée du point de  \mathscr{C}_f  ayant pour abscisse -3 est  24.

3)\ 4(x+2)+(x+2)^2=4{\blue{(x+2)}}+(x+2){\blue{(x+2)}} \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}={\blue{(x+2)}}[4+(x+2)] \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}=(x+2)(4+x+2) \\\phantom{3)\ 4(x+2)+(x+2)^2}=(x+2)(x+6) \\\\\Longrightarrow\boxed{4(x+2)+(x+2)^2={\red{(x+2)(x+6)}}}

4) Soit g  la fonction définie sur R par  g(x)=-3x+7.
L'antécédent de -11 par g  est la valeur de x  telle que g (x ) = -11. 
g(x)=-11\Longleftrightarrow-3x+7=-11 \\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-3x=-11-7 \\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-3x=-18 \\\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-18}{-3} \\\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow \boxed{x=6}
Par conséquent, l'antécédent de -11 par g  est 6.

5) Notons p  le prix initial du produit. 
Nous savons que  20\ \% = \dfrac{20}{100}=0,2.
L'énoncé se traduit alors par la relation :  p-0,2\times p=200  
p-0,2\times p=200\Longleftrightarrow(1-0,2)\times p=200 \\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow0,8\times p=200 \\\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow p=\dfrac{200}{0,8} \\\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow \boxed{p=250}
Par conséquent, le prix initial du produit est de  250 euros.

Tableau "énoncé-réponse" des questions 6 à 9.

\begin{array}{|c|l|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 6)&\text{Calculer  }\dfrac{10+10^3}{10}&{\red{101}}\\&&\\\hline&&\\ 7)&\text{Résoudre l'équation }x^2=25&{\red{x=-5\ \text{ou}\ x=5}}\\&&\\\hline&&\\ 8)&\text{La formule de l'IMC (indice de masse}&\\&\text{corporelle, noté }I\text{) est }I=\dfrac{m}{t^2}\text{ où }m\text{ est la masse}&\\&\text{en kilogramme et }t\text{ la taille en mètre.}&\\&\text{Exprimer }t\text{ en fonction de }m\text{ et de }I.&{\red{t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}}}\\&&\\\hline&&\\ 9)&\text{Compléter le tableau de signe de l'expression }&\\&(x-1)(x+3)&\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline x&{\red{-\infty}}&&{\red{-3}}&&{\red{1}}&&{\red{+\infty}} \\\hline (x-1)(x+3)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\\hline \end{array}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des réponses de 6 à 9

6) Première méthode :

\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10+1000}{10}=\dfrac{1010}{10}=101\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}={\red{101}}}

Seconde méthode (plus longue):

\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10^1}=1+10^{3-1}=1+10^{2}=1+100=101 \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}={\red{101}}}

7)\ x^2=25\Longleftrightarrow x^2-25=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow x^2-5^2=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow (x+5)(x-5)=0\\\phantom{WWWW.WW}[\textit{en appliquant la formule : }a^2-b^2=(a+b)(a-b)\textit{ où }a=x\textit{ et }b=\mathit{5}] \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow  x+5=0\ \ \text{ou}\ \ \ x-5=0 \\\\\phantom{7)\ x^2=25}\Longleftrightarrow  \boxed{{\red{x=-5\ \ \text{ou}\ \ \ x=5}}}

8)\ I=\dfrac{m}{t^2}\Longleftrightarrow t^2\times I=m \\\\\phantom{8)\ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow t^2=\dfrac{m}{I} \\\\\phantom{8)\ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}}}}\ \ \ \ \ \ (\textit{car }t>0)

9) Compléter le tableau de signe de l'expression (x  - 1)(x  + 3).

\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow {x<1} \\ x-1=0\Longleftrightarrow {x=1} \\ x-1>0\Longleftrightarrow {x>1} \\\\x+3<0\Longleftrightarrow {x<-3} \\ x+3=0\Longleftrightarrow {x=-3} \\ x+3>0\Longleftrightarrow {x>-3} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&1&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&&x-1&&-&-&-&0&+&\\x+3&&-&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&(x-1)(x+3)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

Tableau "énoncé-réponse" de la question 10.

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Partie II (Calculatrice autorisée)

5 points

exercice 2

Soit f  une fonction polynôme du second degré, définie sur R et représentée par la parabole  \mathscr{P}  ci-dessous.

                  
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1. a.  L'image de 0 par f , exprimée par f (0), est l'ordonnée du point d'intersection entre la parabole  \mathscr{P}  et l'axe des ordonnées.
Par lecture graphique, nous observons que cette ordonnée est égale à -4.
Par conséquent, l'image de 0 par f  est égale à -4, soit f (0) = -4.

1. b.  Les racines de la fonction f  sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole  \mathscr{P}  et l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, nous observons que ces abscisses sont égales à -1 et 2.
Par conséquent, les racines de la fonction f  sont -1 et 2.

1. c.  Les solutions de l'équation f (x ) = 1 sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole  \mathscr{P}  et la droite d'équation : y  = 1.
Par lecture graphique, nous observons que la droite d'équation y  = 1 coupe la parabole  \mathscr{P}  en deux points B et C.
Par conséquent, l'équation f (x ) = 1 possède deux solutions.

2.  Si une fonction polynôme du second degré f  admet deux racines x 1 et x 2, alors l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x  - x 1)(x  - x 2)a est un nombre réel.
Nous avons montré dans la question 1.b. que les racines de la fonction f  sont -1 et 2.
Dès lors, l'expression f (x ) est de la forme : f (x ) = a (x  - (-1))(x  - 2), soit f (x ) = a (x  + 1)(x  - 2)
De plus, nous avons montré dans la question 1.a. que f (0) = -4. 
\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4\Longleftrightarrow-2a=-4\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow a=\dfrac{-4}{-2}\\\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow \boxed{a=2}
Par conséquent, f (x ) peut s'écrire f (x ) = 2(x  + 1)(x  - 2).

3.  L'instruction balayage(0.0001) renvoie le résultat (2.1583, 2.1584).
Ce résultat signifie que la solution de l'équation f (x ) = 1 dans l'intervalle [2 ; 3] appartient plus précisément à l'intervalle [2,1583, 2,1584] dont l'amplitude est 0,0001.

5 points

exercice 3

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d'une plaque carrée de 3 mètres de côté.
A chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté x  mètres, où x  est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 1,5]. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume V (x ) exprimé en m3.

                                    
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1. a.  L'aire d'un carré se calcule par la formule : côté multiplie côté.
Or la mesure du côté AD = 3 - x  - x , soit 3 - 2x .
Donc l'aire du carré ABCD = (3 - 2x ) multiplie (3 - 2x ), soit (3 - 2x )2.

1. b.  La cuve obtenue après découpage, pliage, soudage est un pavé droit (parallélépipède rectangle).
Le volume d'un pavé droit est donné par la formule : aire de la base multiplie hauteur du pavé.
L'aire de la base de la cuve est égale à (3 - 2x )2 et la hauteur est égale à x .
Donc le volume de la cuve peut s'écrire sous la forme :

V(x)=(3-2x)^2\times x \\\phantom{V(x)}=\left(\overset{}{3^2-2\times3\times2x+(2x)^2}\right)\times x \\\phantom{V(x)}=(9 - 12x + 4x^2)\times x \\\phantom{V(x)}=9x - 12x^2 + 4x^3 \\\\\Longrightarrow\boxed{V(x)=4x^3-12x^2+9x}

2. a.  Déterminons l'expression de V' (x ).

V'(x)=(4x^3)'-(12x^2)'+(9x)' \\\phantom{V'(x)}=4(x^3)'-12(x^2)'+9x' \\\phantom{V'(x)}=4\times3x^2-12\times2x+9\times1 \\\phantom{V'(x)}=12x^2-24x+9 \\\\\Longrightarrow\boxed{V'(x)=12x^2-24x+9} \\\\\\V'(0,5)=12\times0,5^2-24\times0,5+9 \\\phantom{V'(0.5)}=12\times0,25-24\times0,5+9 \\\phantom{V'(0.5)}=3-12+9 \\\phantom{V'(0.5)}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{V'(0,5)=0} \\\\\\V'(1.5)=12\times1,5^2-24\times1,5+9 \\\phantom{V'(1.5)}=12\times2,25-24\times1,5+9 \\\phantom{V'(1.5)}=27-36+9 \\\phantom{V'(0.5)}=0\\\\\Longrightarrow\boxed{V'(1,5)=0}

2. b.  Etudions le signe de V' (x ).
V' (x ) est un polynôme du second degré dont les racines sont 0,5 et 1,5 (voir question 2.a.).
Le signe de V' (x ) est le signe du coefficient de x 2 (positif) à l'extérieur des racines et est négatif entre les racines.
D'où le tableau de signes de V' (x ) et les variations de V sur l'intervalle [0 ; 15].

\underline{\text{Calculs préliminaires }}\\\\V(0)=4\times0^3-12\times0^2+9\times0=0\\V(0,5)=4\times0,5^3-12\times0,5^2+9\times0,5=2 \\V(1,5)=4\times1,5^3-12\times1,5^2+9\times1,5=0\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline&&&&&\\ x&0&&0,5&&1,5\\&&&&& \\\hline &&&&&&V'(x)&&+&0&-&0\\&&&&&\\\hline &&&2&&&V(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&0&&&&0\\\hline \end{array}

Par conséquent, la fonction V  est croissante sur l'intervalle [0 ; 0,5]
                                                                           décroissante sur l'intervalle [0,5 ; 1,5]

2. c.  Les variations de la fonction V étudiées dans la question précédente nous permet de conclure que le volume de la cuve est maximal pour x  = 0,5.

5 points

exercice 4

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, 35 % ont choisi l'activité kayak, 25 % l'activité escalade et les autres l'activité équitation. Les filles représentent 30 % des personnes ayant choisi l'activité kayak, 40 % de l'activité escalade et 70 % de l'activité équitation.

1.  Tableau des effectifs. 
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité kayak : 35 % de 200, soit 0,35 multiplie 200 = 70.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité escalade : 25 % de 200, soit 0,25 multiplie 200 = 50.
Nombre d'adolescents ayant choisi l'activité équitation : 200 - (70 + 50) = 200 - 120 = 80.
Nombre de filles ayant choisi l'activité kayak : 30 % de 70, soit 0,3 multiplie 70 = 21.
Nombre de filles ayant choisi l'activité escalade : 40 % de 50, soit 0,4 multiplie 50 = 20.
Nombre de filles ayant choisi l'activité équitation : 70 % de 80, soit 0,7 multiplie 80 = 56.
Nombre total de filles : 21 + 20 + 56 = 97.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité kayak : 70 - 21 = 49.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité escalade : 50 - 20 = 30.
Nombre de garçons ayant choisi l'activité équitation : 80 - 56 = 24.
Nombre total de garçons : 49 + 30 + 24 = 103.

                                    \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &&&&\\&\text{Kayak}&\text{Escalade}&\text{Equitation}&\text{Total}\\&&&&\\\hline &&&&\\\text{Filles}&\red{21} &\red{20}&\red{56}&\red{97}\\\hline &&&&\\\text{Garçons}&\red{49}&\red{30}&\red{24}&\red{103}\\\hline &&&&\\\text{Total}&\red{70}&\red{50}&\red{80}&200\\\hline\end{array}

2.  Parmi les 97 filles, 21 d'entre elles ont choisi l'activité kayak.
D'où, parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi l'activité kayak est de  \dfrac{21}{97}\approx0,216 , soit environ 21,6 %.

3. a.  Parmi les 200 adolescents, 24 garçons ont choisi l'activité équitation.
La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon qui a choisi l'équitation est de  \dfrac{24}{200}=0,12.

3. b.  Parmi les 97 filles, 56 d'entre elles ont choisi l'activité équitation.
Par conséquent, sachant que la personne sélectionnée est une fille, la probabilité qu'elle ait choisi l'équitation est égale à  \dfrac{56}{97}.

4.  Une augmentation annuelle de 7 % correspond à un coefficient multiplicateur de  1+\dfrac{7}{100}=1+0,07 =1,07.
Actuellement, le nombre d'adolescents est de 236.
Après 5 années, le centre de vacances pourra accueillir 1,075 multiplie 236 environegal 331 adolescents.
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