Fiche de mathématiques
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Ce sujet peut être un exemple d'une épreuve de Mathématiques en fin de 1re

Ne pas tenir compte de l'ancien barème ni des mentions concernant la calculatrice.

Toute l'épreuve se déroulera sans calculatrice.

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique.
Ces sujets dans leur totalité sont consultables dans ce document



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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 75

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Partie I

5 points

exercice 1 : Automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "Questions-Réponses" des questions de 1 à 7.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

\begin{array}{|cc|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Questions}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponses}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1.&\text{Écrire sous la forme d'une fraction irréductible}&\\&\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}&{\red{\dfrac{3}{20}}}&&&\\\hline&&\\ 2.&\text{Résoudre dans }\R\ \text{l'équation :  }3x+5=x-1&{\red{x=-3}}\\&&\\\hline&&\\ 3.&\text{Calculer 80} \%\text{ de }70.&{\red{56}}\\&&\\\hline&&\\ 4.&\text{Diminuer une quantité de 12} \%\text{ revient à multiplier }&\\&\text{cette quantité par un nombre.  Quel est ce nombre ?}&{\red{0,88}}\\&&\\\hline&&\\  5.&\text{Si un prix augmente  de 20} \%\text{ chaque année, de quel}&\\&\text{pourcentage augmente-t-il en deux ans ?}&{\red{44\%}}\\&&\\\hline&&\\  6.&\text{Factoriser : }(x+4)(x-2)-2(x-2)&{\red{(x-2)(x+2)}}\\&&\\\hline&&\\  7.&\text{Soit }g\text{ la fonction définie par : }g(x)=x^2-16.&\\&\text{Déterminer les antécédents de 0 par }g.&{\red{-4}\text{ et }4.}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des 7 premières réponses

1. Écrire sous la forme d'une fraction irréductible  \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}. 
     \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\times5}{4\times5}-\dfrac{3\times4}{5\times4}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{12}{20}=\boxed{{\red{\dfrac{3}{20}}}}

2. Résoudre dans R l'équation : 3x  + 5 = x  - 1.  
     3x+5=x-1\Longleftrightarrow3x-x=-1-5 \\\phantom{3x+5=x-1}\Longleftrightarrow2x=-6 \\\phantom{\overset{W}{3x+5=x-1}}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-6}{2} \\\phantom{\overset{W}{3x+5=x-1}}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{x=-3}}}

3. Calculer 80 % de 70.  
     80\%\text{ de }70=\dfrac{80}{100}\times70=0,8\times70=\boxed{{\red{56}}}

4. Diminuer une quantité de 12% revient à multiplier cette quantité par  1-\dfrac{12}{100} , soit par 1 - 0,12, soit par 0,88.

5. Une augmentation de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,2 = 1,2.
     Si p  est le prix initial, alors le prix après un an est égal à 1,2 multiplie p .
     Après deux ans, le prix de l'article est égal à 1,2 multiplie (1,2 multiplie p ), soit 1,44 multiplie p .
     Or le coefficient multiplicateur 1,44 est égal à 1 + 0,44, ce qui correspond à une augmentation globale de 44%.

6. Factoriser (x  + 4)(x  - 2) -2(x  - 2).  
     (x+4){\blue{(x-2)}}-2{\blue{(x-2)}}={\blue{(x-2)}}[(x+4)-2] \\\phantom{wwwwwwwwww..wwww}=(x-2)(x+4-2) \\\phantom{wwwwwwwwww..wwww}=(x-2)(x+2) \\\\\Longrightarrow\boxed{(x+4)(x-2)-2(x-2)={\red{(x-2)(x+2)}}}

7. Déterminer les antécédents de 0 par g  revient à déterminer les valeurs de x  telles que g (x ) = 0,

soit à résoudre l'équation g (x ) = 0. 
g(x)=0\Longleftrightarrow x^2-16=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow x^2-4^2=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow (x-4)(x+4)=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow x-4=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x+4=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow \boxed{x=4\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=-4}
Par conséquent, les antécédents de 0 par g  sont  -4  et  4.

Tableau "Questions-Réponses" des questions de 8 à 10.
Les détails des réponses sont donnés à la suite du tableau.

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Détails des 3 dernières réponses

8.  Nous pouvons construire la droite à partir des coordonnées connues de deux de ses points.
L'équation de la droite est : y  = -2x  + 3.
Dans cette équation, remplaçons x  par deux valeurs et déterminons les valeurs correspondantes pour y .  
x=0\Longrightarrow y=-2\times0+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=3
D'où le point A de coordonnées (0 ; 3) appartient à la droite.

x=2\Longrightarrow y=-2\times2+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=-4+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=-1
D'où le point B de coordonnées (2 ; -1) appartient à la droite.
La droite demandée est la droite (AB).

9.  Avec la précision permise par le graphique, nous observons que :

la droite (d)  passe par les points A(-2 ; 2) et B(4 ; 6).
Le coefficient directeur de la droite (d)  se calcule par  \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} .

\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{6-2}{4-(-2)}=\dfrac{4}{4+2}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}
Par conséquent, le coefficient directeur de la droite (d)  est égal à  \boxed{{\red{\dfrac{2}{3}}}}.

10.  Écrire sous la forme 10n, avec n  entier naturel.   
      \dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}=\dfrac{10^{2\times5}}{10^4}\ \ \ \ \ \ \ [\text{car }{\blue{\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}}}] \\\\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=\dfrac{10^{10}}{10^4} \\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=10^{10-4}\ \ \ \ \ \ \ [\text{car }{\blue{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}] \\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=10^{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}={\red{10^{6}}}}

Partie II (Calculatrice autorisée)

5 points

exercice 2

1.  Selon l'INSEE, les commerces ont trié 75% de leurs déchets en 2016.
En 2016, le directeur d'un centre commercial constate que son établissement a produit 5 230 kg de déchets

et que 3 107 kg ont été recyclés. 
Selon l'INSEE, ce centre commercial aurait dû trier  75\%\ \text{de}\ 5\,230=\dfrac{75}{100}\times5\,230=3\,922,5\ \text{kg.}
Donc l'affirmation de l'INSEE n'est pas vérifiée pour ce centre commercial

puisque ce centre n'a trié que 3 107 kg de déchets au lieu de 3 922,5 kg.

2. a.  La quantité de déchets est constamment égale à 5 230 kg mais chaque année,

l'établissement commercial recyclera 5% de plus que l'année précédente.
Nous savons que  5\%=\dfrac{5}{100}=0,05 .
En 2016, la quantité (en kg) de déchets recyclés est d0 = 3 107.
En 2017, la quantité (en kg) de déchets recyclés est d1.

d_1=d_0+0,05\times d_0 \\\phantom{d_1}=(1+0,05)\times d_0 \\\phantom{d_1}=1,05\times d_0 \\\phantom{d_1}=1,05\times 3\,107 \\\phantom{d_1}=3\,262,35 \\\\\Longrightarrow\boxed{d_1=3\,262,35}

2. b.  Pour tout entier naturel n supegal 1, la quantité (en kg) dn +1

de déchets recyclés durant l'année [2016 + (n +1)] est égale la quantité (en kg) dn

de déchets recyclés durant l'année [2016 + n ] augmentée de 5 %.
Or une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
Par conséquent, pour tout entier naturel n supegal 1, \overset{.}{\boxed{d_{n+1}=1,05\times d_n}}
Nous en déduisons que la suite (dn ) est une suite géométrique

de raison q  = 1,05 dont le premier terme est d1=3 107.


3. a)  L'entreprise produit chaque année 5 230 kg de déchets.
Le directeur souhaite recycler au moins 75 % de ces déchets.
75\%\ \text{de}\ 5\,230=\dfrac{75}{100}\times5\,230=3\,922,5.
Le directeur souhaite déterminer l'année où cet objectif sera atteint,

c'est-à-dire l'année où la quantité (en kg) dn de déchets

recyclés sera supérieure à 3 922,5.
Nous sommes donc amenés à déterminer le plus petit entier n  tel que

dn supegal 3 922,5.

3. b)  Soit le programme en Python complété ci-dessous.

           \begin{array}{|c|}\hline1.\  \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{seuil\_atteint()}:\\2.\ \ \ \ \ \ \text{n}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\3.\ \ \ \ \ \text{d}=3107\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ 4.\ \ \ \ \ \text{while }{\red{\text{d}<3922,5}}:\\5.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{n =} \text{\red{ n + 1}}\ \  \\\ 6.\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \  \text{d = } {\red{1,05} *\text{d}}\\7.\ \ \ \ \ \text{return n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

5 points

exercice 3

1.  2% de la production de l'atelier A est défectueuse

implique 2\%\ \text{de}\ 1400=\dfrac{2}{100}\times1400=2\times14=28.
3% de la production de l'atelier B est défectueuse

implique 3\%\ \text{de}\ 1100=\dfrac{3}{100}\times1100=3\times11=33.
Les autres valeurs du tableau s'obtiennent par des additions ou des soustractions.
 28 + 33 = 61.
 1400 - 28 = 1372.
 1100 - 33 = 1067.
 1372 + 1067 = 2439.

D'où le tableau d'effectifs ci-dessous.

                      \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&&&\\&\text{Pièces défectueuses}&\text{Pièces non défectueuses}&\text{Total}\\&&&\\\hline&&&& \text{Atelier A}&28&1372&1400&&&& \\\hline &&&&\text{Atelier B}&33&1067&1100\\&&&\\\hline &&&&\text{Total}&61&2439&2500\\&&&\\\hline \end{array}

2.  61 pièces parmi les 2500 sont défectueuses.
La fréquence des pièces défectueuses est égale à  \dfrac{61}{2500}=0,0244=2,44\%.

3.  Première méthode
Parmi les 61 pièces défectueuses, 28 d'entre elles proviennent de l'atelier A.
D'où, sachant que le pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de l'atelier A

est égale à  \dfrac{28}{61} , soit environ 0,46 (arrondi a 10-2).


Deuxième méthode
Nous devons calculer PD (A ).

P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}P(A\cap D)=\dfrac{28}{2500}\\\\P(D)=\dfrac{61}{2500}\end{matrix}\right.\ \  \Longrightarrow\ \  P_D(A)=\dfrac{\dfrac{28}{2500}}{\dfrac{61}{2500}}=\dfrac{28}{2500}\times\dfrac{2500}{61}=\dfrac{28}{61} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_D(A)=\dfrac{28}{61}\approx0,46}
Par conséquent, sachant que le pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne

de l'atelier A est égale à  \dfrac{28}{61} , soit environ 0,46 (arrondi a 10-2).


4. a)  La somme des pourcentages des trois secteurs du disque est égale à 100 %.
Le pourcentage correspondant au défaut "poids" est égal à 100 - (35 + 39) = 100 - 74 = 26%.
D'où, la proportion de pièces défectueuses produites par l'entreprise

qui ont un défaut de poids est égale à 26 %.


4. b)  Parmi les pièces produites par l'entreprise, 35% d'entre elles

ont une taille non conforme (voir diagramme circulaire).
Parmi ces 35% de pièces ayant une taille non conforme, 48% ont une taille trop petite

(voir diagramme en bâtonnets).
38% de 45% = 0,38 multiplie 0,45 = 0,171 = 17,1%.
Par conséquent, 17,1% des pièces défectueuses sont une taille trop petite.

5 points

exercice 4

La courbe  \mathscr{C}  ci-dessous passe par le point A(1 ; -4).
La droite T est tangente à la courbe  \mathscr{C}  au point A et passe par le point B(0 ; 2).

                      
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1.  L'équation réduite de la droite T est de la forme :  y=ax+b. 
La droite T passe par le point B(0 ; 2).
Donc l'ordonnée à l'origine b  est égale à 2.
D'où, l'équation réduite de la droite T est de la forme :  y=ax+2. 
La droite T passe par le point A(1 ; -4).
Dans l'équation de T, nous pouvons alors remplacer x  par 1 et y  par -4.
D'où, -4 = a multiplie 1 + 2 equivaut -4 = a + 2 equivaut a = -6.
Par conséquent, l'équation réduite de la droite T est :  \boxed{y=-6x+2}

2.  Par une lecture graphique, nous pouvons observer sur l'intervalle [-2,5 ; 3] que

la fonction f  est :
                        croissante sur l'intervalle [-2,5 ; -1]
                        décroissante sur l'intervalle [-1 ; 2]
                        croissante sur l'intervalle [2 ; 3] 
Le seul intervalle inclus dans [-2,5 ; 3] sur lequel la fonction f  est décroissante est l'intervalle [-1 ; 2].
Sur cet intervalle, la dérivée f' (x ) est alors négative.
Par conséquent, dans l'intervalle [-2,5 ; 3], l'ensemble des solutions de

l'inéquation f' (x ) infegal 0 est [-1 ; 2].


3.  Dans cette question, nous admettons que

la fonction f  est définie sur R par :  f(x)=x^3-1,5x^2-6x+2,5.

3. a)  Déterminons l'expression factorisée de la dérivée f' (x ).

\text{D'une part, }f'(x)=(x^3-1,5x^2-6x+2,5)' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=(x^3)'-1,5(x^2)'-6x'+2,5' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=3x^2-1,5\times2x-6\times1+0 \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=3x^2-3x-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3x^2-3x-6}

\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)=3(x^2-2x+x-2) \\\phantom{\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)}=3(x^2-x-2) \\\phantom{\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)}=3x^2-3x-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)}

Par conséquent,  \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=3x^2-3x-6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{f'(x)=3(x+1)(x-2)}}}

3. b)  Établissons le tableau de signe de f' (x ) sur R.

\begin{matrix}x+1<0\Longleftrightarrow {x<-1} \\ x+1=0\Longleftrightarrow {x=-1} \\ x+1>0\Longleftrightarrow {x>-1} \\\\x-2<0\Longleftrightarrow {x<2} \\ x-2=0\Longleftrightarrow {x=2} \\ x-2>0\Longleftrightarrow {x>2} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&2&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\3&&+&+&+&+&+&&x+1&&-&0&+&+&+&\\x-2&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&f'(x)=3(x+1)(x-2)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

3. c)  Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction f .

            \underline{\text{Calculs préliminaires}} \\\\f(-1)=(-1)^3-1,5\times(-1)^2-6\times(-1)+2,5=-1-1,5+6+2,5=6 \\f(2)=2^3-1,5\times2^2-6\times2+2,5=8-6-12+2,5=-7,5 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&2&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&{\red{6}}&&&&&f(x)&&{\red{\nearrow}}&&{\red{\searrow}}&&{\red{\nearrow}}&\\&&&&&{\red{-7,5}}&&\\\hline \end{array}
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