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E3C - Epreuve 2 - Voie technologique

Sujet 75 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique.
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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 75

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Partie I

5 points

exercice 1 : Automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "Questions-Réponses" des questions de 1 à 7.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

\begin{array}{|cc|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Questions}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponses}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1.&\text{Écrire sous la forme d'une fraction irréductible}&\\&\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}&{\red{\dfrac{3}{20}}}&&&\\\hline&&\\ 2.&\text{Résoudre dans }\R\ \text{l'équation :  }3x+5=x-1&{\red{x=-3}}\\&&\\\hline&&\\ 3.&\text{Calculer 80} \%\text{ de }70.&{\red{56}}\\&&\\\hline&&\\ 4.&\text{Diminuer une quantité de 12} \%\text{ revient à multiplier }&\\&\text{cette quantité par un nombre.  Quel est ce nombre ?}&{\red{0,88}}\\&&\\\hline&&\\  5.&\text{Si un prix augmente  de 20} \%\text{ chaque année, de quel}&\\&\text{pourcentage augmente-t-il en deux ans ?}&{\red{44\%}}\\&&\\\hline&&\\  6.&\text{Factoriser : }(x+4)(x-2)-2(x-2)&{\red{(x-2)(x+2)}}\\&&\\\hline&&\\  7.&\text{Soit }g\text{ la fonction définie par : }g(x)=x^2-16.&\\&\text{Déterminer les antécédents de 0 par }g.&{\red{-4}\text{ et }4.}\\&&\\\hline \end{array}

Détails des 7 premières réponses

1. Écrire sous la forme d'une fraction irréductible  \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}. 
     \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{5}=\dfrac{3\times5}{4\times5}-\dfrac{3\times4}{5\times4}=\dfrac{15}{20}-\dfrac{12}{20}=\boxed{{\red{\dfrac{3}{20}}}}

2. Résoudre dans R l'équation : 3x  + 5 = x  - 1.  
     3x+5=x-1\Longleftrightarrow3x-x=-1-5 \\\phantom{3x+5=x-1}\Longleftrightarrow2x=-6 \\\phantom{\overset{W}{3x+5=x-1}}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-6}{2} \\\phantom{\overset{W}{3x+5=x-1}}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{x=-3}}}

3. Calculer 80 % de 70.  
     80\%\text{ de }70=\dfrac{80}{100}\times70=0,8\times70=\boxed{{\red{56}}}

4. Diminuer une quantité de 12% revient à multiplier cette quantité par  1-\dfrac{12}{100} , soit par 1 - 0,12, soit par 0,88.

5. Une augmentation de 20% correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,2 = 1,2.
     Si p  est le prix initial, alors le prix après un an est égal à 1,2 multiplie p .
     Après deux ans, le prix de l'article est égal à 1,2 multiplie (1,2 multiplie p ), soit 1,44 multiplie p .
     Or le coefficient multiplicateur 1,44 est égal à 1 + 0,44, ce qui correspond à une augmentation globale de 44%.

6. Factoriser (x  + 4)(x  - 2) -2(x  - 2).  
     (x+4){\blue{(x-2)}}-2{\blue{(x-2)}}={\blue{(x-2)}}[(x+4)-2] \\\phantom{wwwwwwwwww..wwww}=(x-2)(x+4-2) \\\phantom{wwwwwwwwww..wwww}=(x-2)(x+2) \\\\\Longrightarrow\boxed{(x+4)(x-2)-2(x-2)={\red{(x-2)(x+2)}}}

7. Déterminer les antécédents de 0 par g  revient à déterminer les valeurs de x  telles que g (x ) = 0, soit à résoudre l'équation g (x ) = 0. 
g(x)=0\Longleftrightarrow x^2-16=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow x^2-4^2=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow (x-4)(x+4)=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow x-4=0\ \ \ \text{ou}\ \ \ x+4=0 \\\phantom{g(x)=0}\Longleftrightarrow \boxed{x=4\ \ \ \text{ou}\ \ \ x=-4}
Par conséquent, les antécédents de 0 par g  sont  -4  et  4.

Tableau "Questions-Réponses" des questions de 8 à 10.
Les détails des réponses sont donnés à la suite du tableau.

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Détails des 3 dernières réponses

8.  Nous pouvons construire la droite à partir des coordonnées connues de deux de ses points.
L'équation de la droite est : y  = -2x  + 3.
Dans cette équation, remplaçons x  par deux valeurs et déterminons les valeurs correspondantes pour y .  
x=0\Longrightarrow y=-2\times0+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=3
D'où le point A de coordonnées (0 ; 3) appartient à la droite.

x=2\Longrightarrow y=-2\times2+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=-4+3 \\\phantom{x=0\Longrightarrow}\  y=-1
D'où le point B de coordonnées (2 ; -1) appartient à la droite.
La droite demandée est la droite (AB).

9.  Avec la précision permise par le graphique, nous observons que la droite (d)  passe par les points A(-2 ; 2) et B(4 ; 6).
Le coefficient directeur de la droite (d)  se calcule par  \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} .

\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{6-2}{4-(-2)}=\dfrac{4}{4+2}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}
Par conséquent, le coefficient directeur de la droite (d)  est égal à  \boxed{{\red{\dfrac{2}{3}}}}.

10.  Écrire sous la forme 10n, avec n  entier naturel.   
      \dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}=\dfrac{10^{2\times5}}{10^4}\ \ \ \ \ \ \ [\text{car }{\blue{\left(a^m\right)^n=a^{m\times n}}}] \\\\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=\dfrac{10^{10}}{10^4} \\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=10^{10-4}\ \ \ \ \ \ \ [\text{car }{\blue{\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}}}] \\\phantom{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}}=10^{6} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{\left(10^2\right)^5}{10^4}={\red{10^{6}}}}

Partie II (Calculatrice autorisée)

5 points

exercice 2

1.  Selon l'INSEE, les commerces ont trié 75% de leurs déchets en 2016.
En 2016, le directeur d'un centre commercial constate que son établissement a produit 5 230 kg de déchets et que 3 107 kg ont été recyclés. 
Selon l'INSEE, ce centre commercial aurait dû trier  75\%\ \text{de}\ 5\,230=\dfrac{75}{100}\times5\,230=3\,922,5\ \text{kg.}
Donc l'affirmation de l'INSEE n'est pas vérifiée pour ce centre commercial puisque ce centre n'a trié que 3 107 kg de déchets au lieu de 3 922,5 kg.

2. a.  La quantité de déchets est constamment égale à 5 230 kg mais chaque année, l'établissement commercial recyclera 5% de plus que l'année précédente.
Nous savons que  5\%=\dfrac{5}{100}=0,05 .
En 2016, la quantité (en kg) de déchets recyclés est d0 = 3 107.
En 2017, la quantité (en kg) de déchets recyclés est d1.

d_1=d_0+0,05\times d_0 \\\phantom{d_1}=(1+0,05)\times d_0 \\\phantom{d_1}=1,05\times d_0 \\\phantom{d_1}=1,05\times 3\,107 \\\phantom{d_1}=3\,262,35 \\\\\Longrightarrow\boxed{d_1=3\,262,35}

2. b.  Pour tout entier naturel n supegal 1, la quantité (en kg) dn +1 de déchets recyclés durant l'année [2016 + (n +1)] est égale la quantité (en kg) dn de déchets recyclés durant l'année [2016 + n ] augmentée de 5 %.
Or une augmentation de 5 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,05 = 1,05.
Par conséquent, pour tout entier naturel n supegal 1, \overset{.}{\boxed{d_{n+1}=1,05\times d_n}}
Nous en déduisons que la suite (dn ) est une suite géométrique de raison q  = 1,05 dont le premier terme est d1=3 107.

3. a)  L'entreprise produit chaque année 5 230 kg de déchets.
Le directeur souhaite recycler au moins 75 % de ces déchets.
75\%\ \text{de}\ 5\,230=\dfrac{75}{100}\times5\,230=3\,922,5.
Le directeur souhaite déterminer l'année où cet objectif sera atteint, c'est-à-dire l'année où la quantité (en kg) dn de déchets recyclés sera supérieure à 3 922,5.
Nous sommes donc amenés à déterminer le plus petit entier n  tel que dn supegal 3 922,5.

3. b)  Soit le programme en Python complété ci-dessous.

           \begin{array}{|c|}\hline1.\  \text{d}\text{e}\text{f}\ \text{seuil\_atteint()}:\\2.\ \ \ \ \ \ \text{n}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\3.\ \ \ \ \ \text{d}=3107\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \ \ 4.\ \ \ \ \ \text{while }{\red{\text{d}<3922,5}}:\\5.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{n =} \text{\red{ n + 1}}\ \  \\\ 6.\ \ \ \ \  \ \ \ \ \ \  \text{d = } {\red{1,05} *\text{d}}\\7.\ \ \ \ \ \text{return n}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\hline\end{array}

5 points

exercice 3

1.  2% de la production de l'atelier A est défectueuse implique 2\%\ \text{de}\ 1400=\dfrac{2}{100}\times1400=2\times14=28.
3% de la production de l'atelier B est défectueuse implique 3\%\ \text{de}\ 1100=\dfrac{3}{100}\times1100=3\times11=33.
Les autres valeurs du tableau s'obtiennent par des additions ou des soustractions.
 28 + 33 = 61.
 1400 - 28 = 1372.
 1100 - 33 = 1067.
 1372 + 1067 = 2439.

D'où le tableau d'effectifs ci-dessous.

                      \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&&&\\&\text{Pièces défectueuses}&\text{Pièces non défectueuses}&\text{Total}\\&&&\\\hline&&&& \text{Atelier A}&28&1372&1400&&&& \\\hline &&&&\text{Atelier B}&33&1067&1100\\&&&\\\hline &&&&\text{Total}&61&2439&2500\\&&&\\\hline \end{array}

2.  61 pièces parmi les 2500 sont défectueuses.
La fréquence des pièces défectueuses est égale à  \dfrac{61}{2500}=0,0244=2,44\%.

3.  Première méthode
Parmi les 61 pièces défectueuses, 28 d'entre elles proviennent de l'atelier A.
D'où, sachant que le pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de l'atelier A est égale à  \dfrac{28}{61} , soit environ 0,46 (arrondi a 10-2).

Deuxième méthode
Nous devons calculer PD (A ).

P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}P(A\cap D)=\dfrac{28}{2500}\\\\P(D)=\dfrac{61}{2500}\end{matrix}\right.\ \  \Longrightarrow\ \  P_D(A)=\dfrac{\dfrac{28}{2500}}{\dfrac{61}{2500}}=\dfrac{28}{2500}\times\dfrac{2500}{61}=\dfrac{28}{61} \\\\\Longrightarrow\boxed{P_D(A)=\dfrac{28}{61}\approx0,46}
Par conséquent, sachant que le pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle provienne de l'atelier A est égale à  \dfrac{28}{61} , soit environ 0,46 (arrondi a 10-2).

4. a)  La somme des pourcentages des trois secteurs du disque est égale à 100 %.
Le pourcentage correspondant au défaut "poids" est égal à 100 - (35 + 39) = 100 - 74 = 26%.
D'où, la proportion de pièces défectueuses produites par l'entreprise qui ont un défaut de poids est égale à 26 %.

4. b)  Parmi les pièces produites par l'entreprise, 35% d'entre elles ont une taille non conforme (voir diagramme circulaire).
Parmi ces 35% de pièces ayant une taille non conforme, 48% ont une taille trop petite (voir diagramme en bâtonnets).
38% de 45% = 0,38 multiplie 0,45 = 0,171 = 17,1%.
Par conséquent, 17,1% des pièces défectueuses sont une taille trop petite.

5 points

exercice 4

La courbe  \mathscr{C}  ci-dessous passe par le point A(1 ; -4).
La droite T est tangente à la courbe  \mathscr{C}  au point A et passe par le point B(0 ; 2).

                      
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1.  L'équation réduite de la droite T est de la forme :  y=ax+b. 
La droite T passe par le point B(0 ; 2).
Donc l'ordonnée à l'origine b  est égale à 2.
D'où, l'équation réduite de la droite T est de la forme :  y=ax+2. 
La droite T passe par le point A(1 ; -4).
Dans l'équation de T, nous pouvons alors remplacer x  par 1 et y  par -4.
D'où, -4 = a multiplie 1 + 2 equivaut -4 = a + 2 equivaut a = -6.
Par conséquent, l'équation réduite de la droite T est :  \boxed{y=-6x+2}

2.  Par une lecture graphique, nous pouvons observer sur l'intervalle [-2,5 ; 3] que la fonction f  est :
                        croissante sur l'intervalle [-2,5 ; -1]
                        décroissante sur l'intervalle [-1 ; 2]
                        croissante sur l'intervalle [2 ; 3] 
Le seul intervalle inclus dans [-2,5 ; 3] sur lequel la fonction f  est décroissante est l'intervalle [-1 ; 2].
Sur cet intervalle, la dérivée f' (x ) est alors négative.
Par conséquent, dans l'intervalle [-2,5 ; 3], l'ensemble des solutions de l'inéquation f' (x ) infegal 0 est [-1 ; 2].

3.  Dans cette question, nous admettons que la fonction f  est définie sur R par :  f(x)=x^3-1,5x^2-6x+2,5.

3. a)  Déterminons l'expression factorisée de la dérivée f' (x ).

\text{D'une part, }f'(x)=(x^3-1,5x^2-6x+2,5)' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=(x^3)'-1,5(x^2)'-6x'+2,5' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=3x^2-1,5\times2x-6\times1+0 \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=3x^2-3x-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3x^2-3x-6}

\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)=3(x^2-2x+x-2) \\\phantom{\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)}=3(x^2-x-2) \\\phantom{\text{D'autre part, }3(x+1)(x-2)}=3x^2-3x-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)}

Par conséquent,  \left\lbrace\begin{matrix}f'(x)=3x^2-3x-6\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\\3x^2-3x-6=3(x+1)(x-2)\end{matrix}\right.\ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{f'(x)=3(x+1)(x-2)}}}

3. b)  Établissons le tableau de signe de f' (x ) sur R.

\begin{matrix}x+1<0\Longleftrightarrow {x<-1} \\ x+1=0\Longleftrightarrow {x=-1} \\ x+1>0\Longleftrightarrow {x>-1} \\\\x-2<0\Longleftrightarrow {x<2} \\ x-2=0\Longleftrightarrow {x=2} \\ x-2>0\Longleftrightarrow {x>2} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&2&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline &&&&&&&\\3&&+&+&+&+&+&&x+1&&-&0&+&+&+&\\x-2&&-&-&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&&&&&&f'(x)=3(x+1)(x-2)&&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{0}}&{\red{+}}&\\&&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

3. c)  Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction f .

            \underline{\text{Calculs préliminaires}} \\\\f(-1)=(-1)^3-1,5\times(-1)^2-6\times(-1)+2,5=-1-1,5+6+2,5=6 \\f(2)=2^3-1,5\times2^2-6\times2+2,5=8-6-12+2,5=-7,5 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline&&&&&&&\\ x&-\infty&&-1&&2&&+\infty\\&&&&&&& \\\hline&&&&&&&&f'(x)&&+&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\\hline&&&{\red{6}}&&&&&f(x)&&{\red{\nearrow}}&&{\red{\searrow}}&&{\red{\nearrow}}&\\&&&&&{\red{-7,5}}&&\\\hline \end{array}
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