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E3C - Epreuve 2 - Voie technologique

Sujet 76 de la banque nationale

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Durée : 2 heures



Ce sujet est extrait de la banque nationale des sujets E3C-épreuve 2- de la voie technologique.
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E3C-Banque-Epreuve 2-Voie technologique-Sujet 76

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Partie I

5 points

exercice 1 : Automatismes (Sans calculatrice)

Tableau "Enoncé-Réponse" des questions de 1 à 6.
Les détails du calcul sont donnés à la suite du tableau.

\begin{array}{|c|c|c|}\hline &\ \ \ \ \ \ \text{Enoncé}\ \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \text{Réponse}\ \ \ \ \ \ \\\hline&&\\ 1)&\text{Le coût d'un objet augmente de 48 euros à 60 euros.}&\\&\text{Quel est le pourcentage d'augmentation ?}&{\red{25\ \%}}&&&\\\hline&&\\ 2)&\text{Dans une classe, 60 }\%\ \text{des élèves sont des garçons et}&\\&40\ \%\text{ d'entre eux sont demi-pensionnaires. Quel est}&\\&\text{le pourcentage des élèves de la classe qui sont des}&\\&\text{garçons demi-pensionnaires ?}&{\red{24}\ \%}\\&&\\\hline&&\\ 3)&\text{Calculer }\dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}\text{. On donnera le résultat sous forme }&\\&\text{d'une fraction irréductible.}&{\red{\dfrac{9}{4}}}\\&&\\\hline&&\\ 4)&\text{Compléter :}&10\text{ m.s}^{-1}={\red{36}}\text{ km.h}^{-1}\\&&\\\hline&&\\  5)&\text{Factoriser : }(2x+1)(x+3)-4(x+3)&{\red{(x+3)(2x-3)}}\\&&\\\hline \end{array} \begin{array}{|c|c|c|}&&\\ 6)&\text{On rappelle que l'aire }A\text{ d'un disque de rayon }r\text{ est }\ \ \,\,&\\&\text{donnée par la formule }A=\pi\,r^2.&\\&\text{ Exprimer }r\text{ en fonction de }A\text{ et }\pi.&\ \ \ \ \ \ \ \ \ {\red{r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \,\\&&\\\hline \end{array}

Détails des réponses

1) Le pourcentage d'augmentation du coût se calcule par :    
    \dfrac{\text{Coût final}-\text{Coût initial}}{\text{Coût initial}}\times100=\dfrac{60-48}{48}\times100 \\\\\phantom{\dfrac{\text{Coût final}-\text{Coût initial}}{\text{Coût initial}}\times100}=\dfrac{12}{48}\times100=\dfrac{1}{4}\times100=25 
Par conséquent, le pourcentage d'augmentation est de 25 %.

Variante de calcul :
Le coefficient directeur correspondant à cette augmentation est  \dfrac{60}{48}=1,25.
Le pourcentage d'augmentation est alors égal à 1,25 - 1 = 0,25, soit 25 %.

2)  Nous devons calculer le pourcentage correspondant au calcul suivant : 40 % de 60 %. 
40\%\text{ de }60\%=\dfrac{40}{100}\times\dfrac{60}{100}=0,4\times0,6=0,24=\dfrac{24}{100}={\red{24\%}}
D'où 24 % des élèves de la classe sont des garçons demi-pensionnaires.

3)  Calculer  \dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}.

     \dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}=\dfrac{3\times5}{2\times7}\times\dfrac{3\times7}{2\times5} \\\\\phantom{\dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}}=\dfrac{3\times5\times3\times7}{2\times7\times2\times5} \\\\\phantom{\dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}}=\dfrac{3\times\overset{{\red{1}}}{{\red{\cancel{5}}}}\times3\times\overset{{\blue{1}}}{{\blue{\bcancel{7}}}}}{2\times\underset{{\blue{1}}}{{\blue{\bcancel{7}}}}\times2\times\underset{{\red{1}}}{{\red{\cancel{5}}}}}  \\\\\phantom{\dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}}=\dfrac{9}{4}} \\\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{15}{14}\times\dfrac{21}{10}={\red{\dfrac{9}{4}}}}

4)  Une vitesse constante de 10 m.s-1 signifie que chaque seconde, une distance de 10 mètres est parcourue.
Dans 1 heure, il y a 60 minutes de 60 secondes, soit 60 multiplie 60 = 3 600 secondes.
D'où la distance parcourue pendant 1 heure (soit 3600 s) est égale à 3 600 multiplie 10 m = 36 000 m, soit 36 km.
Par conséquent 10 m.s-1 = 36 km.h-1.

5)  Factoriser (2x  + 1)(x  + 3) -4(x  + 3).  
     (2x+1){\blue{(x+3)}}-4{\blue{(x+3)}}={\blue{(x+3)}}[(2x+1)-4] \\\phantom{wwwwwwwwww..w....ww}=(x+3)(2x+1-4) \\\phantom{wwwwwwwwww..w....ww}=(x+3)(2x-3) \\\\\Longrightarrow\boxed{(2x+1)(x+3)={\red{(x+3)(2x-3)}}}

6)\ \ A=\pi\,r^2\Longleftrightarrow\pi\, r^2=A \\\phantom{6)\ \ A=\pi\,r^2}\Longleftrightarrow r^2=\dfrac{A}{\pi} \\\\\phantom{6)\ \ A=\pi\,r^2}\Longleftrightarrow \boxed{{\red{r=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}}}}\ \ \ \ \ \ \ (\text{car }r>0)

Tableau "Enoncé-Réponse" des questions de 7 à 10.
Les détails des réponses sont donnés à la suite du tableau.

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Détails des réponses

7) et 8)  Voir graphique.

9) Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points A(-2 ; -9) et B(3 ; 1).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax  + b .

Première méthode : par le coefficient directeur.
  Calcul du coefficient directeur a . 
a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-(-9)}{3-(-2)}=\dfrac{1+9}{3+2}=\dfrac{10}{5}\Longrightarrow\boxed{a=2}
L'équation réduite de la droite (AB) est donc de la forme : y  = 2x  + b .

  Calcul de l'ordonnée à l'origine b .
La droite (AB) passe par le point B(3 ; 1).
Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x  par 3 et y  par 1.
1 = 2 multiplie 3 + b  equivaut 1 = 6 + b  equivaut  \boxed{b=-5.}
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB) est  \boxed{{\red{y=2x-5}}}

Deuxième méthode : par l'appartenance des points A et B à la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : y = ax  + b .
Le point A(-2 ; -9) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par -2 et y par -9.
Le point B(3 ; 1) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 3 et y par 1.
Dès lors, 
\left\lbrace\begin{matrix}A(-2\,;\,-9)\in(AB)\\B(3\,;\,1)\in(AB)\end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}-9=a\times(-2)+b\\1=a\times3+b\end{matrix}\right. \\\\\phantom{...WWWWWWWW.....}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}-2a+b=-9\\3a+b=1\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=-9+2a\\3a+b=1\end{matrix}\right.\\\\\phantom{....WWWWWW..WW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=-9+2a\ \ \ \ \ \ \ \\3a+(-9+2a)=1\end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=-9+2a\\5a=10\end{matrix}\right. \\\\\phantom{.....WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=-9+2a\\a=2\ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}b=-9+2\times2\\a=2\end{matrix}\right. \\\\\phantom{....WWWWWWW..W..}\Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}a=2\\b=-5\end{matrix}\right.
\\\\\Longrightarrow\boxed{{\red{(AB):y=2x-5}}}

10) Le minimum de la série statistique est min =5.
Le premier quartile est Q1 = 8.
La médiane est méd = 9.
Le troisième quartile est Q3 = 13.
Le maximum de la série est max = 15.
La partie de la population dont les valeurs se situent entre le minimum et Q1 comporte environ 25 % de la population.
Il en est de même pour les valeurs se situant entre Q1 et la médiane, entre la médiane et Q2 ainsi que entre Q2 et le maximum.
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D'où le pourcentage de la population dont les valeurs se situent dans l'intervalle [5 ; 13] est 25 + 25 + 25 = 75 %.

Partie II (Calculatrice autorisée)

5 points

exercice 2

Soit B  la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 90] par  B(x)=-0,04x^3-3x^2+600x-6000.

1.  Le résultat réalisé pour la fabrication et la vente de 20 canapés se calcule par B (20). 
B(20)=-0,04\times20^3-3\times20^2+600\times20-6000=4480.
D'où le résultat réalisé pour la fabrication et la vente de 20 canapés est de 4 480 euros.

2.  Expression de la dérivée B' (x ). 
\text{D'une part, }B'(x)=(-0,04x^3-3x^2+600x-6000)' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=-0,04(x^3)'-3(x^2)'+600x'-6000' \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=-0,04\times3x^2-3\times2x+600\times1-0 \\\phantom{\text{D'une part, }f'(x)}=-0,12x^2-6x+600\\\\\Longrightarrow\boxed{B'(x)=-0,12x^2-6x+600}

 \text{D'autre part, }-0,12(x+100)(x-50)=-0,12(x^2-50x+100x-5000) \\\phantom{\text{D'autre part, }-0,12(x+100)(x-50)}=-0,12(x^2+50x-5000) \\\phantom{\text{D'autre part, }-0,12(x+100)(x-50)}=-0,12x^2-6x+600 \\\\\Longrightarrow\boxed{-0,12(x+100)(x-50)=-0,12x^2-6x+600}

\text{Par conséquent, }\ \left\lbrace\begin{matrix}B'(x)=-0,12x^2-6x+600\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\-0,12(x+100)(x-50)=-0,12x^2-6x+600\end{matrix}\right.\ \ \ \\\\\phantom{\text{Par conséquent, }\ }\Longrightarrow\ \ \ \boxed{{\blue{B'(x)=-0,12(x+100)(x-50)}}}

3.  Établissons le tableau de signe de B' (x ) sur l'intervalle [0 ; 90].
D'une part nous avons : -0,12 < 0. 
\text{D'autre part, }\ x\in[0\,;\,90]\Longleftrightarrow0\le x\le90 \\\phantom{\text{D'autre part, }\ x\in[0\,;\,90]}\Longleftrightarrow0\,{\red{+100}}\le x\,{\red{+100}}\le90\,{\red{+100}} \\\phantom{\text{D'autre part, }\ x\in[0\,;\,90]}\Longleftrightarrow100\le x+100\le190 \\\\\Longrightarrow \boxed{x+100>0}

\begin{matrix}x-50<0\Longleftrightarrow {x<50} \\ x-50=0\Longleftrightarrow {x=50} \\ x-50>0\Longleftrightarrow {x>50} \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \ \ \ \ \ \begin{matrix} \\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&0&&50&&90&\\&&&&&& \\\hline &&&&&&\\-0,12&-&-&-&-&-&&x+100&+&+&+&+&+&\\x-50&-&-&0&+&+&\\&&&&&&\\\hline&&&&&&\\B'(x)=-0,12(x+100)(x-50)&{\red{+}}&{\red{+}}&{\red{0}}&{\red{-}}&{\red{-}}&\\&&&&&&\\\hline \end{array}\end{matrix}

4.  Nous en déduisons le tableau de variation de la fonction B  sur l'intervalle [0 ; 90].

            \underline{\text{Calculs préliminaires}} \\\\B(0)=-0,04\times 0^3-3\times 0^2+600\times 0-6000=-6000 \\B(50)=-0,04\times 50^3-3\times 50^2+600\times 50-6000=11500 \\B(90)=-0,04\times 90^3-3\times 90^2+600\times 90-6000=-5460 \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|}\hline&&&&&&\\ x&0&&50&&90&\\&&&&&& \\\hline&&&&&&\\B'(x)&+&+&0&-&-&\\&&&&&&\\\hline&&&{\red{11500}}&&&\\B(x)&&{\red{\nearrow}}&&{\red{\searrow}}&&\\&{\red{-6000}}&&&&{\red{-5460}}&\\\hline \end{array}

5.  Avec l'aide du tableau de variation de la fonction B , nous pouvons conclure que l'entreprise doit produire et vendre 50 canapés pour avoir un résultat maximal. Ce résultat s'élèvera alors à 11 500 euros.

5 points

exercice 3

Pour tout entier n  supegal 0, on note an  la surface en hectare, cultivée selon le modèle biologique, durant l'année (2020 + n ).

1.  Une hausse de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur égal à 1 + 0,3 = 1,3.

\boxed{a_0=4} \\\\a_1=1,3\times a_0 \\\phantom{u_1}=1,3\times 4 \\\phantom{u_1}=5,2 \\\Longrightarrow\overset{}{\boxed{a_1=5,2}}
Par conséquent, la surface en hectare, cultivée selon le modèle biologique, durant l'année 2021 est de 5,2 hectares.

a_2=1,3\times a_1 \\\phantom{u_1}=1,3\times 5,2 \\\phantom{u_1}=6,76 \\\Longrightarrow\overset{}{\boxed{a_2=6,76}}
Par conséquent, la surface en hectare, cultivée selon le modèle biologique, durant l'année 2022 est de 6,76 hectares.

2.  Pour tout entier n  supegal 0, la surface en hectare an +1, cultivée selon le modèle biologique, durant l'année (2020 + (n +1)) est égale à la surface en hectare an , cultivée selon le modèle biologique, durant l'année (2020 + n ) augmentée de 30 %.
Or une augmentation de 30 % correspond à un coefficient multiplicateur de 1 + 0,3 = 1,3.
Par conséquent, pour tout entier naturel n  supegal 0, \overset{.}{\boxed{a_{n+1}=1,3\times a_n}}

3.  Nous déduisons de la question précédente que la suite (an ) est une suite géométrique de raison q  = 1,3 dont le premier terme est a 0 = 4.
Le terme général de la suite (an ) est  a_n=a_0\times q^{n} .
Donc, pour tout entier naturel n ,  \overset{.}{\boxed{a_n=4\times1,3^{n}}}

4.  a_5=4\times1,3^{5}\Longrightarrow \boxed{a_5=14,85172}

5.  Ci-dessous un tableau reprenant les premières valeurs de n  et an  ainsi qu'un test vérifiant si l'aire an  est inférieure à 10.

\begin{array}{|c|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|}\hline\text{Valeurs de }n&&0&&&1&&&2&&&3&&\cellcolor{green}&\cellcolor{green}4&\cellcolor{green} \\\hline \text{Valeurs de }a_n&&4&&&5,2&&&6,76&&&8,788&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{11,4244}&\cellcolor{red} \\\hline a_n\le10&&\text{Vrai}&&&\text{Vrai}&&&\text{Vrai}&&&\text{Vrai}&&\cellcolor{red}&\cellcolor{red}{\text{Faux}}&\cellcolor{red}\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que la totalité de la surface cultivable sera exploitée selon ce modèle biologique durant l'année 2024.

5 points

exercice 4

1.  Tableau complété des valeurs recensées.
Les valeurs non reprises dans le tableau s'obtiennent par des additions ou des soustractions.
 1410 + 841 = 2251.
 1313 - 583 = 730.
 2140 + 1424 = 3564.

D'où le tableau ci-dessous :

                      \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline&\text{Éligibles à la fibre optique}&\text{Non éligibles à la fibre optique}&\text{Total}\\\hline\text{Propriétaires}&1410&\ 841&{\blue{2251}}\\\hline \text{Locataires}&\ {\blue{730}}&\ 583&1313\\\hline\text{Total}&2140&1424&{\blue{3564}}\\\hline \end{array}

2.  Parmi les 3564 personnes du village, 2140 personnes d'entre elles sont éligibles à la fibre optique.
D'où la probabilité qu'une personne interrogée soit éligible à la fibre optique est égale à  \dfrac{2140}{3564} .
Par conséquent,  \boxed{p(F)=\dfrac{2140}{3564}\approx0,60.}

3.  Parmi les 3564 personnes du village, 1410 personnes d'entre elles sont éligibles à la fibre optique et sont propriétaires de leurs logements.
D'où la probabilité qu'une personne interrogée soit éligible à la fibre optique et soit propriétaire de son logement est égale à  \overset{.}{\dfrac{1410}{3564}\approx0,40.}

4.  Nous devons calculer  p_{\overline{F}}(P) , soit la probabilité qu'une personne interrogée soit propriétaire de son logement sachant qu'elle est non éligible à la fibre optique.

Première méthode
Parmi les 1424 personnes non éligibles à la fibre optique, 841 d'entre elles sont propriétaires de leurs logements.
D'où, sachant que la personne interrogée est non éligible à la fibre optique, la probabilité qu'elle soit propriétaire de son logement est égale à  \dfrac{841}{1424}.

Par conséquent,  \boxed{p_{\overline{F}}(P)=\dfrac{841}{1424}\approx0,59}

Deuxième méthode

p_{\overline{F}}(P)=\dfrac{p(P\cap {\overline{F}})}{p({\overline{F}})} \\\\\text{Or }\left\lbrace\begin{matrix}p(P\cap {\overline{F}})=\dfrac{841}{3564}\\\\p({\overline{F}})=\dfrac{1424}{3564}\end{matrix}\right.\ \  \Longrightarrow\ \  p_{\overline{F}}(P)=\dfrac{\dfrac{841}{3564}}{\dfrac{1424}{3564}}=\dfrac{841}{3564}\times\dfrac{3564}{1424}=\dfrac{841}{1424} \\\\\Longrightarrow\boxed{p_{\overline{F}}(P)=\dfrac{841}{1424}\approx0,59}

5.  Interprétation du résultat précédent dans le cadre de l'exercice : 
Environ 59 % des personnes non éligibles à la fibre optique sont propriétaires de leurs logements.
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