1. On peut représenter la situation par un arbre pondéré :
On cherche or
Donc la probabilité que la bille choisie soit vendable et provienne de la machine A est de 0,588.
2. On sait que
Or,
donc
Donc
Donc la proabilité que la bille choisie soit vendable sachant qu'elle provient de la machine B est de 0,93.
On peut donc compléter l'arbre :
3. On cherche la probabilité qu'une bille provienne de la machine B sachant qu'elle est non vendable :
Donc la probabilité qu'une bille provienne de la machine B et soit non vendable est de . Donc le technicien a raison.
Partie B :
1. Les billes sont vendables lorsque appartient à donc, en utilisant la calculatrice :
Donc la probabilité qu'une bille produite par la machine B soit vendable est bien celle trouvée dans la partie A au centième près.
2.
Or suit une loi normale donc on peut utiliser la calculatrice et cela nous donne :
Donc
Partie C :
1. a)On note la variable aléatoire qui compte le nombre de billes noires dans un sachet. suit une loi binomiale car la quantité produite est suffisament importante pour que le remplissage d'un sachet puisse être assimilé à un tirage successif avec remise de billes dans la production journalière. La probabilité qu'une bille ait été prise au hasard est de . Donc suit une loi binomiale .
Donc
Donc la probabilité que le sachet contienne exactement 10 billes noires est d'environ 0,107.
b) suit une loi binomiale, donc grâce à la calculatrice, on trouve et les plus petit entiers tels que et afin de calculer l'intervalle de fluctuation vu en première. On trouve et donc l'intervalle de fluctuation au seuil de confiance de des échantillons de taille 40 est :
Or donc cela ne permet pas de remettre en cause le réglage de la machine qui teinte les billes.
On peut également utiliser l'intervalle de fluctuation asymptotique vu en terminale.
2. On cherche le nombre de billes à mettre dans les sachets. Donc maintenant suit une loi binomiale .
Or Donc il faut mettre minimum 21 billes dans chaque sachet pour que la probabilité d'obtenir au moins une bille noire dans un sachet soit supérieure ou égale à 99%.
6 points
exercice 2
Partie A :
Donc .
Et
Donc .
On sait que est dérivable sur .
Et pour tout :
Donc Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe en est nul. Donc la tangente à la courbe en I est parallèle à l'axe des abscisses, de plus appartient à cet axe, donc l'axe des abscisses est tangent à la courbe au point I.
2. a)
L'équation de la droite est :
D est le point d'intersection de et de l'axe des abscisses. On cherche donc à résoudre
b) Calculons l'aire du triangle ABI :
et
Donc
D'autre part si on projette orthogonalement sur en un point :
Donc on peut en déduire que :
3. a)Soit :
Donc est une primitive de sur .
b) Donc une primitive de sur l'intervalle est :
Donc
Donc le volume de la cuve est :
Partie B :
1. La hauteur d'eau dans la cuve est de 1 lorsque f(x) = 1. Or, d'après la calculatrice, la solution x0 de
f(x) = 1 est comprise entre 4,311 et 4,312. Or V est la fonction volume en fonction de la hauteur d'eau,
donc V est une fonction croissante, donc en notant Vhauteur1m le volume lorsque la hauteur d'eau est de 1m
dans la cuve on obtient que :
donc d'après la calculatrice, , au près.
2. Cet algorithme affiche la hauteur d'eau dans la cuve lorsque que la cuve est à moitié remplie.
3 points
exercice 3
1. Soit alors
Donc . Donc
2. On dessine les points d'affixe pour pour se représenter la situation.
Tout d'abord, remarquons que si n'est pas dans le cercle de centre O de rayon 4 alors a fortiori il n'est pas dans le carré ABCD car le carré est inscrit dans ce cercle.
Etudions la suite telle que pour tout entier naturel non nul.
Soit alors n'appartient pas au cercle de centre O de rayon 4 si et seulement si . Or,
Donc pour tout , et donc est en dehors du cercle de centre O de rayon 4. Donc est en dehors du carré ABCD pour tout supérieur ou égal à 5.
5 points
exercice 4 (enseignement obligatoire)
1. Les diagonales d'un carré se coupant perpendiculairement, et sont orthogonaux. Ils sont de même longueur car les diagonales d'un carré sont de même longueur et se coupent en leur milieu.
De plus est la hauteur de la pyramide donc est normal au plan , donc est orthogonal à et . Donc le repère est orthogonal.
Calculons la longueur OS. Le triangle OSB est rectangle en il nous manque la longueur or car ABS est un triangle équilatéral. Or le triangle est rectangle en O donc d'après le théorème de Pythagore:
donc
Donc d'après le théorème de Pythagore,
Donc donc le repère est orthonormé.
2.a) Or donc,
b)
Or
donc
Donc les vecteurs et sont colinéaires, donc les points , et sont alignés.
c) Soit le point tel que alors , et sont alignés (c'est la même démonstration que précédemment). Donc qui est elle-même confondu dans le plan . Donc appartient à l'intersection de et de donc le point est le point . De plus
Donc les vecteurs et sont colinéaires, donc les droites et sont parallèles.
d)
Or et et
Donc .
3.a) et sont deux vecteurs non colinéaires du plan . Donc est normal à si et seulement si il est orthogonal à et .
Or,
donc
et
Donc est orthogonal à et , donc est un vecteur normal au plan (BCI).
b) donc
Donc les vecteurs , sont coplanaires.
c) Comme est un vecteur normal à . Or , et sont coplanaires et donc les plans et sont perpendiculaires et leur intersection est la droite .
5 points
exercice 4. Spécialité
1.a) est la probabilité qu'il y ait une boule blanche dans l'urne U à la fin du -ème tirage sachant qu'il y en avait 0 à la fin du -ème tirage.
S'il y a 0 boule blanche à la fin du n-ème tirage, alors il y aura forcément une boule blanche au (n+1)-ème tirage puisqu'on va prendre une boule de V et la mettre dans U. Donc
S'il y a 1 boule blanche à la fin du n-ème tirage, alors il se présente quatre cas : on échange les boules blanches de U et V, on échange les boules noires de U et V, on échange la noire de U contre la blanche de V ou on échange la blanche de U contre la noire de V. Comme toutes ces issues sont équiprobables.
S'il y a 2 boules blanches à la fin du n-ème tirage, alors on va forcément échanger une boule blanche de U par une boule noire de V. Donc il restera forcément 1 seule boule blanche dans U ) la fin du (n+1)-ème tirage, donc :
b) D'après la formule des probabilités totales
2.
Donc
Soit un entier naturel et : "". Montrons que est vraie par récurrence.
Initialisation :
Donc est vraie.
Hérédité :
Soit un entier naturel, supposons que est vraie et montrons que est vraie :
Donc, pour tout entier naturel , , donc est vraie pour tout entier naturel . Donc R_n=R_0 \times M^n[/tex].
3. Soit , alors
Remarque : on pouvait également à nouveau le démontrer par réccurence.
4. a)
b)Soit alors
5. donc
De même, .
Et
Donc lorsque le nombre de tirage tend vers l'infini, la probabilité qu'il y ait 0 boules blanches dans l'urne est de , tout comme la probabilité qu'il y ait 2 boules dans l'urne. La probabilité qu'il y ait 1 boule dans l'urne est, elle, de .
Publié par Prof digiSchool
le
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