Fiche de mathématiques

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Ile mathématiques > maths bac > Bac 2016

Baccalauréat général

Session 2016

Mathématiques Série S

Obligatoire (coefficient 7 ) et Spécialité (coefficient 9)

Durée de l'épreuve : 4 heures -

Centres Etrangers

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4 points

exercice 1 Commun à tous les candidats

1. Affirmation vraie : $P(X\ge 187)\approx 0,9032$

2. Affirmation vraie
Soit $f (x) = x -cos x\; \text{ alors } f'(x) = 1 + sin x$ or, pour tout $x$ de $[0 ;\frac{\pi}{2}]$ , $0\le \sin x\le 1 \text{ donc } 1+\sin x \ge 1 \text{ donc } f'(x) > 0$

$f$ est définie continue strictement croissante sur $[0 ;\frac{\pi}{2}]$ , $f(0)=-1 \text{ et } f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ donc $f(0)<0<f(\frac{\pi}{2})$ donc l'équation $f(x)=0$ admet une seule solution dans $[0 ;\frac{\pi}{2}]$ .

3. Affirmation fausse
Le point d'intersection éventuel de D₁et D₂ a ses coordonnées qui vérifient : $\begin{cases} x=1+2t=-5t'+3 \\ y=2-3t=2t'\\z=4t=t'+4\end{cases}$
donc en ne gardant que les deux premières conditions : $\begin{cases} 2-3t=2t'\\4t=t'+4 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 3t+2t'=2\\4t-t'=4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 3t+2t'=2\\8t-2t'=8\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases} 11t=10\\t'=4t-4\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}t=\frac{10}{11}\\ t' =\frac{-4}{11}\end{cases}$
Vérifions si la première condition est vérifiée : $1+2t=\frac{31}{11} \text{ et } -5t'+3=5 \text{ donc } 1+2t\neq -5t'+3$ et on en conclut que les droites ne sont pas sécantes.

4. Affirmation vraie
Un vecteur directeur de D₁ est le vecteur $\vec{u}(2\;;-3\;;4)$ et un vecteur normal au plan P est $\vec{n}(1\;;2\;;1)$ .
$\vec{u}.\vec{n}=2\times 1 -3\times 2+4\times 1=0$ , donc la droite D₁ est parralèle au plan P. 6 points

exercice 2 Commun à tous les candidats

Partie A : Etude de quelques exemples

1.a La fonction $f$ est une fonction constante strictement positive donc $f(x)=k \text{ avec } k$ réél strictement positif.

$A_1=\displaystyle{\int_0^a k\text{d}x=[kx]_0^a=ka \text{ et } A_2=\displaystyle{\int_a^1 k\text{d}x=[kx]_a^1=k(1-a)$
$A_1=A_2\Leftrightarrow ka=k(1-a)\Leftrightarrow a=1-a\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$ . La condition (E) est remplie pour un unique réel $a=\frac{1}{2}$

b. $A_1=\displaystyle{\int_0^a x\text{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^a=\frac{1}{2}a^2 \text{ et } A_2=\displaystyle{\int_a^1 x\text{d}x=\left[\frac{x^2}{2}\right]_a^1=\frac{1}{2}(1-a^2)$

$A_1=A_2\Leftrightarrow a^2=1-a^2\Leftrightarrow 2a^2=1\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ ( car } a>0\text{ )}$
La condition (E) est remplie pour un unique $a=a=\frac{\sqrt{2}}{2}$

2.a La fonction $f$ étant continue positive sur [0 ; 1], $A_1=\displaystyle{\int_0^a f(x)\text{d}x \text{ et }A_2=\displaystyle{\int_a^1 f(x)\text{d}x$

b. $A_1=\displaystyle{\int_0^a f(x)\text{d}x=F(a)-F(0)\text{ et } A_2=\displaystyle{\int_a^1 f(x)\text{d}x =F(1)-F(a)$
Si le réel $a$ satisfait à la condition (E), alors

$A_1=A_2\Leftrightarrow F(a)-F(0)=F(1)-F(a) \Leftrightarrow F(a)=\frac{F(0)+F(1)}{2}$

Réciproquement, si $F(a)=\frac{F(0)+F(1)}{2}\text{ avec } a\in [0\;;1],\;$

$A_1=F(a)-F(0)=\frac{F(0)+F(1)}{2}-F(0)=\frac{F(1)-F(0)}{2}\text{ et } A_2=F(1)-F(a)=F(1)-\frac{F(0)+F(1)}{2}= \frac{F(1)-F(0)}{2}$ donc $A_1=A_2$ et la réciproque est vraie.

3.a Une primitive de $f$ est $F$ définie par $F(x)=\text{e}^x$

$A_1=A_2\Leftrightarrow F(a)=\frac{F(0)+F(1)}{2}\Leftrightarrow\text{e}^a=\frac{\text{e}+1}{2}\Leftrightarrow a=\ln (\text{e}+1)-\ln 2$

$\ln (\text{e}+1)-\ln 2\approx 0,6 \text{ donc } a\in [0\;;1] \text{ et } A_1=A_2$
La condition (E) est remplie pour un unique réel $a=\ln (\text{e}+1)-\ln 2$

b. Une primitive de $f$ est définie par $F$ par $F(x)=-\frac{1}{x+2}$

$\frac{F(0)+F(1)}{2}=\frac{-5}{12}\text{ et } F(\frac{2}{5})=\frac{-5}{12}\text{ donc } F(\frac{2}{5})=\frac{F(0)+F(1)}{2} \text{ donc } A_1=A_2$

La valeur $a=\frac{2}{5}$ convient.

Partie B-Utilisation d'une suite

1. Une primitive de $f$ est $F$ définie par $F(x)=4x-x^3$

$A_1=\displaystyle{\int_0^a f(x)\text{d}x=F(a)-F(0)=4a-a^3\text{ et } A_2=\displaystyle{\int_a^1 f(x)\text{d}x =F(1)-F(a)=3-4a+a^3$

Si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E), $A_1=A_2 \Leftrightarrow 4a-a^3=3-4a+a^3\Leftrightarrow 8a=3+2a^3\Leftrightarrow a=\frac{a^3}{4}+\frac{3}{8}$

Si $a$ est un réel satisfaisant la condition (E),alors a est solution de l'équation $x=\frac{x^3}{4}+\frac{3}{8}$

2. On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\;;1]$ par $g(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{3}{8}$ , et
la suite $(u_n)$ définie par $u_0=0 \text{ et pour tout entier naturel }n, u_{n+1}=g(u_n)$

a. $u_1=g(u_0)=\frac{3}{8}$

b. $g'(x)=\frac{3}{4}x^2$ donc $g'(x) \ge 0$ sur l'intervalle [0 ; 1] donc la fonction $g$ est croissante sur [0 ; 1]

c. Initialisation : $u_1=\frac{3}{8}\text{ et } u_0=0$ donc $0\le u_0\le u_1\le 1$ ; donc la propriété est initialisée.

Hérédité : Supposons que $0\le u_p\le u_{p+1}\le 1$ alors, puisque $g$ est croissante sur [0 ; 1] on obtient :

$g(0)\le g( u_p)\le g( u_{p+1})\le g(1)$ soit $0\le u_{p+1}\le u_{p+2} \le \frac{5}{8}\le 1$ , donc l'hérédité est démontrée.

La propriété est initialisée et héréditaire, donc pour tout $n$ de N, $0\le u_n\le u_{n+1}\le 1$

d. Pour tout $n$ de N, $0\le u_n\le u_{n+1}\le 1$ donc la suite est croissante, majorée par 1 donc la suite converge.

Soit L la limite de la suite $(u_n)$ . Puisque $u_{n+1}=g(u_n)$ alors $\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_{n+1}=\displaystyle\lim_{n\to +\infty}g(u_{n})$ donc $L=g(L)$ .

$a$ est solution de l'équation $x=\frac{x^3}{4}+\frac{3}{8}$ , et $a$ est unique donc $L=a$

e.

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5 points

exercice 3 Commun à tous les candidats

Partie A-Nombre de personnes qui acceptent de répondre au sondage

1.a On a une succession de 700 expériences aléatoires indépendantes, chacune d'elle a deux issues :
réussite : la personne accepte de répondre à la question posée (p = 0,6)
échec : la personne refuse de répondre à la question posée (q = 1 - p = 0,4) donc la variable aléatoire X égale au nombre de personnes acceptant de répondre à la question posée, suit une loi binomiale de paramètres (700 ; 0,6)

b. $P(X \le 399)=0,057 \text{ donc } P(X\ge 400)=1-0,057$ soit approximativement 0,94.

2. Soit $X_n$ la variable aléatoire comptant le nombre de personnes acceptant de répondre à la question posée. On cherche donc n tel que $P(X n \ge 400) > 0,9$ .
$X_n$ suit une loi binomiale de paramètres (n ; 0,6)
La suite $(P(Xn \ge 400))$ est une suite croissante (plus on interroge de personnes plus la probabilité qu'au moins 400 personnes répondent augmente) En utilisant la calculatrice : si n = 693 alors $P(Xn \ge 400) \approx 0,897$
et si n = 694, alors $P(X n \ge 694) \approx 0,905$ donc n = 694.
L'institut doit interroger au minimum 694 personnes pour garantir, avec une probabilité supérieure à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal 400.

Partie B - Proportion de personnes favorables au projet dans la population

1. $n\ge 50 \;,\; np=n\times 0,29 \text{ donc } np\ge 50\times 0,29 \ge 5\text{ et } n(1-p)=n\times 0,71 \text{ donc } n(1-p)\ge 50\times 0,71 \ge 5$
Les conditions sont vérifiées pour pouvoir utiliser un intervalle de confiance.

$I_n=\left[0,29-\frac{1}{\sqrt{n}}\;;\;0,29+\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$

2. L'amplitude de $I_n$ est égale à $\frac{2}{\sqrt{n}}$ .

On doit avoir $\frac{2}{\sqrt{n}} \le 0,04 \text{ donc } \sqrt{n} \ge \frac{2}{0,04} \text{ soit } n \ge 50^2 \text{ soit } n \ge 2500$

La valeur minimale de l'entier n pour que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance de $95\%$ , ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04 est 2500.

Partie C - Correction dûe à l'insincérité de certaines réponses

1. . L'institut estime à $15 \%$ le taux de réponses non sincères parmi les personnes ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soit l'opinion de la personne interrogée donc :

Si la personne est en réalité favorable au projet, elle affirmera qu'elle ne l'est pas dans $15 \%$ des cas donc $P_F(\overline{A})=0,15$ donc $P_F(A)=1-0,15=0,85$
Si la personne, en réalité, n'est pas favorable au projet, elle affirmera qu'elle l'est dans $15 \%$ donc $P_{\overline{F}}(A)=0,15$

2.a

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b. $P(A)=0,29 \text{ soit } P(A\cap F)+P(A\cap \overline{F})=0,29 \text{ donc }$
$0,85x+0,15(1-x)=0,29 \text{ soit } 0,7x=0,29-0,15 \text{ donc } 0,7x=0,14$

3. $0,7x=0,14$ donc $x=0,2$
$20\%$ des personnes sont réellement favorables au projet. 5 points

exercice 4 Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité

Partie A - Ligne brisée formée à partir de 7 points

1. $z_1=\left(1+\frac{1}{6}\right)\text{e}^{i\frac{2\pi}{6}}=\frac{7}{6}(\cos \frac{\pi}{3})+i\sin \frac{\pi}{3})=\frac{7}{6}\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{7}{12}+i\frac{7\sqrt{3}}{12}$

2. $z_0=\left(1+\frac{0}{6}\right)\text{e}^{i\frac{2\times 0\pi}{6}}=1 \text{ et }z_6=\left(1+\frac{6}{6}\right)\text{e}^{i\frac{2\times 6\pi}{6}}=2$ donc $z_0$ et $z_6$ sont des entiers.

3. [OM₀ ] est un segment de l'axe des abscisses donc la longueur de la hauteur issue de M₁ dans le triangle OM₀ M₁ est égale à l'ordonnée de M₁ donc à $h=\frac{7\sqrt{3}}{12}$

L'aire de ce triangle est égale à : $\frac{1}{2}\times OM_0\times h=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{7\sqrt{3}}{12}=\frac{7\sqrt{3}}{24}$

Partie B-Ligne brisée formée à partir de n+1 points

1. Pour tout entier k tel que $0\le k\le n\;,\; OM_k=\mid z_k\mid=1+\frac{k}{n}$

2. Pour tout entier k tel que $0\le k\le n-1\;,\;(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_k})=arg z_k$ donc

$(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_k})=\frac{k2\pi}{n}\text{ (à }2\pi\text{ près) et }(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_{k+1}})=\frac{(k+1)2\pi}{n}\text{ (à }2\pi\text{ près)}$

$(\overrightarrow{OM_k},\overrightarrow{OM_{k+1}})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_{k+1}})-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OM_k})=\frac{(k+1)2\pi}{n}-\frac{k2\pi}{n}=\frac{2\pi}{n}\text{ (à }2\pi\text{ près)}$

3. Soit H le pied de la hauteur issue de M_k+1dans le triangle OM_kM_k+1, alors :

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$\sin \frac{2\pi}{n}=\frac{HM_{k+1}}{0M_{k+1}}\text{ donc } HM_{k+1}=OM_{k+1}\times \sin \frac{2\pi}{n}=\left(1+\frac{k+1}{n}\rigth)\times \sin \frac{2\pi}{n}$

La hauteur issue de M_k+1 a une longueur égale à $\left(1+\frac{k+1}{n}\rigth)\times \sin \frac{2\pi}{n}$

4.

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5 points

exercice 4 Candidats ayant suivi la spécialité mathématique

Partie A - Chiffrement de Hill

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Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement

1. Si a est un entier relatif premier avec 26, d'après le théorème de Bézout, il existe deux entiers relatifs u et v tels que $a\times u+26v = 1 \donc a\times u\equiv 1 \text{ modulo } 26$

2.a

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b. Le reste de la division de $5\times a$ par 26 est 1 et $a=21$ donc $5\times 21\equiv 1 \text{ modulo } 26$

3. On rappelle que $A=\begin{pmatrix} 5 &2 \\ 7& 7 \end{pmatrix}$ et on note I la matrice $I=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &1 \end{pmatrix}$
a. $12A-A^2=\begin{pmatrix} 21 &0 \\ 0& 21 \end{pmatrix}= 21 I$

b. $12A-A^2=21 I\text{ donc } (12I-A)A=21I \text{ donc } B=12I-A\text{ donc } B=\begin{pmatrix} 7 &-2 \\ -7 &5 \end{pmatrix}$

c. $\text{Si } AX=Y\;,\;\text{alors } BAX=BY \text{ or } BA=21I \text{ donc } 21 IX=BY \text{ soit } 21X=BY$

Partie C - Déchiffrement

1. $Y=AX$ donc d'après la question B.2c $X=BY$ soit : $\begin{cases}21x_1=7y_1-2y_2\\21x_2=-7y_1+5y_2\end{cases}$

2. $5\times 21 \equiv 1 \text{ modulo} 26 \text{ donc }\begin{cases}5\times 21x_1\equiv 5(7y_1-2y_2)\text{ modulo } 26 \\ 5\times 21 x_2 \equiv 5(-7y_1+5y_2) \text{ modulo } 26\end{cases} \text{ soit } \begin{cases}x_1\equiv 35y_1-10y_2 \text{ modulo } 26\\ x_2\equiv -35y_1+25y_2 \text{ modulo } 26\end{cases}$
Or :
$35=26+9 \text{ donc } 35\equiv 9\text{ modulo } 26$
$-10=-1\times 26 +16 \text{ donc } -10\equiv 16 \text{ modulo } 26$
$-35=-2\times 26 +17 \text{ donc } -35\equiv 17 \text{ modulo } 26$

Donc : $\begin{cases}x_1\equiv 9y_1+16y_2 \text{ modulo } 26\\ x_2\equiv 17y_1+25y_2 \text{ modulo } 26\end{cases}$

3. $9y_1+16y_2=9\times 21 + 16\times 11=365 \text{ or } 365=14\times 26 + 1 \text{ donc } x_1=1$
$17y_1+25y_2=17\times 21+25\times 11=632 \text{ or } 632=24\times 26 + 8 \text{ donc } x_2=8$
Donc VL est déchiffré en BI

$9y_1+16y_2=9\times 20+16\times 15=420 \text{ or } 420=3\times 26+4 \text{ donc } x_1=4$
$17y_1+25y_2=17\times 20 + 25\times 15=715 \text{ et }715=27\times 26+13 \text{ donc } x_2=13$
donc UP est déchiffré en EN
VLUP est déchiffré en BIEN
Merci à Cherchell pour avoir contribué à cette fiche

Publié par malou/cherchell le 29-12-2018

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