Fiche de mathématiques
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Sujet Bac 2016 STD2A mathématiques métropole

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exercice 1

Partie A : Etude des différentes parties composant la montre-bracelet


1. La partie montre

Une équation de l'ellipse est \dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{3^2}=1. On a donc une ellipse d'axe focal l'axe des abscisses, le grand axe a pour longueur 2\times 5 soit 10 et le petit axe a pour longueur 2\times 3 soit 6 (le tout en unités de longueur).

2. B(4 ; 1,8). Remplaçons dans l'équation de l'ellipse.

\dfrac{4^2}{25}+\dfrac{1,8^2}{9}=\dfrac{16}{25}+\dfrac{3,24}{9}=\dfrac{144}{225}+\dfrac{81}{225} =\dfrac{225}{225}=1

On en conclut que les coordonnées de B vérifient l'équation de l'ellipse, donc B appartient à l'ellipse  \mathcal{E}

c.
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\Gamma est le cercle de centre O et de rayon 3. Il admet donc pour équation : x^2+y^2=9

d. \dfrac{OK}{OH}=\dfrac{5}{3}

2. La partie bracelet

La parabole \mathcal{P} représente la fonction f déinie par f(x)=0,05x^2-0,8x+4,2

f(4)=0,05\times 4^2-0,8\times 4+4,2=1,8 \text{ donc } B(4\;;1,8)\in\mathcal{P}

De même, f(8)=1\text{ donc } C(8\;;1)\in\mathcal{P}

b. f'(x)=0,1x-0,8 or, f'(8)=0 donc la tangente en C à la parabole est bien paralèle à l'axe (OI)

Le segment [CD] est parallèle également à l'axe (OI), donc en C, la parabole et le segment ont une tangente commune.

c. Au point B d'abscisse 4, f'(4)=-0,4 ; or la tangente à l'ellipse en ce point admet pour coefficient directeur -0,8. Au point C de raccordement entre l'ellipse et la paraole, il n'y a pas de tangente commune (on a un point anguleux).

d. Le demi-cercle de diamètre [DE] a pour centre le milieu N de [DE], et pour rayon 1.

N a pour coordonnées (14;0).

Une représentation pramétrique de ce demi-cercle est : \begin{cases}x=14+\cos \theta\\y=\sin \theta\\ \theta\in[-\frac{\pi}{2}\;;+\frac{\pi}{2}]\end{cases}

Partie B : nouveau modèle de montre-bracelet


Soit la fonction g définie sur [0;8] par g(x)=ax^3+bx^2+cx+d avec a, b, c et d réels.

1. g'(x)=3ax^2+2bx+c

2.a g(0)=3\quad g'(0)=0\quad g(8)=1\quad g'(8)=0

b. Le système s'écrit \begin{cases}d=3\\c=0\\512a+64b+8c+d=1\\ 192a+16b+c=0\end{cases}
On remplace dans le système les valeurs déjà connues.

\begin{cases}d=3\\c=0\\512a+64b=-2\\192a+16b=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} d=3\\c=0\\512a-768a=-2\\b=-12a\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} d=3\\c=0\\a=\frac{1}{128}\\b=-\frac{3}{32}\end{cases}

Conclusion : g(x)=\frac{1}{128}x^3-\frac{3}{32}x^2+3

3.a
\begin{array} {|c|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|cc|} \hline x &0 & & 1 & & 2 & & 3 & & 4& & 5 & & 6 & & 7 & & 8 & \\ \hline {g(x)} & 3,0 & & 2,9 & &2,7& & 2,4& & 2,0 & & 1,6& & 1,3 & & 1,1& & 1,0 & \\ \hline \end{array}


3.b
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[


exercice 2

Partie A : Construction du motif


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Partie B : Quelques propriétés géométriques


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1. Tangente commune
a. L'arc reliant A à B' a pour centre K. Par symétrie par rapport au point B', l'arc reliant B' à C a pour centre un point de la droite (KB'), c'est-à-dire un point de la droite (KJ)

b. La droite (KJ) est perpendicualire à la droite (BC) donc à (B'C') (droite des milieux).
En B', la tangente à l'arc reliant A à B' est la droite (B'C')
Par symétrie par rapport à B', la tangente en B' à l'arc reliant B' à C est encore la droite (B'C') (puisque passe par le centre de symétrie)
Donc en B', les arcs reliant A à B' d'une part et B' à C d'autre part ont même tangente (B'C')

2. Tangente au sommet
a. La droite (IJ) est perpendiculaire à (BC')
Or, (A'B') est parallèle à (AB) (droite des milieux) donc (IJ) est perpendiculaire à (A'B')

b. Le triangle B'A'J est rectangle en A'. Par symétrie par rapport à la droite (KJ) le triangle B'CJ est rectangle en C.

c. De même qu'en 1.b , on peut démontrer que la tangente en A' à l'arc reliant A' à C est la droite (B'A')
Par symétrie par rapport à (B'J), la tangente en C est donc la symétrique de (B'A') par rapport à (B'J) soit la droite (B'C).
La tangente en C à l'arc reliant A' à C est la droite (B'C).

Partie C : pavage du plan


1. Il suffit de réaliser des rotations de centre A, B ou C (voir figure) d'angle 60°

2.a

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b. Il suffit de réaliser des rotations d'angle 120°.
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exercice 3


1. \log (10^5\times 2,2)=\log 10^5+\log 2,2=5+\log 2,2

2. \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{GE}.\overrightarrow{EH}=-\overrightarrow{EH}.\overrightarrow{EG}=-9

3. 8+2x^3=20\Leftrightarrow 2x^3=12\Leftrightarrow x^3=6 \Leftrightarrow x=6^{\frac{1}{3}

4. Le cosinus doit être négatif donc la réponse est : \cos \widehat{BAC}=\dfrac{-1}{4}

5. La réponse est 120°
Explication avec une figure :
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