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Sujet et correction Bac STMG 2016 Mathématiques

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exercice 1


Partie A
1. A la calculatrice, l'équation de la droite (D) est y=-3,08x+177,7
2.a)
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2.b) En 2020, on a x=25 et y=-3,1\times 25 + 177,7=100,2 > 95 donc d'après ce modèle, la France n'attendra pas son objectif.

Partie B
1. Le taux d'évolution entre 1995 et 2013 est égal à \frac{117-173}{173}\approx -32,4\%
2. le taux d'évolution moyen annuel, t, vérifie l'équation :

(1+\frac{t}{100})^{18}=1-0,324 \text{ donc } 1+\frac{t}{100}=0,676^{\frac{1}{18}} \text{ donc } \frac{t}{100} = 0,676^{\frac{1}{18}}-1 \\ t=100\times (0,676^{\frac{1}{18}}-1)\approx -2,2

Le taux moyen annuel correspond donc à une baisse de  2,2\%
Partie C
1. a) u_1=u_0\times(1-0,021)=117\times 0,979\approx 114,5

1. b) u_2=u_1\times0,979\approx 112,1

2. Pour passer de n'importe quel terme de la suite à son suivant, on le multiplie par un même nombre égal à 0,979 donc la suite est géométrique de raison q=0,979.

3. (Un)_n étant géométrique de raison q=0,979 et de 1er terme u_0=117, on déduit que \forall n \in \mathbb{N}, u_n = 117 \times 0,979^n

4. l'année 2020 correspond à n=7 donc u_7=117\times 0,979^7\approx 100,8>95 donc la France n'atteindra pas l'objectif fixé.

exercice 2

Partie A
1.
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2. a) S\cap T correspond à l'événement « la personne a plus de 50 ans et trie le papier ».
2. b) P(S\cap T)=0,35\times 0,6=0,21

3. Calculer la probabilité de l'événement : « la personne interrogée a moins de 35 ans et trie le papier »revient à calculer P(J\cap T)=0,25\times 0,8=0,2

4. On veut calculer P(T). Or d'après les probabilités totales, on a :
P(T)=P(T\cap J)+P(T\cap M)+P(T\cap S)=0,2+0,4\times 0,7+0,35\times 0,6=0,69

5. On veut calculer P_T(J)=\frac{P(T\cap J)}{P(T)}=\frac{0,2}{0,69}\approx 0,29

Partie B
1. On considère la variable aléatoire X égale au nombre de personnes parmi les trois personnes choisies au hasard, triant le papier.
Les trois tirages sont indépendants, avec remise et identiques.

Chaque tirage a uniquement deux issues possibles T \text{ et } \bar{T} de probabilité p=0,69.

On déduit que la variable aléatoire X égale au nombre de personnes parmi les trois personnes choisies au hasard, triant le papier suit une loi binomiale de paramètres n=3 et p=0,69.

On déduit que P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-(1-0,69)^3\approx 0,97 ainsi la probabilité que, parmi les trois personnes choisies au hasard, une au moins trie le papier est environ égale à 0,97.

2. Un intervalle de confiance au niveau 95 % est
I=[0,69-\frac{1}{\sqrt{1500}};0,69+\frac{1}{\sqrt{1500}}]\approx [0,66;0,72]

exercice 3


Partie A
1. f est dérivable sur [1;11] comme fonction polynôme du 2nd degré.
Soit 1\leq x \leq 11, f'(x)=0,22x-0,66

2. f'(x)\geq 0 \Leftrightarrow x\geq\frac{0,66}{0,22}=3 donc la fonction est décroissante sur [1;3] et croissante sur [3;11]. On déduit le tableau de variations de f.

\begin{array} {|c|cccccc|} \hline x &1 & & 3 & & 11 & \\ \hline {f'(x)} & & - & 0 & + & & \\ \hline {f} &^{1.31} & \searrow &_{0.87 }& \nearrow &^{7.91} & \\ \hline \end{array}


3. La fonction est décroissante sur [1;3] puis croissante sur [3;11] donc admet un minimum en x=3 qui vaut 0,87.

Partie B
1. a)
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
f(x) 1,3 1 0,9 1 1,3 1,9 2,6 3,6 4,8 6,3 7,9


1. b)
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1. c) Le modèle semble le plus éloigné de la réalité en 2014 mais en est assez éloigné en 2008 et 2009 .

2. Pour x=13, on a f(13)=0,11\times 13^2-0,66\times 13+1,86\approx 11,9
On peut estimer à environ 11,9 millions de disques vinyles vendus en 2016 selon ce modèle.
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