2. Répondre par Vrai ou Faux à chacune des propositions suivantes (aucune justification n'est demandée) .
a) .
b) .
c) .
d) .
3.a) Montrer que pour tout réel , on a : .
b) Déterminer pour tout réel .
4. Soit la tangente à la courbe de au point d'abscisse zéro . Montrer qu'une équation de est .
5. On a représenté ci-dessous deux courbes et .
a) Préciser , parmi ces deux courbes , celle de et celle de .
b) Résoudre graphiquement , dans , l'inéquation .
7 points
exercice 2
Le tableau ci-dessous donne pour chaque ville la température annuelle moyenne en (degrées Celsius) ainsi que les précipitations annuelles moyennes en (millimètre) .
NB : Dans ce qui suit , tous les résultats seront arrondis au centième .
1.a) Calculer les moyennes respectivement des variables .
b) En déduire les coordonnées du point moyen du nuage de la série statistique .
2. Représenter le nuage de la série statistique dans l'annexe ci-jointe et placer le point .
3.a) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de la série statistique .
b) Justifier que l'on peut procéder à un ajustement affine par les moindres carrés de la série statistique .
c) Déterminer une équation de la droite de régression de en .
4. Sachant que la température annuelle moyenne à Kairouan est (degrés Celsius) , estimer les précipitations annuelles moyennes en (mm) pour cette ville .
6 points
exercice 3
Une épreuve consiste à lancer deux dés cubiques parfaits : un blanc dont les faces sont numérotées , et un vert dont les faces sont numérotées .
1.a) Recopier et compléter le tableau suivant :
b) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants :
A: "Obtenir deux nombres pairs" .
B: "Obtenir un nombre impair et un nombre pair" .
c) On désigne par S la somme des deux numéros portés sur les deux faces supérieures des deux dés. Montrer que la probabilité pour que "S=4" est égale à .
2. On repète l'épreuve précédente deux fois de suite . Déterminer la probabilité d'obtenir une seule fois une somme égale à .
4)Une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse zéro s'écrit:
Or d'après 1), on a
De plus,
En remplaçant dans l'équation, on trouve:
5-a)
Ce qui veut dire que la fonction est une fonction croissante, on en déduit donc que:
b) Résoudre graphiquement l'inéquation revient à trouver l'intervalle auquel appartient tel que la courbe représentative de se trouve en dessous de l'axe des abscisses.
Et puisque la partie du plan dans laquelle se trouve en dessous de l'axe des abscisses est marquée en rose sur la figure suivante:
Donc, l'ensemble des solutions de l'inéquation est:
exercice 2
1-a) Calculons les moyennes respectivement des variables
On a :
Conclusion:
b) Les coordonnées du points moyen sont par définition, comme abscisse et comme ordonnée, donc:
2)
3-a) En saisissant les données de et , on trouve avec la calculatrice:
Remarque:
Cliquez pour afficher
Pour les candidats qui n'ont pas droit de se servir d'une calculatrice de statistiques, voici comment calculer le coefficient de corrélation:
Avec la covariance de , et et respectivement les variances de .
On obtient donc:
b) Le coefficient de corrélation est très proche de , alors:
c) La calculatrice de statistiques donne:
Remarque:
Cliquez pour afficher
Pour les candidats qui n'ont pas droit de se servir d'une calculatrice de statistiques:
L'équation cartésienne de la droite de régression linéaire est de la forme avec
Calculons
On conclut alors que:
4) La température annuelle moyenne à Kairouan est (degrés Celsius) , donc , il s'ensuit que:
exercice 3
1-a) On complète le tableau:
b) On a couples dans le tableau, donc :
A: "Obtenir deux nombres pairs" .
Le seul nombre pair étant , alors le seul résultat possible est
B: "Obtenir un nombre impair et un nombre pair" .
Il faut prendre tous les couples dans lesquels figure le nombre pair 2 une seule fois , donc les couples et puisqu'il y en a de ces couples au total dans le tableau, alors:
c) On peut obtenir . Et puisqu'il y en a de ces couples dans le tableau, alors :
2) On repète l'épreuve précédente deux fois de suite, et on ne doit obtenir qu'une seule fois, donc, la probabilité recherchée est:
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et 
deux fonctions définies sur 
par :
=e^{2x}-1\enskip\text{ et }\enskip g(x)=e^{-2x}-1)
)
.
)
et )
.
=-1)
.
=-\infty)
.
=-\infty)
.
=+\infty)
.
, on a : =\left(\sqrt{2}e^x\right)^2)
.
)
pour tout réel 
la tangente à la courbe de 
.
et 
.
\leq 0)
.
respectivement des variables 
.
du nuage de la série statistique )
.
de la série statistique 
en 
.
(degrés Celsius) , estimer les précipitations annuelles moyennes en (mm) pour cette ville .
, et un vert dont les faces sont numérotées 
.
.
.
=e^{2\times 0}-1=e^0-1=1-1=0\Longrightarrow \boxed{f(0)=0})
=e^{-2\times 0}-1=e^0-1=1-1=0\Longrightarrow \boxed{g(0)=0})
Cliquez pour afficher
=\left(e^{2x}-1\right)'=(e^{2x})'-1'=(2x)'e^{2x}-0=2e^{2x}=(\sqrt{2})^2(e^{x})^2=(\sqrt{2}e^x)^2)
=\left(\sqrt{2}e^x\right)^2 })
=\left(e^{-2x}-1\right)'=(e^{-2x})'-1'=(-2x)'e^{-2x}-0=-2e^{2x}=-\left(\sqrt{2}e^x\right)^2)
=-\left(\sqrt{2}e^x\right)^2 })
à la courbe de (x-0)+f(0))
=0)
=\left(\sqrt{2}e^0\right)^2=(\sqrt{2}\times 1)^2=\sqrt{2}^2=2)
+0\Longrightarrow \boxed{T\text{ : }y=2x} )
=\left(\sqrt{2}e^x\right)^2\text{, donc }f'(x)\geq 0)
respectivement des variables 
 =\dfrac{118,8}{6}= 19,8)
 =\dfrac{2155}{6}=359,17)
comme abscisse et 
comme ordonnée, donc:
})
est très proche de 
, alors:
})
, il s'ensuit que:
couples dans le tableau, donc 
:
, alors le seul résultat possible est \text{ , on a 6 de ces couples dans le tableau, il s'ensuit alors que:})
=\dfrac{6}{36}\Longrightarrow \boxed{P(A)=\dfrac{1}{6}})
\text{ ; }(1,2)\text{ et }(3,2)\text{ , })
et puisqu'il y en a 
de ces couples au total dans le tableau, alors:
=\dfrac{18}{36}\Longrightarrow \boxed{P(B)=\dfrac{1}{2}})
\text{ , soit }(3,1))
. Et puisqu'il y en a 
de ces couples dans le tableau, alors :
=\dfrac{10}{36}\Longrightarrow \boxed{P(S=4)=\dfrac{5}{18}} )
qu'une seule fois, donc, la probabilité recherchée est:
![\begin{matrix}P&=&P(S=4)\times P(S\neq 4)&=& P(S=4)\left[1-P(S=4)\right]\\&=&\dfrac{5}{18}\left(1-\dfrac{5}{18}\right)&=&\dfrac{5}{18}\times \dfrac{13}{18}\\&=&\dfrac{65}{324}\end{matrix}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\begin{matrix}P&=&P(S=4)\times P(S\neq 4)&=& P(S=4)\left[1-P(S=4)\right]\\&=&\dfrac{5}{18}\left(1-\dfrac{5}{18}\right)&=&\dfrac{5}{18}\times \dfrac{13}{18}\\&=&\dfrac{65}{324}\end{matrix})
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