Fiche de mathématiques

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Bac STD2A Mathématiques Polynésie 2018

Durée : 3 heures

Coefficient : 2

10 points

exercice 1

5 points

exercice 2

5 points

exercice 3

Correction

Bac STD2A Polynésie 2018

10 points

exercice 1

Partie A

Soit la fonction f définie sur

par $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.$

1. Expression de la dérivée de f

$f'(x)=(ax^3)'+(bx^2)'+(cx)'+d' \\\phantom{f'(x)}=a\times3x^2+b\times2x+c+0 \\\phantom{f'(x)}=3ax^2+2bx+c \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3ax^2+2bx+c}$

${\red{2.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\text{La courbe représentative de }f\ \text{passe par le point }O\\\text{La tangente en }O\ \text{a pour coefficient directeur }-0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times0^3+b\times0^2+c\times0+d=0\\3a\times0^2+2b\times0+c=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0+0+0+d=0\\0+0+c=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}d=0\\c=-0,6\end{matrix}\right.}$
D'où l'expression de la fonction f est de la forme : $\boxed{f(x)=ax^3+bx^2-0,6x}$

${\red{3.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\text{La courbe représentative de }f\ \text{passe par le point }A(6\,;\,3,6)\\\text{La tangente en }A\ \text{est horizontale}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(6)=3,6\\f'(6)=0\ \ \end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times6^3+b\times6^2-0,6\times6=3,6\\3a\times6^2+2b\times6-0,6=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}216a+36b-3,6=3,6\\108a+12b-0,6=0\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}216a+36b=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}$

${\red{4.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}216a+36b=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3(72a+12b)=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=\dfrac{7,2}{3}\\\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}$

5. Résolvons le système $\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.$

$\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\108a+(2,4-72a)=0,6\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a+2,4=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a=0,6-2,4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a=-1,8\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.$

$.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\a=\dfrac{-1,8}{36}=-0,05\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72\times(-0,05)\\a=-0,05\end{matrix}\right. \\\\\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=6\\a=-0,05\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=\dfrac{6}{12}=0,5\\a=-0,05\end{matrix}\right. \\\\\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-0,05\\b=0,5\end{matrix}\right.}$

D'où l'expression de la fonction f est $\boxed{\blue{f(x)=-0,05x^3+0,5x^2-0,6x}}$

Partie B

1. Expression de la dérivée de f

$f'(x)=-0,05\times3x^2+0,5\times2x-0,6\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-0,15x^2+x-0,6}$
2. Signe de la dérivée f'

Résolvons dans

l'équation : -0,15x ² + x - 0,6 = 0

$\text{Discriminant : }\Delta=1^2-4\times(-0,15)\times(-0,6)=1-0,36=0,64\0 \\\\\text{Racines de }f': \\\\\ \ \ \ x_1=\dfrac{-1-\sqrt{0,64}}{2\times(-0,15)}=\dfrac{-1-0,8}{-0,3}=\dfrac{-1,8}{-0,3}=6 \\\\\ \ \ \ x_2=\dfrac{-1+\sqrt{0,64}}{2\times(-0,15)}=\dfrac{-1+0,8}{-0,3}=\dfrac{-0,2}{-0,3}=\dfrac{2}{3}$

Puisqu'il y a deux racines, le trinôme du second degré -0,15x ²+x - 0,6 sera toujours du signe du coefficient de x ² (soit négatif) sauf entre les racines (où il sera positif).

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée f' :

$\begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&\dfrac{2}{3}&&6&&+\infty&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& f'(x)=-0,15x^2+x-0,6&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array} \\\\\\ {\text{Par conséquent, }\blue\text{si }x\in]-\infty\,;\,\dfrac{2}{3}]\cup[6\,;\,+\infty[,\ f'(x)\le0} \\\phantom{\text{Par conséquent,} }\blue\text{ si }x\in[\dfrac{2}{3}\,;\,6],\ f'(x)\ge0$

3. Variations de la fonction f sur l'intervalle [0 ; 6]

$\text{Calculs préliminaires : }f(0)=0\\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(\dfrac{2}{3})=-0,05\times(\dfrac{2}{3})^3+0,5\times(\dfrac{2}{3})^2-0,6\times\dfrac{2}{3}=-\dfrac{26}{135}\approx-0,19 \\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(6)=3,6 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\text{ sur [0 ; 6]}} :\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac{2}{3}&&6\\ &&&&& \\\hline f'(x)&&-&0&+&0\\\hline&0&&&&3,6\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-\dfrac{26}{135}\approx-0,19&&\\\hline \end{array}$

Nous en déduisons que f est décroissante sur l'intervalle $[0\,;\,\dfrac{2}{3}]$ et est croissante sur l'intervalle $[\dfrac{2}{3}\,;\,6].$

4. L'ordonnée du point E d'abscisse 4 est la valeur de f (4).
$\overset{.}{f(4)=-0,05\times4^3+0,5\times4^2-0,6\times4\Longrightarrow\boxed{f(4)=2,4}}$
Donc l'ordonnée du point E d'abscisse 4 est égale à 2,4.
Les coordonnées de ce point E sont (4 ; 2,4).

5. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point E est la valeur de f' (4).

$f'(x)=-0,15x^2+x-0,6\Longrightarrow f'(4)=-0,15\times4^2+4-0,6 \\\phantom{f'(x)=-0,15x^2+x-0,6}\Longrightarrow\boxed{f'(4)=1}$
Nous en déduisons que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point E est égal à 1.

Partie C

${\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R=DE \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(x_E-x_D)^2+(y_E-y_D)^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(4-6,4)^2+(2,4-0)^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(-2,4)^2+2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{2,4^2+2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{2\times2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=2,4\sqrt{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R=2,4\sqrt{2}}$

2. a. Nous savons que l'équation cartésienne réduite d'un cercle de centre omegamaj

(a ; b ) et de rayon R est : $\overset{.}{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}$
Par conséquent, l'équation du cercle $\mathcal{C}$ de centre D(6,4 ; 0) et de rayon $R=2,4\sqrt{2}$ est : $(x-6,4)^2+(y-0)^2=(2,4\times\sqrt{2})^2$ , soit $\boxed{(x-6,4)^2+y^2=11,52}$

2. b. Le point A(6 ; 3,6) appartient au cercle $\mathcal{C}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du cercle $\mathcal{C}$ .

$\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2=0,16+12,96 \\\phantom{\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2}=13,12 \\\phantom{\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2}\red{\neq11,52}$
Les coordonnées du point A ne vérifient pas l'équation du cercle $\mathcal{C}$ .
D'où le point A n'appartient pas au cercle $\mathcal{C}$ .

2. c. Dans l'équation du cercle $\mathcal{C}$ , remplaçons y par 1 et calculons les valeurs de x .

$(x-6,4)^2+1^2=11,52\Longleftrightarrow(x-6,4)^2+1=11,52 \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow(x-6,4)^2=10,52 \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow x-6,4=\sqrt{10,52}\ \ \text{ou}\ \ x-6,4=-\sqrt{10,52} \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow x=6,4+\sqrt{10,52}\approx9,64\ \ \text{ou}\ \ x=6,4-\sqrt{10,52}\approx3,16$

Les coordonnées des points du cercle $\mathcal{C}$ d'ordonnée 1 sont $(6,4+\sqrt{10,52}\,;1)\ \ \text{et}\ \ (6,4-\sqrt{10,52}\,;1).$
Puisque le point F est le point de plus grande ordonnée, les coordonnées de F sont $(6,4+\sqrt{10,52}\,;1).$

3. Soit B(6 ; 4,4).

3. a) Le coefficient directeur de la droite (BE) est égal à $\dfrac{y_E-y_B}{x_E-x_B}=\dfrac{2,4-4,4}{4-6}=\dfrac{-2}{-2}=1$

Le coefficient directeur de la droite (DE) est égal à $\dfrac{y_E-y_D}{x_E-x_D}=\dfrac{2,4-0}{4-6,4}=\dfrac{2,4}{-2,4}=-1$

Puisque le produit de ces coefficients directeurs vaut -1, la droite (BE) est perpendiculaire au rayon (DE) du cercle $\mathcal{C}$ en E.
Par conséquent, la droite (BE) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ en E.

3. b) Le coefficient directeur de la droite (BE) est égal à 1 (voir question 3. a).

4. Nous avons montré dans la Partie B (question 5) que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point E est égal à 1.
Nous avons également montré dans la partie C (questions 3a et 3b) que la droite (BE) est tangente au cercle $\mathcal{C}$ en E et que le coefficient directeur de cette tangente (BE) est égal à 1.

Nous en déduisons que la droite (BE) est la tangente commune à la courbe représentative de la fonction f et au cercle $\mathcal{C}$ en E.

Partie D

Ci-dessous la représentation du profil de la potence (courbe de couleur rouge)

5 points

exercice 2

${\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a:}\ \dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1}}$
Nous savons qu'une ellipse de demi-axes a et b et dont le centre a pour coordonnées ( alpha

;

) admet comme

équation cartésienne : $\dfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\dfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1.$
Le centre O de l'ellipse a pour coordonnées (1 ; 0) et les demi-axes ont pour longueurs 5 et 4.
Le grand axe de l'ellipse est parallèle à l'axe des abscisses.

Par conséquent, une équation de cette ellipse est : $\dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$

La réponse a) est donc correcte.

${\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ 1-\text{log}(a)}}$
Le log étant décimal, nous savons que log(10)=1.

$\text{Dès lors, }\ {\red{\text{log}\left(\dfrac{10}{a}\right)}}=\text{log}(10)-\text{log}(a)=\red{1-\text{log}(a)}$

${\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d:}\ 44,4}}$
En appliquant la loi des cosinus dans le triangle ABC, nous obtenons :

$AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})\Longleftrightarrow5^2=7^2+6^2-2\times 7\times 6\times\cos(\widehat{ABC}) \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow25=85-84\times\cos(\widehat{ABC}) \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow84\times\cos(\widehat{ABC})=85-25 \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow84\times\cos(\widehat{ABC})=60 \\\\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{60}{84} \\\\\Longrightarrow \boxed{mes(\widehat{ABC})=\cos^{-1}(\dfrac{60}{84})\approx44,4^{\text{o}}}$

${\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ -6}}$
Déterminons les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ .
$\overset{.}{\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A\,;y_B-y_A)=(-4-1\,;2-3)=(-5\,;-1)} \\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A\,;y_C-y_A)=(3-1\,;-1-3)=(2\,;-4) \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}} \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=(-5)\times2+(-1)\times(-4) \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-10+4 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6}$

${\red{\text{5. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ f(a)>a}}$
Etudions la croissance la fonction f .
$\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\ f'(x)=(x^{0,25})'=0,25 \,x^{0,25-1}=0,25 \,x^{-0,75}=\dfrac{0,25}{x^{0,75}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{0,25}{x^{0,75}}} \\\\\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\left\lbrace\begin{matrix}0,25>0\\x^{0,75}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \dfrac{0,25}{x^{0,75}}>0\\ \phantom{\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\left\lbrace\begin{matrix}0,25>0\\x^{0,75}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ }\Longrightarrow\ \ \ \boxed{f'(x)>0}$

Donc la fonction f est strictement croissante sur [0 ; +[.

La réponse a) n'est pas correcte.

$\text{En effet, }0\le a<1\Longrightarrow f(a)<f(1)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, }0\le a<1}\Longrightarrow f(a)<1\ \ \ \text{(car }f(1)=1^{0,25}=1) \\\phantom{\text{En effet, }0\le a<1}\Longrightarrow \boxed{{\red{f(a)\ngtr 1}}}$

La réponse b) n'est pas correcte.

$\text{En effet, }b>1\Longrightarrow f(b)>f(1)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, }b>1}\Longrightarrow f(b)>1\ \ \ \text{(car }f(1)=1^{0,25}=1) \\\phantom{\text{En effet, }b>1}\Longrightarrow \boxed{{\red{f(b)\nless 1}}}$

La réponse d) n'est pas correcte.

$\\\text{En effet, } 0\le a<1\ \ \text{et}\ b>1\Longrightarrow a < b \\\phantom{\text{En effet, } 0\le a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow f(a)<f(b)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, } 0\le a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow f(b)>f(a) \\\phantom{\text{En effet, } 0\le a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow \boxed{\red{f(b)\nless f(a)}}$

Par élimination des réponses, nous en déduisons que la réponse correcte est la réponse c).

5 points

exercice 3

Partie A - Représentation en perspective centrale, vue extérieure

Ci-dessous, un exemple d'étapes à suivre pour obtenir la représentation en perspective centrale de cette kaïma.
Le point de fuite omega

est le point d'intersection de la droite (cf) avec la ligne d'horizon deltamaj

.
Tracer la droite (b omega

).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (bc) qui coupe (b omega

) en g.
Tracer d'une part une droite parallèle à (cd) passant par b, d'autre part une droite parallèle à (bc) passant par
le point d.
Ces deux droites se coupent en a.
Tracer les droites (a omega

) et (d

).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (cd) qui coupe (d omega

) en e.
Par le point e, tracer une droite parallèle à (bc) qui coupe (a omega

) en h.
Tracer le segment [gh].
Par le milieu m du segment [bc], tracer une droite parallèle à (cd) sur laquelle nous plaçons le point m' tel que la longueur de [mm'] soit le double de la longueur de [cd].
Tracer [m' omega

].
Tracer les droites (gc) et (bf) qui se coupent en p.
Par p, tracer une droite parallèle à (mm') qui coupe la droite (m' omega

) en k.
Tracer les segments [ak], [dk], [ek] et [hk].

Partie B - Représentation en perspective centrale du tapis de sol.

1. Le triangle n°1 a pour image le triangle n°2 par une symétrie orthogonale d'axe (IQ).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°3 par une rotation de centre Q et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une horloge (soit d'un angle orienté de -90°).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°4 par une symétrie orthogonale d'axe (HQ).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°5 par une symétrie centrale de centre Q.

2. Représentation en perspective centrale du tapis

Ci-dessous, un exemple d'étapes à suivre pour obtenir cette représentation.

Le point de fuite omega

est le point d'intersection de la droite (cf) avec la ligne d'horizon deltamaj

.
Les points l, m et n sont les milieux respectifs des segments [bc], [bl] et [lc].
Tracer les droites (b omega

], (m

), (l

) et (n

).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (bc) coupant la droite (b omega

) en g.
Tracer les droites (bf) et (cg) se coupant en p.
Les droites (bf) et (m omega

) se coupent en q.
Les droites (bf) et (n omega

) se coupent en r.
Par le point q, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (b omega

) en s et (c omega

) en t.
Par le point p, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (b omega

) en u et (c omega

) en v.
Par le point r, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (b omega

) en w et (c omega

) en j.
Le point o est le milieu du segment [gf].
Tracer les segments [ul], [uo], [ov] et [lv].
Colorier les triangles concernés.

Publié par malou le 16-03-2019

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