Fiche de mathématiques
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Bac STD2A Mathématiques Polynésie 2018

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Durée : 3 heures

Coefficient : 2
10 points

exercice 1


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exercice 2


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exercice 3


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Bac STD2A Polynésie 2018

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10 points

exercice 1

Partie A

Soit la fonction f  définie sur R par  f(x)=ax^3+bx^2+cx+d.

1.   Expression de la dérivée de f 

f'(x)=(ax^3)'+(bx^2)'+(cx)'+d' \\\phantom{f'(x)}=a\times3x^2+b\times2x+c+0 \\\phantom{f'(x)}=3ax^2+2bx+c \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=3ax^2+2bx+c}

{\red{2.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\text{La courbe représentative de }f\ \text{passe par le point }O\\\text{La tangente en }O\ \text{a pour coefficient directeur }-0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(0)=0\\f'(0)=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times0^3+b\times0^2+c\times0+d=0\\3a\times0^2+2b\times0+c=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}0+0+0+d=0\\0+0+c=-0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}d=0\\c=-0,6\end{matrix}\right.}
D'où l'expression de la fonction f  est de la forme :  \boxed{f(x)=ax^3+bx^2-0,6x}

{\red{3.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}\text{La courbe représentative de }f\ \text{passe par le point }A(6\,;\,3,6)\\\text{La tangente en }A\ \text{est horizontale}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}f(6)=3,6\\f'(6)=0\ \ \end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}a\times6^3+b\times6^2-0,6\times6=3,6\\3a\times6^2+2b\times6-0,6=0\ \ \ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}216a+36b-3,6=3,6\\108a+12b-0,6=0\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}216a+36b=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}

{\red{4.\ }}\ \left\lbrace\begin{matrix}216a+36b=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}3(72a+12b)=7,2\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=\dfrac{7,2}{3}\\\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right. \\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}

5.   Résolvons le système  \left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.

\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\108a+(2,4-72a)=0,6\end{matrix}\right. \\\\\phantom{\left\lbrace\begin{matrix}72a+12b=2,4\\108a+12b=0,6\end{matrix}\right.}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a+2,4=0,6\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a=0,6-2,4\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\36a=-1,8\ \ \ \ \ \ \end{matrix}\right.

.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72a\\a=\dfrac{-1,8}{36}=-0,05\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=2,4-72\times(-0,05)\\a=-0,05\end{matrix}\right. \\\\\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}12b=6\\a=-0,05\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=\dfrac{6}{12}=0,5\\a=-0,05\end{matrix}\right. \\\\\phantom{aaaaaaaaaaaaaaaa}\Longleftrightarrow\boxed{\left\lbrace\begin{matrix}a=-0,05\\b=0,5\end{matrix}\right.}

D'où l'expression de la fonction f  est  \boxed{\blue{f(x)=-0,05x^3+0,5x^2-0,6x}}

Partie B

1.   Expression de la dérivée de f 

f'(x)=-0,05\times3x^2+0,5\times2x-0,6\Longrightarrow\boxed{f'(x)=-0,15x^2+x-0,6}
2.  Signe de la dérivée f' 

Résolvons dans R l'équation : -0,15x ² + x  - 0,6 = 0

\text{Discriminant : }\Delta=1^2-4\times(-0,15)\times(-0,6)=1-0,36=0,64\0 \\\\\text{Racines de  }f': \\\\\ \ \ \ x_1=\dfrac{-1-\sqrt{0,64}}{2\times(-0,15)}=\dfrac{-1-0,8}{-0,3}=\dfrac{-1,8}{-0,3}=6 \\\\\ \ \ \ x_2=\dfrac{-1+\sqrt{0,64}}{2\times(-0,15)}=\dfrac{-1+0,8}{-0,3}=\dfrac{-0,2}{-0,3}=\dfrac{2}{3}

Puisqu'il y a deux racines, le trinôme du second degré -0,15x ²+x - 0,6 sera toujours du signe du coefficient de x ² (soit négatif) sauf entre les racines (où il sera positif).

Nous obtenons ainsi le tableau de signes de la dérivée f'  :

       \begin{array}{|c|ccccccc|}\hline &&&&&&&&x&-\infty&&\dfrac{2}{3}&&6&&+\infty&&&&&&&& \\\hline&&&&&&&& f'(x)=-0,15x^2+x-0,6&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\\hline \end{array} \\\\\\ {\text{Par conséquent, }\blue\text{si }x\in]-\infty\,;\,\dfrac{2}{3}]\cup[6\,;\,+\infty[,\ f'(x)\le0} \\\phantom{\text{Par conséquent,} }\blue\text{ si }x\in[\dfrac{2}{3}\,;\,6],\ f'(x)\ge0

3.  Variations de la fonction f  sur l'intervalle [0 ; 6]

\text{Calculs préliminaires : }f(0)=0\\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(\dfrac{2}{3})=-0,05\times(\dfrac{2}{3})^3+0,5\times(\dfrac{2}{3})^2-0,6\times\dfrac{2}{3}=-\dfrac{26}{135}\approx-0,19 \\\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}f(6)=3,6 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }f\text{ sur [0 ; 6]}} :\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline &&&&&\\x&0&&\dfrac{2}{3}&&6\\ &&&&& \\\hline f'(x)&&-&0&+&0\\\hline&0&&&&3,6\\ f(x)&&\searrow&&\nearrow&\\&&&-\dfrac{26}{135}\approx-0,19&&\\\hline \end{array}

Nous en déduisons que f  est décroissante sur l'intervalle  [0\,;\,\dfrac{2}{3}]  et est croissante sur l'intervalle  [\dfrac{2}{3}\,;\,6]. 

4.   L'ordonnée du point E d'abscisse 4 est la valeur de f (4).
\overset{.}{f(4)=-0,05\times4^3+0,5\times4^2-0,6\times4\Longrightarrow\boxed{f(4)=2,4}}
Donc l'ordonnée du point E d'abscisse 4 est égale à 2,4.
Les coordonnées de ce point E sont (4 ; 2,4).


5.   Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f  au point E est la valeur de f' (4).

f'(x)=-0,15x^2+x-0,6\Longrightarrow f'(4)=-0,15\times4^2+4-0,6 \\\phantom{f'(x)=-0,15x^2+x-0,6}\Longrightarrow\boxed{f'(4)=1}
Nous en déduisons que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f  au point E est égal à 1.

Partie C


{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R=DE \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(x_E-x_D)^2+(y_E-y_D)^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(4-6,4)^2+(2,4-0)^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{(-2,4)^2+2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{2,4^2+2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=\sqrt{2\times2,4^2} \\\phantom{{\red{1.\ }}\ \text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R}=2,4\sqrt{2} \\\\\Longrightarrow\boxed{\text{Le rayon du cercle }\mathcal{C}\ \text{est }R=2,4\sqrt{2}}

2. a.   Nous savons que l'équation cartésienne réduite d'un cercle de centre omegamaj(a  ; b ) et de rayon R  est :  \overset{.}{(x-a)^2+(y-b)^2=R^2}
Par conséquent, l'équation du cercle  \mathcal{C}  de centre D(6,4 ; 0) et de rayon  R=2,4\sqrt{2}  est :  (x-6,4)^2+(y-0)^2=(2,4\times\sqrt{2})^2 , soit  \boxed{(x-6,4)^2+y^2=11,52}

2. b. Le point A(6 ; 3,6) appartient au cercle  \mathcal{C}  si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation du cercle  \mathcal{C}.

\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2=0,16+12,96 \\\phantom{\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2}=13,12 \\\phantom{\text{Or }\ (6-6,4)^2+3,6^2}\red{\neq11,52}
Les coordonnées du point A ne vérifient pas l'équation du cercle  \mathcal{C} .
D'où le point A n'appartient pas au cercle  \mathcal{C} .

2. c. Dans l'équation du cercle  \mathcal{C} , remplaçons y  par 1 et calculons les valeurs de x .

(x-6,4)^2+1^2=11,52\Longleftrightarrow(x-6,4)^2+1=11,52 \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow(x-6,4)^2=10,52 \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow x-6,4=\sqrt{10,52}\ \ \text{ou}\ \ x-6,4=-\sqrt{10,52} \\\phantom{(x-6,4)^2+1^2=11,52}\Longleftrightarrow x=6,4+\sqrt{10,52}\approx9,64\ \ \text{ou}\ \ x=6,4-\sqrt{10,52}\approx3,16

Les coordonnées des points du cercle  \mathcal{C}  d'ordonnée 1 sont  (6,4+\sqrt{10,52}\,;1)\ \ \text{et}\ \ (6,4-\sqrt{10,52}\,;1).
Puisque le point F est le point de plus grande ordonnée, les coordonnées de F sont  (6,4+\sqrt{10,52}\,;1).

3.  Soit B(6 ; 4,4).

3. a) Le coefficient directeur de la droite (BE) est égal à  \dfrac{y_E-y_B}{x_E-x_B}=\dfrac{2,4-4,4}{4-6}=\dfrac{-2}{-2}=1

Le coefficient directeur de la droite (DE) est égal à  \dfrac{y_E-y_D}{x_E-x_D}=\dfrac{2,4-0}{4-6,4}=\dfrac{2,4}{-2,4}=-1

Puisque le produit de ces coefficients directeurs vaut -1, la droite (BE) est perpendiculaire au rayon (DE) du cercle  \mathcal{C} en E.
Par conséquent, la droite (BE) est tangente au cercle  \mathcal{C}  en E.

3. b)  Le coefficient directeur de la droite (BE) est égal à 1 (voir question 3. a).

4.  Nous avons montré dans la Partie B (question 5) que le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f  au point E est égal à 1.
Nous avons également montré dans la partie C (questions 3a et 3b) que la droite (BE) est tangente au cercle  \mathcal{C}  en E et que le coefficient directeur de cette tangente (BE) est égal à 1.

Nous en déduisons que la droite (BE) est la tangente commune à la courbe représentative de la fonction f  et au cercle  \mathcal{C}  en E.

Partie D

Ci-dessous la représentation du profil de la potence (courbe de couleur rouge)

Bac STD2A Polynésie 2018  : image 18


5 points

exercice 2

{\red{\text{1. }}\blue{\mathbf{Réponse\ a:}\ \dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1}}
Nous savons qu'une ellipse de demi-axes a  et b et dont le centre a pour coordonnées (alpha ; beta) admet comme

équation cartésienne :  \dfrac{(x-\alpha)^2}{a^2}+\dfrac{(y-\beta)^2}{b^2}=1.
Le centre O de l'ellipse a pour coordonnées (1 ; 0) et les demi-axes ont pour longueurs 5 et 4.
Le grand axe de l'ellipse est parallèle à l'axe des abscisses.

Par conséquent, une équation de cette ellipse est :  \dfrac{(x-1)^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1

La réponse a) est donc correcte.

{\red{\text{2. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ 1-\text{log}(a)}}
Le log étant décimal, nous savons que log(10)=1.

\text{Dès lors, }\ {\red{\text{log}\left(\dfrac{10}{a}\right)}}=\text{log}(10)-\text{log}(a)=\red{1-\text{log}(a)}

{\red{\text{3. }}\blue{\mathbf{Réponse\ d:}\ 44,4}}
En appliquant la loi des cosinus dans le triangle ABC, nous obtenons :

AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})\Longleftrightarrow5^2=7^2+6^2-2\times 7\times 6\times\cos(\widehat{ABC}) \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow25=85-84\times\cos(\widehat{ABC}) \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow84\times\cos(\widehat{ABC})=85-25 \\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow84\times\cos(\widehat{ABC})=60 \\\\\phantom{AC^2=AB^2+BC^2-2\times AB\times BC\times\cos(\widehat{ABC})}\Longleftrightarrow\cos(\widehat{ABC})=\dfrac{60}{84} \\\\\Longrightarrow \boxed{mes(\widehat{ABC})=\cos^{-1}(\dfrac{60}{84})\approx44,4^{\text{o}}}


{\red{\text{4. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ -6}}
Déterminons les coordonnées des vecteurs  \overrightarrow{AB}  et  \overrightarrow{AC} .
\overset{.}{\overrightarrow{AB}:(x_B-x_A\,;y_B-y_A)=(-4-1\,;2-3)=(-5\,;-1)} \\\overrightarrow{AC}:(x_C-x_A\,;y_C-y_A)=(3-1\,;-1-3)=(2\,;-4) \\\\\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=x_{\overrightarrow{AB}}\times x_{\overrightarrow{AC}}+y_{\overrightarrow{AB}}\times y_{\overrightarrow{AC}} \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=(-5)\times2+(-1)\times(-4) \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-10+4 \\\phantom{\text{D'où }\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}=-6 \\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=-6}

{\red{\text{5. }}\blue{\mathbf{Réponse\ c:}\ f(a)>a}}
Etudions la croissance la fonction f .
\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\ f'(x)=(x^{0,25})'=0,25 \,x^{0,25-1}=0,25 \,x^{-0,75}=\dfrac{0,25}{x^{0,75}} \\\\\Longrightarrow\boxed{f'(x)=\dfrac{0,25}{x^{0,75}}} \\\\\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\left\lbrace\begin{matrix}0,25>0\\x^{0,75}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \Longrightarrow\ \ \ \dfrac{0,25}{x^{0,75}}>0\\ \phantom{\text{Pour tout }x\in[0\,;+\infty[,\left\lbrace\begin{matrix}0,25>0\\x^{0,75}>0\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ }\Longrightarrow\ \ \ \boxed{f'(x)>0}

Donc la fonction f  est strictement croissante sur [0 ; +infini[.

La réponse a) n'est pas correcte.

\text{En effet, }0\le a<1\Longrightarrow f(a)<f(1)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, }0\le a<1}\Longrightarrow f(a)<1\ \ \ \text{(car }f(1)=1^{0,25}=1) \\\phantom{\text{En effet, }0\le a<1}\Longrightarrow \boxed{{\red{f(a)\ngtr 1}}}

La réponse b) n'est pas correcte.

\text{En effet, }b>1\Longrightarrow f(b)>f(1)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, }b>1}\Longrightarrow f(b)>1\ \ \ \text{(car }f(1)=1^{0,25}=1) \\\phantom{\text{En effet, }b>1}\Longrightarrow \boxed{{\red{f(b)\nless 1}}}

La réponse d) n'est pas correcte.

\\\text{En effet, } 0\le a<1\ \ \text{et}\ b>1\Longrightarrow a < b  \\\phantom{\text{En effet, } 0\le  a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow f(a)<f(b)\ \ \ \text{(car }f\ \text{est srictement croissante sur }[0\,;+\infty[) \\\phantom{\text{En effet, } 0\le  a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow f(b)>f(a) \\\phantom{\text{En effet, } 0\le  a<1\ \ \text{et}\ b>1}\Longrightarrow \boxed{\red{f(b)\nless f(a)}}

Par élimination des réponses, nous en déduisons que la réponse correcte est la réponse c).

5 points

exercice 3

Partie A - Représentation en perspective centrale, vue extérieure

Ci-dessous, un exemple d'étapes à suivre pour obtenir la représentation en perspective centrale de cette kaïma.
Le point de fuite omega est le point d'intersection de la droite (cf) avec la ligne d'horizon deltamaj.
Tracer la droite (bomega).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (bc) qui coupe (bomega) en g.
Tracer d'une part une droite parallèle à (cd) passant par b, d'autre part une droite parallèle à (bc) passant par
      le point d.
      Ces deux droites se coupent en a.
 Tracer les droites (aomega) et (domega).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (cd) qui coupe (domega) en e.
Par le point e, tracer une droite parallèle à (bc) qui coupe (aomega) en h.
Tracer le segment [gh].
Par le milieu m du segment [bc], tracer une droite parallèle à (cd) sur laquelle nous plaçons le point m' tel que la longueur de [mm'] soit le double de la longueur de [cd].
Tracer [m'omega].
Tracer les droites (gc) et (bf) qui se coupent en p.
Par p, tracer une droite parallèle à (mm') qui coupe la droite (m'omega) en k.
Tracer les segments [ak], [dk], [ek] et [hk].

Bac STD2A Polynésie 2018  : image 17


Partie B - Représentation en perspective centrale du tapis de sol.

1.   Le triangle n°1 a pour image le triangle n°2 par une symétrie orthogonale d'axe (IQ).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°3 par une rotation de centre Q et d'angle 90° dans le sens des aiguilles d'une horloge (soit d'un angle orienté de -90°).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°4 par une symétrie orthogonale d'axe (HQ).
Le triangle n°1 a pour image le triangle n°5 par une symétrie centrale de centre Q.

2.  Représentation en perspective centrale du tapis

Bac STD2A Polynésie 2018  : image 16


Ci-dessous, un exemple d'étapes à suivre pour obtenir cette représentation.

Bac STD2A Polynésie 2018  : image 15


Le point de fuite omega est le point d'intersection de la droite (cf) avec la ligne d'horizon deltamaj.
Les points l, m et n sont les milieux respectifs des segments [bc], [bl] et [lc].
Tracer les droites (bomega], (momega), (lomega) et (nomega).
Par le point f, tracer une droite parallèle à (bc) coupant la droite (bomega) en g.
Tracer les droites (bf) et (cg) se coupant en p.
Les droites (bf) et (momega) se coupent en q.
Les droites (bf) et (nomega) se coupent en r.
Par le point q, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (bomega) en s et (comega) en t.
Par le point p, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (bomega) en u et (comega) en v.
Par le point r, tracer une droite parallèle à (bc) coupent (bomega) en w et (comega) en j.
Le point o est le milieu du segment [gf].
Tracer les segments [ul], [uo], [ov] et [lv].
Colorier les triangles concernés.

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