Fiche de mathématiques
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Bac STHR Polynésie 2018

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exercice 1

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exercice 1

Partie A

1.   Le taux global (en %) d'évolution des recettes entre 2012 et 2015 est donné par  
            \overset{.}{{\blue{\dfrac{\text{Recette en 2015}-\text{Recette en 2012}}{\text{Recette en 2012}}\times100}}=\dfrac{405,7-354,5}{354,5}\times100\approx14,4429.}
Donc le taux global d'évolution des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015 est environ égal à 14 % (valeur arrondie à 1 %).

2.  Le coefficient multiplicateur global Cg pour la période allant de l'année 2012 à l'année 2015 est  G_g=\dfrac{405,7}{354,5}\approx1,144429.
Puisque 3 années se sont écoulées entre 2012 et 2015, le coefficient multiplicateur annuel moyen est  \overset{.}{C_m=1,144429^{\frac{1}{3}}\approx1,04599.}
Le taux d'évolution annuel moyen est égal à  C_m-1\approx0,046  (valeur arrondie au millième).
Par conséquent, le taux annuel moyen (en pourcentage) d'évolution des recettes du tourisme en Europe entre 2012 et 2015 est environ égal à 0,046 multiplie 100 %, soit 4,6 %  (valeur arrondie à 0,1 %).

Partie B

1.  Une augmentation de 4,5 % par an correspond à un coefficient multiplicateur annuel de 1 + 0,045 = 1,045.

         u_1=1,045\times u_0  \\\phantom{u_1}= 1,045\times405,7  \\\phantom{u_1}= 423,9565 \\\phantom{u_1}\approx424,0\ \ \ (\text{arrondi au dixième)}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_1\approx424}

2.   La recette un +1  du tourisme en Europe en 2015+(n +1) s'obtient en multipliant par 1,045 la recette un  du tourisme en Europe en 2015+n.
Nous obtenons ainsi la relation  \red{u_{n+1} = 1,045\times u_n}
Par conséquent, la suite (un )  est une suite géométrique de raison q = 1,045 et dont le premier terme
est u 0 = 405,7.


3.   u_n=u_0\times(\text{raison})^{n}\Longrightarrow\boxed{u_n=405,7\times1,045^{n}}

4.   2020 = 2015 + 5.
L'indice n  correspondant aux recettes de 2020 est n  = 5.
\overset{.}{u_{5}=405,7\times1,045^{5}\approx505,576.}
Donc les recettes du tourisme en Europe en 2020 sont estimées à 505,6 milliards d'euros (valeur arrondie au dixième).

5. a.   Soit l'algorithme complété :

                 \begin{array}{|c|}\hline n\longleftarrow0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\u\longleftarrow405,7\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\text{Tant que  }u<550\ \  \\n\longleftarrow n+1\\\ \ \ \ u\longleftarrow {\red{1,045\times u}} \\\text{Fin Tant que}\ \ \ \ \ \ \ \  \\\hline\end{array}

5. b.   Tableau reprenant les premières valeurs successives prises par les variables n  et u .

                 \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline\text{Valeurs de }n&0&1&2&3&4&5&6&7& \hline \text{Valeurs de }u&405,7&424&443&463&483,8&505,6&528,3\ {\green{<550}}&552,1\ {\red{\ge550}}\\\hline \end{array}

La valeur de la variable n  à la fin de l'exécution de l'algorithme est n  = 7.

Partie C

1.   Arbre de probabilités permettant de modéliser la situation :

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{\red{2.}}\ \ P(\overline{F}\cap A)=P(\overline{F})\times P_{\overline{F}}(A) \\\phantom{{\red{2.}}\ \ P(\overline{F}\cap A)}=0,86\times0,15 \\\phantom{{\red{2.}}\ \ P(\overline{F}\cap A)}=0,129 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(\overline{F}\cap A)=0,129}

3.   Nous devons déterminer P(A).
En utilisant la formule des probabilités totales, nous obtenons :

P(A)=P(F\cap A)+P(\overline{F}\cap A) \\\phantom{P(A)}=P(F)\times P_F(A)+0,129 \\\phantom{P(A)}=0,14\times0,26+0,129 \\\phantom{P(A)}=0,0364+0,129 \\\phantom{P(A)}=0,1654 \\\\\Longrightarrow\boxed{P(A)=0,1654}
D'où, la probabilité que le touriste ait dépensé plus de 900 euros pour son séjour est égale à 0,1654.

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exercice 2

Depuis 2012, le responsable a testé plusieurs prix pour cette offre en fonction des options proposées.
Voici les résultats obtenus :

          \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline&&&&&\\\text{Prix proposé (en euros) : } {\red{x_i}}&\ \ 150\ \  &180&200& 250& 270\\&&&&&\\\hline &&&&&\\\text{Nombre d'offres

Partie A

1.   Déterminons les coordonnées (xG  ; yG ) du point moyen G  du nuage.

\left\lbrace\begin{matrix}x_G=\dfrac{150+180+200+250+270}{5}\\\\y_G=\dfrac{130+111+97+70+57}{5}\ \ \ \ \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \left\lbrace\begin{matrix}x_G=210\\\\y_G=93 \end{matrix}\right.

D'où les coordonnées du point G  sont (210 ; 93).

2. a.  L'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est  de la forme y  = ax  + b .
A l'aide de la calculatrice, nous obtenons a  = -0,6 et b  = 219.
D'où l'équation réduite de la droite d'ajustement de y  en x  est : y  = -0,6x  + 219.

2. b.   Représentation de la droite d'ajustement et du point moyen G .

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3.   Dans l'équation de la droite d'ajustement, remplaçons x  par 220 et calculons la valeur de y .
y  = -0,6multiplie220 + 219 = 87.
Par conséquent, si le prix de l'offre "week-end détente" est fixé à 220 euros, nous pouvons estimer que 87 offres seront vendues.

Partie B

1.   Pour déterminer la recette réalisée par cet hôtel, nous devons multiplier le nombre d'offres "week-end détente" vendues au prix d'une offre.
Le prix d'une offre est de 240 euros.
Le nombre d'offres vendues se calcule par f(240) = -0,6multiplie240 + 219 = 75.
75 multiplie 240 = 18000.
D'où, si le prix de l'offre est fixé à 240 euros, la recette réalisée par cet hôtel est de 18000 euros.

2.    R(x)=-0,6x^2+219x.

{\red{2.\ \text{a}.}}\ \ R'(x)=(-0,6x^2)'+(219x)' \\\phantom{{\red{2.\ \text{a}.}}\ \ R'(x)}=-0,6\times2x+219 \\\phantom{{\red{2.\ \text{a}.}}\ \ R'(x)}=-1,2x+219 \\\\\Longrightarrow\boxed{R'(x)=-1,2x+219}

2. b.   Etude du signe de R' (x ) sur l'intervalle [100 ; 300].

{\red{\text{Si }x\in\R}},\text{ alors}\\\\\begin{matrix}\left R'(x)=0\Longleftrightarrow-1,2x+219=0 \\\phantom{jjjR'(x)}\Longleftrightarrow-1,2x=-219\ \  \\\phantom{R'j(}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-219}{-1,2}\ \  \\\\\phantom{R'(x)}\Longleftrightarrow x=182,5\ \ \ \end{matrix}\ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \begin{matrix} R'(x)<0\Longleftrightarrow-1,2x+219<0 \\\phantom{f'(wx0}\Longleftrightarrow-1,2x<-219 \\\phantom{f'(}\Longleftrightarrow x>\dfrac{-219}{-1,2} \\\\\phantom{ww}\Longleftrightarrow x>182,5\ \end{matrix}\ \begin{matrix}|\\|\\|\\|\\|\\|\end{matrix}\ \begin{matrix} R'(x)>0\Longleftrightarrow-1,2x+219>0 \\\phantom{f'(wx0}\Longleftrightarrow-1,2x>-219 \\\phantom{f'(}\Longleftrightarrow x<\dfrac{-219}{-1,2} \\\\\phantom{ww}\Longleftrightarrow x<182,5\ \end{matrix}

{\red{\text{Si }x\in[100\ ;300]}}\text{ alors}\ \left\lbrace\begin{matrix}R'(x)=0\Longleftrightarrow x=182,5\ \ \ \ \ \ \ \ \\R'(x)<0\Longleftrightarrow182,5< x\le300\ \\ R'(x)>0\Longleftrightarrow100\le x<182,5\end{matrix}\right.

2. c.   Tableau de variations de la fonction R  l'intervalle [100 ; 300].

\text{Calculs préliminaires : }R(100)=-0,6\times100^2+219\times100=15\,900\\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}R(182,5)=-0,6\times182,5^2+219\times182,5=19\,983,75 \\\phantom{\text{Calculs préliminaires : }}R(300)=-0,6\times300^2+219\times300=11\,700 \\\\\underline{\text{Tableau de variations de }R\text{ sur [100 ; 300]}} :\\\\\dfrac{}{}\ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccc|}\hline x&100&&182,5&&300 \\\hline R'(x)&&+&0&-&\\\hline &&&19\,983,75&&&R(x)&&\nearrow&&\searrow&\\&15\,900&&&&11\,700\\\hline \end{array}

2. d.   Nous pouvons déduire du tableau de variations de la fonction R  que la recette est maximale si le prix de l'offre est fixé à 182,50 euros.
Cette recette est alors égale à 19 983,75 euros.

Partie C

1.   Graphe pondéré :

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2.   Les quatre trajets possibles pour aller de Paris à Saint Gilles Croix de Vie sont :

Paris - Le Mans - La Roche sur Yon - Saint Gilles Croix de Vie : 25 + 20 + 8 = 53 euros.
Paris - Le Mans - Cholet - La Roche sur Yon - Saint Gilles Croix de Vie : 25 + 10 + 13 + 8 = 56 euros.
Paris - Cholet - La Roche sur Yon - Saint Gilles Croix de Vie : 30 + 13 + 8 = 51 euros.
Paris - Nantes - Saint Gilles Croix de Vie : 40 + 17 = 57 euros.

Par conséquent, le parcours le moins cher pour ce couple souhaitant aller de Paris à Saint Gilles Croix de Vie est Paris - Cholet - La Roche sur Yon - Saint Gilles Croix de Vie, soit un coût minimal de 51 euros.
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