Commun à tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;,).
Dans tout l'exercice, est un nombre complexe non nul.
A tout point M d'affixe , on associe le point M' d'affixe , puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc .
Note : Les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.
1. a) Donner une relation entre les modules de et .
Donner une relation entre leurs arguments.
b) Sur la figure jointe est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M'1, puis le point I1 milieu de segment [M1M'1].
Effectuer cette construction.
2. Pour cette question, est un réel et M est le point d'affixe .
a) Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
b) Sur la figure jointe est placé le point M2 d'affixe z2 sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2. a), on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M'2]. Effectuer cette construction.
c) Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).
3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
b) Développer (z - 2i)² + 3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.
4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z = x + iy (x et y réels).
a) Expliquer en fonction de x et y la partie imaginaire de l'affixe de I.
b) Déterminer l'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses.
c) Déterminer l'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.
1. a) Nous avons : pour tout nombre complexe non nul, , soit ou encore .
De plus : arg() + arg() = arg(-1) + 2k Donc : arg() + arg() =+2k.
1. b) Puisque M1 appartient au cercle de centre O et de rayon 2, nous avons : , donc l'affixe z' de M'1 vérifie . Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que . Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon . Le point M'1 est le symétrique de N1 par rapport à l'axe des ordonnées. Le milieu I1 du segment [M1M'1] est obtenu ensuite sans difficulté.
Pour la construction de M'1 et I1, il faut regarder la figure à la fin de l'exercice.
2. a) L'affixe de I est donnée par : , soit zI = i sin.
2. b) est une mesure de (;) (avec M2 situé sur le cercle de centre O et de rayon 1), son ordonnée est égale à sin. I2 est donc le point de l'axe imaginaire ayant la même ordonnée que M2; c'est le projeté orthogonal de M2 sur l'axe (O;).
Pour la construction de I2, il faut se reporter à la figure à la fin de l'exercice.
2. c) Lorsque M décrit (C), le point I décrit le segment [-1 ; 1] de l'axe des ordonnées.
3. a) M et I sont confondus si, et seulement si, pour z non nul,
, soit : ou encore ,
c'est-à-dire .
Donc: ou .
Les points tels que M et I soient confondus sont les points d'affixes respectives i et -i.
3. b).
L'affixe de I est si, et seulement si: ssi .
ssi (d'après la factorisation précédente),
ssi Donc : ou .
ou .
Les points M tels que l'affixe de I soit sont les points d'affixes respectives et .
4. a) L'affixe de I est donné par :
, soit .
En posant avec ( ;) distincts de (0 ;0), nous obtenons :
.
b) I appartient à l'axe des abscisses si, et seulement si, Im() = 0 pour différent de 0. Nous avons :
qui est équivalent à , puisque .
L'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses privé de O est l'axe des abscisses privé du point O.
c) I appartient à l'axe des ordonnées si, et seulement si, Re()= 0 pour différent de 0. Nous avons :
qui est équivalent à .
L'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées est la réunion de l'axe des ordonnées, privé de O, et du cercle de centre O et de rayon 1.
Publié par malou
le
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,
).
est un nombre complexe non nul.
, puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc )
.
.
est un réel et M est le point d'affixe 
.
, soit 
ou encore 
.
, donc l'affixe z' de M'1 vérifie 
. Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon 
et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que =\pi-(\vec{u};\overrightarrow{\text{OM}_{1}}))
. Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon  = \dfrac{1}{2} \times \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right))
, soit zI = i sin
) (avec M2 situé sur le cercle de centre O et de rayon 1), son ordonnée est égale à sin)
, soit : )
ou encore 
,
.
ou 
.
^2 + 3 = z^2 - 4iz - 1)
.
si, et seulement si: )
.
^2 + 3 = 0)
(d'après la factorisation précédente),
^2 = -3)
ou 
.
i)
ou i)
.
i)
et i)
.
)
, soit )
.
avec (
;
) distincts de (0 ;0), nous obtenons :
^2-1}{2(x+iy)} = \dfrac{x^3+xy^2-x}{2(x^2+y^2)} + i\dfrac{(y^3+x^2y+y}{2(x^2+y^2)})
.
) = 0 pour  \ne (0;0)\\ \end{array} \right.)
qui est équivalent à 
, puisque 
.
 \ne (0;0)\\ \end{array} \right.)
qui est équivalent à 
.
Voir la correction