Fiche de mathématiques
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Un exercice type bac sur les complexes

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exercice


Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;\vec{u},\vec{v}).
Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'= -\dfrac{1}{z}, puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc \dfrac{1}{2}\left(z-\dfrac{1}{z}\right).
Note : Les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.

1. a) Donner une relation entre les modules de z et z'.
Donner une relation entre leurs arguments.
    b) Sur la figure jointe est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M'1, puis le point I1 milieu de segment [M1M'1].
Effectuer cette construction.

2. Pour cette question, \theta est un réel et M est le point d'affixe z =e^{i\theta}.
    a) Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
    b) Sur la figure jointe est placé le point M2 d'affixe z2 sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2. a), on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M'2]. Effectuer cette construction.
    c) Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).

3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
    a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
    b) Développer (z - 2i)² + 3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.

4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z = x + iy (x et y réels).
    a) Expliquer en fonction de x et y la partie imaginaire de l'affixe de I.
    b) Déterminer l'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses.
    c) Déterminer l'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.
Un exercice type bac (complexes) : image 1







1. a) Nous avons : pour tout nombre complexe z non nul, z' = -\dfrac{1}{z}, soit |z'| = \dfrac{1}{|z|} ou encore |z'| \times |z| = 1.
De plus : arg(z) + arg(z') = arg(-1) + 2k\pi
Donc : arg(z') + arg(z) =\pi+2k\pi.

1. b) Puisque M1 appartient au cercle de centre O et de rayon 2, nous avons : |z| = 2, donc l'affixe z' de M'1 vérifie |z'| = \dfrac{1}{2}. Par conséquent, M'1 appartient au cercle de centre O et de rayon \dfrac{1}{2} et, de plus, les points O, M1 et M'1 sont tels que (\vec{u} ; \overrightarrow{\text{OM}'_{1}})=\pi-(\vec{u};\overrightarrow{\text{OM}_{1}}). Soit N1 le point d'intersection de [OM1] avec le cercle de centre O et de rayon \dfrac{1}{2}. Le point M'1 est le symétrique de N1 par rapport à l'axe des ordonnées. Le milieu I1 du segment [M1M'1] est obtenu ensuite sans difficulté.
Pour la construction de M'1 et I1, il faut regarder la figure à la fin de l'exercice.
2. a) L'affixe de I est donnée par : \dfrac{1}{2} \times \left(e^{i\theta}-\dfrac{1}{e^{i\theta}}\right) = \dfrac{1}{2} \times \left(e^{i\theta}-e^{-i\theta}\right), soit zI = i sin\theta.

2. b) \theta est une mesure de (\vec{u};\overrightarrow{\text{OM}_{2}}) (avec M2 situé sur le cercle de centre O et de rayon 1), son ordonnée est égale à sin\theta. I2 est donc le point de l'axe imaginaire ayant la même ordonnée que M2; c'est le projeté orthogonal de M2 sur l'axe (O;\vec{v}).
Pour la construction de I2, il faut se reporter à la figure à la fin de l'exercice.

2. c) Lorsque M décrit (C), le point I décrit le segment [-1 ; 1] de l'axe des ordonnées.

3. a) M et I sont confondus si, et seulement si, pour z non nul,
z = \dfrac{1}{2} \times \left(z-\dfrac{1}{z}\right), soit : z = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{z^2-1}{z}\right) ou encore 2z^2 = z^2 - 1,
c'est-à-dire z^2 = -1.
Donc: z = i ou z = -i.
Les points tels que M et I soient confondus sont les points d'affixes respectives i et -i.

3. b) (z - 2i)^2 + 3 = z^2 - 4iz - 1.
L'affixe de I est 2i si, et seulement si: 2i = \dfrac{1}{2} \times \left(z-\dfrac{1}{z}\right)
ssi 0 = z^2 - 4iz - 1.
ssi (z - 2i)^2 + 3 = 0 (d'après la factorisation précédente),
ssi (z - 2i)^2 = -3
Donc : z - 2i = i\sqrt{3} ou z - 2i = - i\sqrt{3}.
z = (2 + \sqrt{3})i ou z = (2 - \sqrt{3})i.
Les points M tels que l'affixe de I soit 2i sont les points d'affixes respectives (2 + \sqrt{3})i et (2 - \sqrt{3})i.

4. a) L'affixe de I est donné par :
Z = \dfrac{1}{2} \times \left(z-\dfrac{1}{z}\right), soit Z = \dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{z^2-1}{z}\right).
En posant z = x + iy avec (x ;y) distincts de (0 ;0), nous obtenons :
Z = \dfrac{(x+iy)^2-1}{2(x+iy)} = \dfrac{x^3+xy^2-x}{2(x^2+y^2)} + i\dfrac{(y^3+x^2y+y}{2(x^2+y^2)}.

b) I appartient à l'axe des abscisses si, et seulement si, Im(Z) = 0 pour z différent de 0. Nous avons :
\left \lbrace \begin{array}{l} y^3+x^2y+y = 0 \\ (x;y) \ne (0;0)\\ \end{array} \right. qui est équivalent à \left \lbrace \begin{array}{l} y=0 \\ x \ne 0\\ \end{array} \right., puisque x^2 + y^2 + 1 \neq 0.
L'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses privé de O est l'axe des abscisses privé du point O.

c) I appartient à l'axe des ordonnées si, et seulement si, Re(Z)= 0 pour z différent de 0. Nous avons :
\left \lbrace \begin{array}{l} x^3+xy^2-x = 0 \\ (x;y) \ne (0;0)\\ \end{array} \right. qui est équivalent à \left \lbrace \begin{array}{l} x=0\text{ et }y \ne 0 \\ \text{ou} \\ x^2+y^2=1\\ \end{array} \right..
L'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées est la réunion de l'axe des ordonnées, privé de O, et du cercle de centre O et de rayon 1.
Un exercice type bac (complexes) : image 2



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