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Niveau Maths sup
1 + racine(7) est irrationnel
Posté par zekk88
bonjour, je dois prouver que 1+ 
7 est irrationnel
c'est un peu plus compliqué que pour 2, je me doute devoir le démontrer par l'absurde, mais je ne sais pas vraiment comment m'y prendre.
je pensais d'abord dire que 1 est rationel et que montrer la these revient à montrer que 7 est irrationnel puis faire pareil que pour 2, mais le fait que 7soit impair me bloque dans mes calculs.
j'ai cherché pour voir si le sujet n'avait pas déjà été traité mais je n'ai rien trouvé.
Merci d'avance
Oui il suffit de régler le cas de racine de 7.
Un résultat d'arithmétique dit que la racine carrée d'un entier est soit un entier, soit un irrationnel.
Pour le démontrer "comme pour racine de 2" ça doit être possible mais je ne sais pas.
Bonjour zekk88
Certes 7, n'est pas pair mais 7 est premier et on peut adapter la démonstration de l'irrationalité de et plus généralement celle de
où p est un entier premier.
Kaiser
merci pour l'information, est ce que je peux trouver cette démonstration quelque part ou avoir une indication pour savoir comment la commencer ?
pourrait on s'y prendre comme ceci ?
si on suppose qu'on peut écrire
sous la forme a/b avec a,b 
alors on en arrive a déduire que p² = 7q²
là je suis bloqué :/
Au passage, salut Stokastik ! 
zekk88> à ce moment, on fait de l'arithmétique. Cette égalité te dit que 7 divise p² mais comme 7 est premier, alors ...
Kaiser
Merci, c'est parfait j'ai pu faire le problème
au passage, si on veut prouver que 21 est irrationnel, vu que 21 n'est pas premier, comment doit on s'y prendre ?
je pensais prouver en 2 fois comme ceci :
si 21 est irrationnel alors 3.7= 21 est aussi irrationnel
montrons que 3 est irrationnel (par l'absurde comme pour 2
montrons que 7 est irrationnel (idem)
En fait, plus précisément, cela reviendrait à utiliser (et éventuellement démontrer) le résultat énoncé par stokastik dans son premier message, à savoir que la racine carrée d'un entier est un rationnel si et seulement si cet entier est un carré parfait.
Kaiser