je vais te faire la "démo" :

On considère 2 réels a et b tels que a=b

On a

or a=b, on peut donc écrire :

On a alors :

En divisant par de chaque coté, on arrive à

or donc , c'est à dire

le tout est de se demander ce qui "cloche" dans la démo pour arriver à ce résultat absurde...

Rouliane

On divise par 0

Je sais bien qu'on divise par 0, c'était juste pour qu'il trouve par lui même

Bonjour à tous,

Je crois que ce n'est pas ce que demande Dahevos...
(Relire le titre et son message )

Nicolas

Je pense que c'est bien ça qu'il voulait montrer, parce que 1+1=2 ça me parait pas être une blague

Rouliane

Oui, c'est un peu comme l'histoire que 0.33333... = 1


(Saint)Benoit

Mince je voulais dire 0.9999999... = 1

Benoit

Bonjour

Benoît, tu voulais écrire :

0.999... = 1

non ?

Estelle

Estelle

Estelle je suis toujours turlupiné par ta subite modification de ton pseudo...

Changer de pseudo ?

Estelle

Ah, c'était juste pour savoir... Moi, finalement, je garde mon pseudo !!!

(Saint)Benoit

Je n'ai pas trouvé non plus mais par contre si tu le retrouve ou quelqu'un ou meme si ton ami te donne le lien, alors ca m'interresse

Tu parles à qui, et de quoi, Sticky ?

je ne sais pas si c'est exacte comme démo, mais je crois que le calcul est plutot trèds long, mélant racine etc... je crois qu'il y a un moment des cos et des sin car on sait que cos²a + sin²a = 1.
voila, merci de vos messages ^^ et si vous avez une idée, bah dite la

De quelle démo parles-tu Dahevos ??

De la démonstration que 1+1=2 ! mais c'est une sorte de blague, enfin ca existe hein ^^
C'est un dé&veloppement donc très compliqué, et qui permet de prouver bel et bien que 1+1=2.

Je parlais à Dahevos et je parlais de la démo du 1+1=2 qu'il cherche
Bonjour Nicoco, arf Rouliane

Sticky

Bonjour

Qu'appelez-vous complique ?

Pour tout le monde, 1+1=2 est evident mais la seule chose qui est evidente, c'est que cette relation n'est pas magique et que n'etant pas axiomatique, elle est demontrable.

Pour cela il faut revenir a l'axiomatisation de peano de l'arithmetique :

# 0 est un entier naturel.
# Tout entier naturel n a un successeur, que l'on notera succ(n)
# Aucun entier naturel n'a 0 pour successeur.
# Deux entiers naturels ayant même successeur sont égaux.
# succ(x)+y=succ(y)+x
# Si un ensemble d'entiers naturels contient 0 et contient le successeur de chacun de ses éléments alors cet ensemble est égal à N (principe d'induction ou de reccurence)

Apres, il faut definir les symboles 1, 2 et +
1=succ(0)
2=succ(1)

L'addition est aussi axiomatisee.
Je ne me rappelle plus vraiment comment elle est definie, une recherche sur internet s'impose pour les interresses.
Ce dont je me rappelle et qui va nous servir ici est qu'elle est commutative( ainsi qu'associative) et que 0 est neutre pour cette loi.

Avec tout ceci il faut montrer que 1+1=2

Pour cela il faut marque que :


La demonstration en elle meme est simple, mais c'est tout ce qui se cache derriere qui peut paraitre complique

bonjour ,
en effet, il existe bien une démonstration de 1+1=2
je l'ai vu en pps, avec des intégrales et suites et tutti quenti.

Par contre, cela fait pas mal de temps, donc elle est partie au oubliettes chez moi, désolée.

je voulais ajouter, contrairement à la démonstration fausse de 1=2

0,9999999999..........=1
est correcte :


d'où

c'està dire

en fait, on peut généraliser ave tout les nombres entiers ou décimaux.
Tout nombre décimal admet deux écritures.

voilà

aïe petit soucis de latex :
10 0,999999999999.............. = 9 + 0,999999999999..............
9 0,999999999999.............. = 9
0,999999999999.............. = 1

Juste une petit questin
L'écriture:
0.999... c'est à dire avec les pointillées, est-elle correcte?
Je veux dire, c'est une écriture officielle ou non?
Sinon, comment l'écrire?

Sticky

Elle me semble correcte. On doit aussi pouvoir écrire 0,999

Ok Merci Nicolas

Sticky

... ou 1 !

Je t'en prie.

sinon, il faut l'écrire ainsi c'est plus mathématique :

pardon, petit oubli :
\sum_{k=1}^{\infty}\;(9\;\times\;10^{-k})

avec les borne latex

La démonstration par les axiomes de Peano marche très bien

Bonjour


Sur  0,9999999999... = 1

j'avais posté un message ----//Enigme\\----  plutôt dans les derniers posts...

je n'avais pas vu ce post siOk _{(et vu la date, c'est normal )}
par contre, ta deuxième méthode ne me convaint pas beaucoup (cela fait un peu : je noie le poisson pour expliquer, enfin je ne la trouve pas assez démonstrative, si tu vois ce que je veux dire )

perso, je préfère celle la méthode non "bourrin" :


c'est clair et précis

il faut lire :
perso, je préfère la méthode non "bourrin" :

=> Muriel


Je te remercie de réaction au post cité ----//Enigme\\----, à l'époque  le débat avait été quelque peu pollué par des réactions un peu "bizarre" et "déplacé" du posteur d'enigme.

Je ne partage pas ton point de vue, notamment sur la "démonstration" que tu proposes. Je suis content de pouvoir échanger avec toi sur ce sujet:


1) Dans le post, je parlais d'argument (au sens de convaincre) et non de démonstration (discours mathématique formalisé).
A mon sens, seul le troisième argument pourrait avoir le statut de démonstration.



2) En l'état, la solution non "bourrin" me paraît FAUSSE: il manque un argument essentiel.

En appliquant consciencieusement ta technique

d'où

ainsi

c'est clair et concis .. mais faux

Je renvoie à mon troisième argument pour lever la difficulté: les écritures manipulées ont-elles un sens ?



3) Le second argument l'ensemble des réels comme vu en seconde ne comporte pas de "trous" avait été adapté au niveau de celui qui avait lancé l'enigme (seconde).
Je suis d'accord avec toi sur le manque de rigueur ... mais il porte en germe une conception fondamentale autour des nombres réels et je trouve intéressant de le donner.
Bien entendu, il s'agit juste d'une explication et en aucun cas d'une démonstration (en l'état).



4) En s'appuyant sur la définition des réels par les suites de Cauchy, on peut le redonner de façon plus rigoureuse au niveau terminale:
Soit les suites:     et  

On montre que:
la suite est croissante
la suite est décroissante
la suite des différences converge vers 0

les suites sont donc adjacentes,

or deux suites adjacentes sont chacunes convergentes (les limites existent ... c'est le point essentiel) et ont la même limite (il n'y a pas de "trou" entre les deux limites),
donc et convergent vers la même limite.





En conclusion
Les "arguments" du type:   10 * 0,9999999... = 9,9999..... ne sauraient avoir le statut de démonstration. Ils passent sous silence une difficulté importante: peut-on étendre à des développements infinis des calculs faits sur les décimaux ?


Aussi, je conteste la validité de ta démonstration (en l'état): hormis les écritures utilisées à la place de 0,99999...
elle n'apporte strictement aucun argument de plus que "010 * 0,999.. = 1"


Pour la rendre correcte, il manque un argument essentiel: l'existence des écritures, mais alors on utilise des propriétés des suites convergentes et on ne doit pas les passer sous silence.
Quelle que soit la démonstration, on ne peut pas faire abstraction des propriétés d'analyse sous-jacentes et de leurs conditions d'utilisation.


Bien entendu, la preuve peut être rendue rigoureuse ... et alors on sera très proche de mon troisième argument.


De toute façon, et c'est bien le seul intérêt, la recherche d'une preuve rigoureuse de 0,99999... = 1 permet d'appréhender la question de savoir ce que sont les réels et leurs propriétés.



En te remerciant d'voir pris le temps de lire ces deux grands posts.

Bonjour,

La notion de suite géométrique n'est pas encore apparue sur ce fil, pourtant elle est simple, et de niveau lycée.

On peut définir 0,999... comme
Or

Nicolas

[b]siOk[/b], dans ton message précédent,
etc...
tu manipules des séries divergentes. Aucun des membres n'a de sens. C'est normal que tu puisses en déduire que 1=2.

Muriel, quant à elle (16/04/2006 à 21:28), manipule des séries absolument convergentes. C'est très différent, et, me semble-t-il, rigoureux.

Nicolas

=> Nicolas


1) Je sais bien la différence entre la démonstration de Muriel et la mienne.
Je pose simplement la question de "comment distinguer pour sa démonstration et la mienne, celles qui sont correctes" en l'absence d'explications complémentaires.


2) Je fais simplement remarquer que valider la démonstration de Muriel sans argumenter plus avant ne pas paraît pas pédagogique du tout: comment pourrait-on la présenter à des lycéens comme si il n'y avait aucune difficulté.
Contrairement à toi, je ne la qualifierai pas de RIGOUREUSE puisqu'elle utilise de manière cachée des arguments indispensables.
Pour moi, elle est "fausse" en l'état pour un public lycéen. Je ne pense pas qu'un jury de CAPES la valide sans tousser, sans faire expliciter plus avant.


3) J'avais utilisé les séries géométriques dans l'autre fil, mais sans employer le mot car le posteur était niveau seconde.



En bref, de trop nombreuses démonstrations de "0,999... = 1" ne me paraissent pas assez rigoureuse.
D'ailleurs à l'époque, j'avais commencé mon post par "Trois méthodes ... mais sont-elles justes ?" espérant lancer un débat plus mathématique à partir d'un fil qui dérivait ... vers des considérations de personnes.

Je comprends.

Mon opinion, qui vaut ce qu'elle vaut...
Pour lever le paradoxe apparent, il faut donner une définition de l'écriture 0,999... (sinon on ne sait pas de quoi on parle)
La plus naturelle est
Or cette somme infinie (limite de suite) est explicitable. Et elle vaut... 1

Nicolas

Effectivement
"il faut donner une définition de l'écriture 0,999... "
et aussi expliciter les propriétés utilisées


Si certains ont d'autres preuves, je suis preneur.

hello,
siOk, tout d'abord, je suis d'accord avec toi que ce que tu as écris c'est faux.
moi j'ai bien écrit :


et non :


mais bon, Nicolas te l'a gentillement dit
_____________________

sinon, je te signalerai simplement, que les éléments de ce type sont très souvent utilisés en fac et cette démonstration n'a rien de faux (dans le cas contraiare, tu peux toujours aller voir mes profs de fac et leur dire que ce qu'il m'ont appris est faux et bien faux ).

maintenant, comme tu n'arrêtes pas de le souligner, je te l'accorde qu'il manque une certaine rigueur : il faut exiber l'existence de cette série. Oui, d'accord.
Mais si tu cherches vraiment la petite bête, je vais te demander de revenir alors à la définition : pourquoi ?

je suis aussi d'accord que montrer que ta suite () définie par : est croissante et bornée implique qu'elle converge. Par contre, je ne vois pas beaucoup l'intérêt d'utiliser le théorème des suites adjacentes pour cela . En plus, ta suite () décroissante me paraît bizarre (même si cela est correct, mais bon, je trouve que utiliser une propriété de cette façon n'a pas beaucoup d'intérêt).

voilà, c'est tout ce que j'avais à dire .
j'aprécie cette échange bien que je n'aime pas beaucoup que tu donne des arguments faux (l'histoire d'oubli du "-").
Je voulais surtout te signaler que la deuxième méthode que tu avais utilisée dans le topic que tu site ne me plait pas et ne plait pas à la communauté des mathématiciens. Ce n'est pas parce qu'il est en seconde que l'on peut donner ce genre de chose par écrit (sinon, les élèves ne comprendront pas pourquoi cequ'ils fot est faux, s'il y a des gens qui ce permettent de le faire).
comprends tu ?

petit ajout :
je pense que la deuxième méthode est plus à placer comme argument que comme explication _{(mais je crois que tu l'a signalé plus haut, j'ai la flemme de relire )}

dernière chose :
que signifie si cela manque de rigueur à cause de


il faut savoir la définition de série
dans ce cas (je viens de ranger un peu plus mes idées), nous remarquons bien que l'on peut écrire cela _{(surtout que cela rejoint ta troisième méthode sans utiliser des qui enlève le charme des déonstrations )}

Tout d'abord, qu'il soit bien clair aux lecteurs néophites du forum que je ne remets pas en cause la rigueur de quiconque: le débat porte simplement sur le niveau d'argumentation à utiliser et à expliciter avec des lycéens.

Bien qu'ayant pris quelques précautions dans mes locutions telles que "elle est "fausse" en l'état pour un public lycéen" elles étaient sans doute encore trop ambigües voire trop polémistes (trop souvent un jugement de vérité).



Tu donnes des arguments faux (l'histoire d'oubli du "-").
Ce n'est pas un oubli et je ne t'attribue pas d'erreur. Je sais bien que :
* ton calcul comporte un - et le mien un +
* le tien conduit à un résultat juste et le mien a un résultat faux
* les séries que tu manipules sont convergentes (donc tes calculs sont bien fondés) et les séries que je manipule sont divergentes (donc mes manipulations erronées)

Je fais simplement remarquer (mais c'est vrai que je n'ai pas été assez clair sur le sujet) que ce qui est écrit ne permet pas de les différencier ... et un raisonnement qui ne conduit pas à un résultat correct dans tous les cas comporte un vice de forme qui doit être levé.

Je ne pense pas que l'on puisse faire l'économie de justifier la convergence en lycée.

Je sais bien qu'en fac, on manipule abondamment de telles écritures ... mais après avoir étudier les propriétés des séries. En plus, quand la convergence n'est pas aussi évidente qu'ici, elle est démontrée.



Mais si tu cherches vraiment la petite bête, je vais te demander de revenir alors à la définition : pourquoi ...
Effectivement je ne l'ai pas précisé dans ma démonstration (troisième argument) c'est intéressant de le faire
La suite converge car elle est croissante et majorée (propriété des réels) et sa somme est notée

Je défends justement l'idée que derrière les écritures on manipule des propriétés des réels qu'il est dommage de passer sous silence.



... la deuxième méthode que tu avais utilisée ... ne plait pas à la communauté des mathématiciens
C'est ce qu'on appelle un argument d'autorité

Bien évidemment, la communauté ne considère pas ce discours comme une démonstration. Et c'est, je pense ce que tu voulais dire.

Maintenant l'idée les réels constitue un "ensemble sans trou" m'a paru largement répandu dans la construction des nombres réels et pas si ininterressante à faire sentir aux élèves. Par exemple:

Dedekind
"La comparaison faite ci-dessus entre le domaine des rationnels etune droite a amené à reconnaître que le premier est lacunaire, incomplet ou discontinu, tandis que la droite doit être complète, non lacunaire ou continue. Mais en quoi consiste cette continuité ?"
"Et si nous savions de façon certaine que l'espace est discontinu, rien ne pourrait nous empêcher, si cela nous convenait, de le rendre continu en remplissant par la pensée les lacunes".

Lebesgue
"Il s'agit d'imaginer un symbole, qu'on appellera nombre et qui étant le compte rendu complet de la suite infinie des opérations en pourra être le résultat... On va passer directement des opérations sur les entiers aux opérations sur les nombres généraux; mais auparavant, il faut se demander si toute suite de chiffres indéfinie sur la droite et comportant une virgule est un nombre..."

Extraits de "La fabuleuse histoire des nombres" d'Eliane Cousquer - 1998 - Diderot Editeur, Arts et Sciences pages 194 et 210.

Pour moi, dans "0,999... = 1" ce qui est en jeu ce ne sont pas les calculs mais le statut des écritures et des calculs.



Ce n'est pas parce qu'il est en seconde que l'on peut donner ce genre de chose par écrit
Je ne suis pas d'accord. Il me semble qu'on peut l'écrire ... en faisant attention au statut qu'on lui donne: c'est une argument mais en aucun cas une démonstration.

Pour être gentillement polémiste jusqu'au bout, je dirai même qu'en lycée, il est préférable d'écrire ceci (et préciser que c'est juste une idée pour convaincre) que ta démonstration qui sous une apparence de grande rigueur dûe aux écritures utilisent des théorèmes importants non utilisés.



Par contre, je ne vois pas beaucoup l'intérêt d'utiliser le théorème des suites adjacentes
Effectivement, j'ai collé "bétemment" à la définition des nombres réels par les suites de Cauchy: la démonstration gagnerait à être simplifié en lycée par les suites croissantes majorées.




Plus générallement, on touche du doigt une grande difficulté de l'enseignement de l'analyse en lycée: on oscille entre rigueur et idées ...
  
Comme on ne démontre plus grand chose, il me semble que le domaine des idées ne doit pas être déserté. Je recommande à ce sujet la page 214 du livre d'Eliane Cousquer, on y lit "Par contre, le non-dit sur les propriétés de R n'est pas satisfaisant. Toute l'histoire montre que cette conception des nombres pose des problèmes nombreux et difficiles. Le sens du travail en analyse passe certainement par l'élucidation des conceptions à l'heure actuelle implicites dans l'enseignement"

Encore merci aux modérateurs pour ces échanges ... même si j'ai été trop long

conclusion : nous tournons un peu en rod, il me semble
(l'inconvénient peut-être des dialogues par écrit, mais surtout au non dit que nous disons )

en tout cas, ce fut intéressant (j'espère que pour toi également)
mais je pense que nous pouvons fermer le débat, non ?

pour siok : quelle est cette propriété des réels qui permet de dire que la suite (_k110^-k) est majorée(et donc convergente puisque croissante)?

1ère leçon de maths 1+1=2 c'est peut-être là : (ça commence par "Chaque futur ingénieur apprend à inscrire la somme ...")