Bonjour,

Qu'as-tu essayé ?
Il y a tout un tas de moyens. Regarder ce qui se passe si on a un diviseur premier commun à et , partir d'une identité de Bezout entre et pour obtenir une identité de Bezout entre et etc.
Lance-toi.

ce que j'ai fait c'est pgcd(a,b)=pgcd(a,b^2)=1.... jusqu'à n (et du même pour a )
mais je pense que c'est faux.

car avant il y a une question pour démontrer que si pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=1, alors pgcd(a,bc)=1.

Tu as démontré que pour tous a,b,c, si pgcd(a,b)=pgcd(a,c)=1, alors pgcd(a,bc)=1.
(Au passage, comment as-tu fait pour démontrer ça ?)
Qu'obtiens-tu si tu appliques ce résultat pour c=b ?

J'ai utilisé l'identité de Bezout et puis jai multiplié pour trouver que au'+bv'=1
Et j'ai trouvé que pgcd(a,b^2)=1 si on le refait on trouve que pgcd(a,b^4)=1 aussi...


Mais je vois pas la relation surtout si n et p sont différents ??!

Bah ?

Tu es d'accord qu'en procédant par récurrence on peut montrer :
Pour tous entiers a,b et pour tout entier naturel n>0,  si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a,b^n)=1.
Tu es sans doute d'accord qu'on montre aussi
Pour tous entiers a,b et pour tout entier naturel p>0,  si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a^p,b)=1

Ne vois-tu pas alors comment arriver au résultat demandé ;:
Pour tous entiers a,b et pour tous entier naturels n,p>0,  si pgcd(a,b)=1 alors pgcd(a^p,b^n)=1

Ah d'accord il faut le refaire pour a !!
Dans ce cas si on pose b^n=b' on trouve pgcd (a^p,b^n)=1..

Merci pour votre réponse !

On peut éviter les récurrences.

Si on a une identité de Bezout entre et :
et si sont des entiers , alors est une identité de Bezout entre et .