Bonjour, oui là il faut un peu de flair !
remarque d'abord que ab + bc +ac = 0 s'écrit 1/a+1/b+1/c=0 (il suffit de diviser par abc)
Et puis que (b+c)/a + (a+c)/b + (a+b)/c = b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b

Puis regarde ce que fait (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=a/b+b/a+a/c+c/a+c/b+b/c+3 la bonne surprise !!
et donc si 1/a+1/b+1/c=0 alors a/b+b/a+a/c+c/a+c/b+b/c+3 = 0 et donc (b+c)/a + (a+c)/b + (a+b)/c = -3

Merci Beaucoup Glapion, je n'aurais jamais pensé à ca.
Problème résolu, Merci à toi !

Re
Excuse moi mais pourrais tu me dire comment es tu parvenu à cette solution ? c'est à dire multiplier par a +b +c

Merci

et oui, ça n'est pas évident, j'avais bien dit qu'il fallait un peu de flair.

Un peu de flair , tout simplement ? il n'y aurais pas une technique qui nous permettrais de parvenir à la solution ?

Merci

non, là il n'y a pas de méthode standard, il faut être inspiré. C'est ce qui fait la difficulté de l'exercice d'ailleurs. on ne déroule pas simplement une méthode comme dans 99% des cas des exercices que l'on voit, il faut tâtonner, essayer des développements pour essayer de comprendre comment l'idée de l'exercice est venu à celui qui l'a conçu, etc... la symétrie des lettres est très utile. Quand on a compris que ab + bc +ac = 0 c'était 1/a+1/b+1/c=0 et que (b+c)/a + (a+c)/b + (a+b)/c = b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b là normalement il faut se demander par quoi on pourrait multiplier 1/a+1/b+1/c pour avoir b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b, et puis petit à petit on va vers la solution.