Niveau terminale

aide pour fonctions SVP

Posté par feaelanor (invité) 09-09-05 à 20:57

bonjour
j'ai un probleme avec le 2/ et 3/ de mon exercice
soit x un réel etP(x)=x⁴-20x²+4
1/
a/ etudier le signe de P(x)
j'ai effectué un changement de variable avec X=x² et j'obtient X²-20X+4. En appliquant le discriminant je trouve 4 racines x=-(10+ou-46) et x'=(10+ou-46) ensuite j'ai fait un tableau de signes

b/ en deduire que pour n5 l'entier n⁴-20n²+4 est positif
par rapport au tableau de signe on remarque que n se situe dans une partie positive

2/ ecrire P(x) sous la forme d'un produit de 2 polynomes du second degré: P(x)=A(x)B(x) avec les coefficients de A(x) et B(x) entiers
(indication: on pourra penser à ecrire P(x) sous la forme d'une difference de deux polynomes au carre puis appliquer l'identite remarquable a².b²)
j'ai donc applique la forme canonique et je suis arrive à : (x²-10-46)(x²-10+46)
le probleme est que je n'ai donc pas de coefficients entiers comme precise dans l'enonce

3/ montrer que les equations A(x)=1 et B(x)=1 n'ont pas de solution dans

pourriez vous me dire si j'ai fait une erreur dans le 2/ et quelle technique utiliser pour le 3/
merci d'avance pour votre aide

Posté par ZauctoreII (invité)re : 09-09-05 à 21:21

Bonsoir.
Je te propose cette transformation
$x^4-20x^+4 = (x^2-2)^2 + 4x^2 - 20x^2 = (x^2-2)^2-16x^2$
On a une différence de deux carrés à coefficients enteirs, qui conduit à
$x^4-20x^+4 = (x^2-4x-2)(x^2+4x-2)$ ,
ce qui répond à la contrainte imposée.

Posté par re : aide pour fonctions SVP 09-09-05 à 21:26

Bonsoir

$3$\rm P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$

en développant soit $3$\rm (x-x_1)(x-x_2)$ soit $3$\rm (x-x_1)(x-x_3)$ soit $3$\rm (x-x_1)(x-x_4)$

tu arrives à obtenir un polynôme de degré 2 à coefficient entier.

$P(x)=(x^2+4x-2)(x^2-4x-2)$

sinon comme cela t'es proposé $3$\rm P(x)=(x^2-2)^2-(4x)^2=...$

Salut

Posté par re : aide pour fonctions SVP 09-09-05 à 21:27

hum carrément en retard

Posté par feaelanor (invité)re : aide pour fonctions SVP 10-09-05 à 18:24

bonjour
je vous remercie pour vos reponses mais je ne comprends pas comment vous passe de x⁴-20x²+4 à (x²-2x)²+4x²-20x²
d'où viennent le -2 et les carres
merci d'avance pour vos explications

Posté par ZauctoreII (invité)re : aide pour fonctions SVP 10-09-05 à 21:02

Bonsoir.

Lis mieux : il y a seulement $x^2-2$ dans les parenthèses.

C'est une histoire de "complément du carré", comme la forme canonique.

Par exemple, avec $y^2-20y+4$ :
Je regarde cette expression en m'intéressant uniquement à $y^2$ et à $+4$ .
Je sais que j'aurais ces deux morceaux en développant $(y-2)^2$ , avec un terme correctif ( $(y-2)^2=y^2+4-4y$ ).
Voyons plutôt (pas le chien) :
$y^2-20y+4=(y-2)^2+4y-20y=(y-2)^2-16y$ .
Dans ton exo, il suffit de prendre $y=x^2$ .
Fais l'effort de comprendre cette "astuce", ça vaut le coup.
C'est à mon avis la seule permettant d'obtenir des coefficients entiers comme il t'est demandé.
Il faut aussi essayer de comprendre pourquoi j'ai choisi $(y-2)^2$ et pas $(y+2)^2$ ...
Bon courage !

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