Bonjour,

J'ai de grosses difficultés à faire (et meme à comprendre) ce DM et ce serait sympa si vous m'apportiez vos lumières sur certains points. Naturellement, faites ce que vous pouvez.

Merci d'avance!!
I) FONCTIONS
Une fonction f dérivable sur un intervalle I est convexe sur I lorsque sa courbe représentative C est au dessus de la tangente T_a à C au point d'abscisse a, pour tout réel a de I.

1) Etude d'un exemple : soit la fonction f défine sur R par f(x)=x²-4x. Montrer que f est convexe sur R

2) Cas général : soit f une fonction férivale sur un intervalle I, a une réel quelconque de I, C la courbe représentative de f et T_a la tangente à C au point d'abscisse a. Soit g_a la fonction affine ayant pour courbe la droite T_a.

a) Verifier que, pour tout x de I, f(x)-g_a(x)=φ(x) où φ est la fonction définie sur I par φ(x)=f(x)-f(a)-(x-a)f'(a).
b) Montrer que φ estr dérivable sur I et calculer φ'(x) pour tout x de I.
c) On suppose que f' est une fonction croissante sur I. Déterminer le signe de φ'(x) selon la position de x par rapport à a. Dresser le tableau de variation de φ sur I et montrer que f est convexe sur I. En déduire le théorème suivant : si f est une fonction deux fois dérivable sur I telle que f'' est positive sur I, alors f est convexe sur I.
d) Utiliser ce theorême pour vérifier que la fonction f définie sur R+ par f(x)=(3x-2)x est une fonction convexe sur ]0;+∞[.

3) Montrer que si f est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I et si f'' est négative sur I, C est en dessous de toutes ses tangentes T_a, a appartenant à I. On dit que f est concave sur I.

4) Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x³-2x²-5x+6.
a) Déterminer les intervalles sur lesquels f estr convexe et ceux sur lesquels f est concave.
b) Déterminer les réels a tels que la courbe C de f traverse la tangent T_a au point d'abscisse a. Un tel point d'abscisse a s'appelle un point d'niflexion.


II) COMPLEXES.

Le plan est rapporté au repère (O,u,v) (vecteurs) orthonormal direct.
A tout point M d'affixe z, z différent de 0, on associe le point M' d'affixe z' telle que z'=-1/[z(barre)].

1) Montrer que les vecteurs OM et OM' sont colinéraires.

2) Démontrer que [z'+1(barre)]=(1/z)(z-1)

3)Soit A et B les points d'affixes 1 et -1, Г le cercle de centre A contenant le point O et Г*=Г/{O}. On suppose dans cette question que le point M appartient à Г*.
a) Justifer que |z-1|=1. Démontrer que |z'+1|=|z'|. Interpreter geométriquement cette égalité.
b) Déduire de ce qui précède une construction géométrique du point M' a partir du point M. Illustrer par un dessin (euh la dessin pas la peine de le faire p).

4) On appelle C le cercle de diamètre [AB]. On suppose que M appartient à C. Montrer que M' appartient à C et construire M'.





Voila merci encore!