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aide sur un probleme de limite et de derivée
Bonjour,
Voilà j'ai un problème en maths ;
Voici l'énoncé mais ce que je trouve que ca ce contredit alors j'ai besoin de votre avis ! j'ai fait tout le A mais verifier au cas ou!
A]
Soit g la fonction numérique définie sur R par : g(x)=2x^3+x²-1
1)Etudier les variations de g
d'abord j'ai chercher le signe de la dérivée :
g'(x)= 6x²+2x
Delta= 4 donc deux solutions : x1= 0 et x2= -1/3
Donc le signe de g(x) est du signe de a en dehors des racines dont la fonction est croissante sur ]-oo ; -1/3] U [0 ;+oo[ et décroissante sur [-1/3 ;0]
2) en déduire que l'équation g(x)=0 admet une solution unique X1 telle que 0,65<X1<0,66
voici mon raisonnement :
soit g(x) une fonction continue et strictement croissante sur [0 ; +oo[
f(0) = -1
lim 2x^3+x²-1 = lim 2x^3= +oo (qd x tend vers +oo)
donc 0 appartient [ f(0) ; lim 2x^3+x²-1 = +oo (qd x tend vers +oo)[
donc d'après le corollaire des valeurs intermédiaires, g(x) admet une solution unique sur [o ; +oo[ qui est X1
sur ]-oo ; 0] la courbe n'a pas de solution pour g(x) = 0 car elle ne coupe pas l'axe des abscisses.
On calcule g(0,65) = -0.028
g(0,66) = 0.0106 donc g(0.65)<g(X1)<g(0.66)
Comme la fonction est strictement croissante alors 0.65<X1<0.66
B]
Soit f(x) = (1/3)* ( x²+x+(1/x)) Df= R*
1) étudier les limites de f aux bornes de l'ensemble de définition.
Lim f(x) (en -oo ) = +oo c'est la que je trouve bizarre
Lim f(x) (en +oo) = +oo
Lim f(x) (en 0-) = -oo
Lim f(x) (en 0+) = +oo pour moi il doit y avoir un problème avec la suite.
2) en utilisant la partie A, déterminer les variations de f et dresser son tableau de variations.
On calcule la dérivée : f'(x)= f'[(x^3+x²+1)/(3x)]
F'(x) = (2x^3+x²-1)/(3x²)
Le signe de cette fraction dépend que du signe du trinôme du numérateur car le dénominateur ( 3x²) est toujours positif sur R
Donc on prend le tableau de variation du A
-oo _________ -1/3 ______0__________ +oo
+ 0 - 0 +
c'est contradictoire car en -oo je trouve +oo
et en 0+ je trouve +oo
pouvez vous me dire ou j'ai fait une erreur merci d'avance.
3) soit I d'abscisse -1 et j d'abscisse 1
vérifier que la droite (IJ) est tangente en J à f(x)
la je ne sais pas du tout comment faire
a+
adeline
2)
f(x) = (1/3)* ( x²+x+(1/x))
f '(x) = (2x³+x²-1)/(3x²)
ATTENTION c'est sur R* et pas sur R
f '(x) est du signe de 2x³+x²-1 sur R*
Et avec ce qui a été fait au début ->
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; 0[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) n'existe pas pour x = 0
f '(x) < 0 pour x dans ]-oo ; X1[ -> f(x) est décroissante.
f '(x) = 0 pour x = X1
f '(x) > 0 pour x dans ]X1 ; oo[ -> f(x) est croissante.
La droite d'équation x = 0 est asymptote verticale à la courbe représentant f(x).
Il y a un minimum de f(x) en x = X1
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3)
Enoncé incomplet.
L'abscisse d'un point n'est pas suffisante pour que le point soit déterminé. Il manque probalement quelque chose dans l'énoncé.
Ou alors,n il y a une indication que je n'ai pas vue.
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Sauf distraction. 
bonjour,
alors j'aurai juste une question qui tue pourquoi c'est R+ pour la derivée et pas R tout court?
sinon pour la derniere question voila ce que j'ai essayé!
pour J
f(1)= 1
pour I
f(-1)= -1/3
donc j'ai rechercher le coeef dir de la droite y= ax+b
a= (Yj-Yi)/(Xj-Xi)= (1+1/3)/(1+1)
a= 4/6= 2/3
donc l'equation s'ecrit y= 2/3x+b
on cherche b:
avec J=1
1= 2/3x+b d'ou b= 1/3
l'equation de la tangente est donc y= 2/3x+1/3
voila ce que j'ai trouvé!
par contre apres il demande de determiner une equation de la tangente T en I à f(x).
voila ce que j'ai fait!
equation d ela tangente c'est:
y= f(I)+f'(I)*(x-I)
y= f(-1) +f'(-1) *( x+1)
y= 1/3+(-2/3)(x+1)
= 1/3-2/3x-2/3
= -2/3x -1/3
voila est ce que c'est bon?
pour etudier la positon de T par rapport a f(x) on etudie le signe de f(x)-T.
c'est ca?
merci d'avance
a+
adeline
Je n'ai pas dit que le domaine pour f '(x) était R+ mais bien R* ce qui est différent.
R* est R privé de 0.
f(x) n'est d'ailleurs lui aussi défini que sur R*
(x = 0 est interdit puisque x est au dénominateur aussi bien pour f(x) que pour f'(x) et il est interdit de diviser par zéro).
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Pour le 3 je ne peux que répéter que l'énoncé n'est pas complet.
Il n'est dit nulle part que I et J sont sur la courbe représantant f(x)
Mais supposons le.
On a alors: I(-1 ; -1/3) et J(1 ; 1)
Equation de (IJ): y = (2/3)x + (1/3)
Il faut encore voir si cette droite est tangente à f(x) en J.
Eq cette tangente à f(x):
y - f(1) = (x - 1)f '(1)
y - 1 = (x-1). (2/3)
y = (2/3)x - (2/3) + 1
y = (2/3)x + (1/3)
Donc la droite y = (2/3)x + (1/3) est bien tangente à la courbe représentant f(x) au point d'abscisse 1.
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Position de T par rapport à f(x):
f(x) - T = (1/3)* ( x²+x+(1/x)) - (2/3)x - (1/3)
f(x) - T = (1/3)x² - (1/3)x - (1/3) + (1/3).(1/x)
f(x) - T = (1/3).(x³-x²-x+1)/x
f(x) - T = (1/3).(x-1)²(x+1)/x
Tableau de signes ->
f(x) - T > 0 pour x dans ]-oo ; -1[ U ]0 ; 1[ U ]1 ; oo[ -> la courbe représentant f(x) est au dessus de T
f(x) - T = 0 pour x = 1 -> la courbe représentant f(x) et T coïncident.
f(x) - T < 0 pour x dans ]-1 ; 0[ -> la courbe représentant f(x) est en dessous de T
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Sauf distraction.
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