Niveau seconde

Aide svp seconde

Posté par Antoine (invité) 28-08-04 à 19:23

Bonjour,
j'ai un petit problème trés simple pour vous je pari, si vous pouriez m'aider svp:

Montrer que le nombre X= ne depend pas de n.

(8^(n+1)+8^n)²
----------------------
((4^n - 4^(n-1))^3

^=puissance

Je vous remercie d'avance Ciao

Posté par re : Aide svp seconde 28-08-04 à 19:37

Bonjour Antoine

Une petite aide pour ton calcul

$4$\frac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$
= $4$\frac{(2^{3(n+1)} + 2^{3n})^2}{(2^{2n} - 2^{2(n-1)})^3}$
= $4$\frac{(2^{3n+3} + 2^{3n})^2}{(2^{2n} - 2^{2n-2})^3}$

Et ensuite, tu factorises le numérateur et le dénominateur par 2⁶ⁿ

Bon courage
Reposte si tu n'y arrives toujours pas

Posté par re : Aide svp seconde 28-08-04 à 19:46

bonjour Antoine

On veut calculer :

$3$\frac{(8^{n+1}+8^{n})^2}{(4^{n}-4^{n-1})^3}$

Commencons par factoriser :

$3$8^{n+1}+8^{n}=8^{n}\times(8+1)=9\times8^{n}=9\times2^{3n}$
donc $3$(9\times2^{3n})^{2}=81\times2^{6n}$

et :

$3$4^{n}-4^{n-1}=4^{n-1}\times(4-1)=3\times4^{n-1}=3\times2^{2n-2}$
donc $3$(3\times2^{2n-2})^{3}=27\times2^{6n-6}$

L'expression devient donc :

$3$\frac{81\times2^{6n}}{27\times2^{6n-6}}=\frac{81}{27}\times\frac{2^{6n}}{2^{6n-6}}$

Or $3$\frac{2^{6n}}{2^{6n-6}}=2^{6n-6n+6}=2^6$

Donc pour conclure :

$3$\frac{(8^{n+1}+8^{n})^2}{(4^{n}-4^{n-1})^3}=\frac{81}{27}\times2^{6}=192$

L'expression ne dépend donc pas de n

Posté par Antoine (invité)re : Aide svp seconde 28-08-04 à 19:57

Trop cool merci a vous deux, merci encore Ciao @++

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