aider moi svp

  ABCD est un tetraede.  
Le plan P est le plan (BCD).
Les points E,F et G sont des points, respectivement, des aretes [AB],[AC]
et [AD] tels que les droites (EF),(EG) et (FG) ne sont pas parallele
au plan P
On cherche l'intersection du plan P et du plan (EFG)

1)Les droites (Ef) et (BC) sont elles coplanaires ? Quel est leur plan
commun ?
2)Les droites (Ef) et (BC) sont elles secantes ? Pourquoi ?
3)Soit Q le point commun à (EF) et (BC)
Pourquoi Q est il un point commun aux plan P et (EFG) ?
4)Determiner , en justifiant son existence , le point R intersection de (EG) et
(BD)
5)Deduire , des questions precedentes , l'intersection des plan P et (EFG)

6)Soit S l'intersection de (FG) et (CD) si elle existes. Existe elle
?
Justifier
7)Demontrer que S est un point de la droite (QR)


On place E , F et G tels que AE=1/4AB , AF=1/2AC et AG=3/4ADSoit le
repere (A;AB;AC;AD)
1)Determiner les coordonnees de E, F et G
2)a)Demonter qu'il existe 2 nombres a et b tels que Em=aEF+bEG
b)Determiner une relation entre x , a , b puis une relations y , a , b et enfin
une relation entre z , a ,b
3)En deduire une relations entre les coordonnees x , y et z d'un
point quelconque du plan (EFG)
4)Soit M(x;y;z) un point du plan (BCD)
a)Demontrer qu'il existe 2 nombres p et q tels que BM=pBC+qBD
b)Determiner une relation entre les coordonnees x , y et z d'un point quelconque
du plan (BCD)
5)Quelle sont les coordonnes du point Q commun à la droite D, intersection
des plans (BCD) et (EFG) , et au plan (ABC) ?
6)Quelles sont les coordonnees du point R communà la droite D et au plan (ABC)
?
7)Quelles sont les coordonnees du point V commun à la droite D et au plan (ACD)
?
8)Verifier l'alignement des points Q, R et V

** message déplacé **

j'ai pratiquement le même sujet, et c'est super dur, si
qqn peut nous aider ca serait super, s'il vous plaît....

bonjour
permettez moi de vous répondre.

ABCD est un tetraede.  
Le plan P est le plan (BCD).  
Les points E,F et G sont des points, respectivement, des aretes [AB],[AC]
et [AD] tels que les droites (EF),(EG) et (FG) ne sont pas parallele
au plan P  

On cherche l'intersection du plan P et du plan (EFG)  

1)Les droites (Ef) et (BC) sont elles coplanaires ? Quel est leur plan
commun ?  
E appartient à AB
F appartient à AC
donc la droite qu'ils engendrent (EF) appartient au plan ABC engendré
par AB et AC ( AB n'est pasparallèle à AC car ABCD est un tétraèdre).
  Ce plan contient la droite BC puisqu'il contient B et C. donc
les deux droite(EF)et(BC) appartiennent au même plan ABC.


2)Les droites (Ef) et (BC) sont elles secantes ? Pourquoi ?  

EF n'est pas parallèle au plan BCD donc il n'est pas parallèle
à sa base (BC,BD).
d'autre par EF appartient au plan ABC donc EF et BD ne sont pas parallèle.
donc EF n'est pas parallèle à BC.
comme EF et BC sont coplanaires donc la droite EF coupe la droite BC.

3)Soit Q le point commun à (EF) et (BC)  
Pourquoi Q est il un point commun aux plan P et (EFG) ?

comme (BC) inclus dans BCD
donc Q appatient à BC implique Q appartient à BCD=(P)

de la même manière:

comme (EF) inclus dans EFG
donc Q appatient à EF implique Q appartient à EFG.

en conclusion Q appartient à P et à EFG .

4)Determiner , en justifiant son existence , le point R intersection de (EG) et
(BD).?

par symétrie du problème la justification de l'existence du point
R intersection de (EG) et (BD) se justifie de la même manière que
celle du point Q intersection des droites (EF) et(BC).
  
5)Deduire , des questions precedentes , l'intersection des plan P et (EFG)
?

d'après la question 3 ) Q appartient à P et (EFG)
d'après la question 4 R appartient à P et (EFG)

soit Pet(EFG) la droite intersection des deux plans P et (EFG).
(Pet(EFG) signifie P inter (EFG) en l'absence du symbole intersection
de deux ensembles)

comme P appartient à Pet(EFG)
et Q appartient à Pet(EFG)

donc la droite (PQ)=Pet(EFG)

6)Soit S l'intersection de (FG) et (CD) si elle existes.
Existe elle ?
  
La justification de S est la même que celle de Q et de R.


7)Demontrer que S est un point de la droite (QR).  

S appartient à la droite FG donc S appartient au plan EFG.

S appartient à la droite CD donc S appartient au plan P=(BCD)

donc S appartient à leur intersection (EFG)etP.

en resumé la droite (EFG)etP contient: Q,R et S.
or la droite (EFG)etP est (RQ) donc S appartient à la droite (QR).


On place E , F et G tels que AE=1/4AB , AF=1/2AC et AG=3/4AD
Soit le repere (A;AB;AC;AD)  
1)Determiner les coordonnees de E, F et G?
  
dans le repère (A;AB;AC;AD) on a:
AE=1/4AB donc les coordonnées de E sont(1/4,0,0)
AF=1/2AC doncles coordonnées de F sont (0,1/2,0)
AG=3/4AD donc les coordonnées de G sont (0,0,3/4)

2)a)Demonter qu'il existe 2 nombres a et b tels que Em=aEF+bEG  

(EF,EG) est libre car EF apprtient au plan ABC et EG appartient au plan ABD
et que les deux plans ABC et ABD ne sont pas confondus (tétraèdre).

donc (E,EF,EG) est un repère du pkan AFG.

si M appartient au plan AFG alors il existe a et b tels que:

EM=aEF+bEG


b)Determiner une relation entre x , a , b puis une relations y , a , b et enfin
une relation entre z , a ,b.

soient (x,y,z) les coordonnées de M dans le repère   (A;AB;AC;AD)

alors AM=xAB+yAC+zAD

d'autre part:

EM=AM-AE=xAB+yAC+zAD-1/4AB=(x-1/4)AB+yAC+zAD
et
aEF+bEG=a(AF-AE)+b(AG-AE)=(a/2)AC-a/4AB+3b/4AD-b/4AB
              = -(a+b)/4AB+(a/2)AC+3b/4AD

comme EM=aEF+bEG

donc (x-1/4)AB+yAC+zAD=-(a+b)/4AB+(a/2)AC+3b/4AD

donc
x-1/4=-(a+b)/4
y=a/2
z=3b/4

donc

x=(1-a-b)/4
y=a/2
z=3b/4

3)En deduire une relations entre les coordonnees x , y et z d'un

point quelconque du plan (EFG)  

comme:

x=(1-a-b)/4  donne 4x=1-a-b
y=a/2      donne a=2y
z=3b/4    donne b=4z/3

en substituant a et b dans 4x=1-a-b

on obtient : 4x=1-2y-4z/3
ssi 12x=3-6y-4z

ssi 12x+6y+4z-3=0

c'est l'équation du plan EFG dans le repère (A;AB;AC;AD)


4)Soit M(x;y;z) un point du plan (BCD) .

a)Demontrer qu'il existe 2 nombres p et q tels que BM=pBC+qBD  

de la même manière qu'en 2.a)
il suffit de dire que (B,BC,BD) est un repère du plan BCD

donc si M apprtient au plan BCD il exite (p,q) éléments de R² tels que
BM=pBC+qBD  .

b)Determiner une relation entre les coordonnees x , y et z d'un point quelconque
  du plan (BCD).

BM=AM-AB=(x-1)AB+yAC+zAD
de même:
pBC+qBD=p(AC-AB)+q(AD-AB)=-(p+q)AB+pAC+qAD

BM=pBC+qBD  ssi (x-1)AB+yAC+zAD=-(p+q)AB+pAC+qAD
                         ssi x-1=-p-q
                               y=p
                               z=q
                         ssi x-1=-y-z
                         ssi x+y+z-1=0
c'est l'équation du plan BCD dans le repère (A;AB;AC;AD)

5)Quelle sont les coordonnes du point Q commun à la droite D, intersection
des plans (BCD) et (EFG) , et au plan (ABC) ?  

le plan BCD a pour équation: x+y+z-1=0
le plan EFG a pour équation: 12x+6y+4z-3=0
le plan ABC a pour équation: z=0

l'intersection de ces trois plans donne à résoudre le système:
x+y+z-1=0
et
12x+6y+4z-3=0
et
z=0

soit donc
x+y=1
4x+2y=1
z=0

la résolution de ce système donne:
x=-1/2
y=3/2
z=0

Q(-1/2,3/2,0)

6)Quelles sont les coordonnees du point R communà la droite D et au plan (ABC)?

je croit ici qu'il ya une erreur dans l'énoncé. Il s'agit
plutôt du plan ABD que du plan ABC. Car sinon la question est résolue
en 5) et il s'agit du point Q et non pas de R.

donc supposons que c'est le plan ABD.

La droite D a pour équations:
x+y+z-1=0
et
12x+6y+4z-3=0

la plan ABD a pour équation : y=0
donc
x+z=1
12x+4z=3

la résolution de ce système donne:

x=-1/8 , y=0 et z=9/8

donc les coordonnées du point R sont (-1/8,0,9/8)

7)Quelles sont les coordonnees du point V commun à la droite D et au plan (ACD)

Ici :
La droite D a pour équations:
x+y+z-1=0
et
12x+6y+4z-3=0

la plan ACD a pour équation : x=0

donc
y+z=1
6y+4z=3
x=0

x=0 , y=-1/2 et z=3/2

les coordonnée du point V sont (0,-1/2,3/2)


8)Verifier l'alignement des points Q, R et V  ?

QR=AR-AQ=(-1/8AB+9/8AD)-(-1/2AB+3/2AC)
     = 3/8AB-3/2AC+9/8AD

QV=OV-OQ=(-1/2AC+3/2AD)-(-1/2AB+3/2AC)
     = 1/2AB-2AC+3/2AD
donc 3/4QV=3/8AB-3/2AC+9/8AD

donc QR=3/4QV

donc les trois points Q, R et V sont alignés.

voila

bon courage