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Aidez moi SVP c est pour demain matin

Posté par sara_ab52 (invité) 09-09-05 à 23:59

Bonsoir bon est ce que vous pouvez m'aider j'ai plein d'exercice pour demin matin et je suis perdue je ne sais plus comment faire   merci d'avance!!

Calculez les limites suivantes:

1°) lim 1+sinx-x quand la valeur absolu de x tend vers +00(l'infini)

2°) lim 1-sinx+cosx/1-sinx-cosx quand x tend vers /2

3°) lim x-tan px/x-tan qx quand x tend vers 0 tq: (p,q)[sup][/sup]2

Posté par
Stickyre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 09-09-05 à 23:59

Demain matin, c'est dans 1min

Sticky

Posté par
Tom_Pascal Webmasterre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 00:07

Bonsoir,
Je ne sais pas si tu connais le "théorème des gendarmes" qui consiste à faire un encadrement de la fonction dont tu souhaite étudier la limite par deux autres fonctions plus faciles à étudier...

-1 sin x 1
0 1 + sin x 2
-x 1 + sin x -x 2-x

lim (-x) = +
|x|+

lim (2-x) = +
|x|+

Donc :
lim (1 + sin x -x) = +
|x|+

Posté par sara_ab52 (invité)re : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 00:23

En fait merci Tom_Pascal oui je connais le théorème des gendarmes et je n'y avais pas penser du tout merci beaucoup

Posté par sara_ab52 (invité)re : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 00:29

Bon personne ne peut m'aider sur la 2°) et la 3°) question

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 10:09

2°)
En respectant les règles de priorité des opérations apprises au collège :
1-sinx+cosx/1-sinx-cosx = 1-\sin x +\frac{\cos x}{1}-\sin x-\cos x=2-2\sin x\to 0 quand x\to\frac{\pi}{2}

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 10:13

Par une méthode non connue en Terminale

lim (x-> Pi/2) [(1-sinx+cosx)/(1-sinx-cosx)] est de le forme 0/0 --> Règle de Lhospital
= lim (x-> Pi/2) [(-cosx-sinx)/(-cosx+sinx)] = -1
-----

lim (x-> 0) (x-tan(px))/(x-tan(qx)) est de le forme 0/0 --> Règle de Lhospital
= lim (x-> 0) (1- p/cos²(px))/(1 - q/cos²(qx)) = (1-p)/(1-q)
-----
Tu as les réponses, il faut maintenant arriver à trouver cela avec ce qui est connu en Terminale.
-----

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 10:56

Il y a au moins 2 méthodes accessibles en Terminale.

(1) Reconnaître des taux d'accroissement

On note f(x)=1-\sin x+\cos x et g(x)=1-\sin x-\cos x
\frac{1-\sin x+\cos x}{1-\sin x-\cos x}=\frac{f(x)}{g(x)}
=\frac{f(x)-f(\pi/2)}{x-\pi/2}\frac{x-\pi/2}{g(x)-g(\pi/2)}\to \frac{f'(\pi/2)}{g'(\pi/2)}=\frac{-1}{1}=-1

(2) Utiliser les formules trigonométriques

\frac{1-\sin x+\cos x}{1-\sin x-\cos x}=\frac{1+\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{1-\sqrt{2}\cos(x-\frac{\pi}{4})}
=\frac{\cos\frac{\pi}{4}+\cos(x+\frac{\pi}{4})}{\cos\frac{\pi}{4}-\cos(x-\frac{\pi}{4})}
= \frac{2\cos(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})\cos\frac{x}{2}}{-2\sin\frac{x}{2}\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}=-\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\frac{\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}{\sin(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}
=-\frac{1}{\tan\frac{x}{2}}\to -1

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : Aidez moi SVP c est pour demain matin 10-09-05 à 11:46

De toute façon, sara_ab52, il n'y a, à ma connaissance que 5 méthodes simples en Terminale pour lever les indéterminations :
(si quelqu'un en voit une autre, merci de le signaler)

(1) factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré

\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{|x|}{x}\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1}\to 1 quand x\to +\infty

(2) reconnaître le taux d'accroissement d'une fonction

\frac{e^x-1}{x}=\frac{e^x-e^0}{x-0}\to \exp'(0)=\exp(0)=1 quand x\to 0

(3) multipler par la quantité conjuguée (surtout en cas de racines)

\sqrt{x^2+1}-x=\frac{(\sqrt{x^2+1}-x)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}+x}\frac{x^2+1-x^2}{\sqrt{x^2+1}+x}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0 quand x\to +\infty

(4) reconnaître une limite connue

x^2\sin{\frac{2}{x^2}}=2\frac{\sin{\frac{2}{x^2}}}{\frac{2}{x^2}}\to 2 quand x\to +\infty

(5) utiliser les formules trigonométriques


Pour la limite 2), (1) (3) (4) ne semblent pas bien fonctionner. Restent (2) et (5) qui permettent d'arriver facilement à lever l'indétermination.

Nicolas


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