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aie
Posté par djibril1515 (invité)
Bonjour,
Un petit peu d'aide svp......
Ensemble E ={n appartenant N*, il existe (x,y) appartenant à N²; n=x²+y²}
et F={n appartenant à N*; dans la décomposition en facteurs premiers de n, les nombres premiers impairs à un exposant impair sont tous de la forme 4k+1}
1) Pour tous nombres x, y, x' et y' factoriser (xx'+yy')²+(xy'-x'y)² ( on pourra utiliser des complexes bien choisis ).
En déduire que E est stable pour la multiplication, puis que F inclu dans E.
2) n appartenant à E de la forme n=x²+y² (x,y appartenant à N)
On suppose que PGCD(x,y)=1. Soit p un diviseur premier impair de n. Montrer qu'il existe a et b appartenant a Z tels que by=1-ap. En déduire que p divise b²x²+1
3) On ne suppose plus nécessairement que PGCD(x,y)=1. Soit p un diviseur premier impair de n dont l'eposant dans la decomposition en facteurs premiers de n est impair. Montrer que p est de la forme 4k+1.
4) Conclure que E=F
5) Montrer que n=280917000 s'écrit sous la forme n=x²+y² (x,y appartenant a n); on donnera deux entiers x et y correspondant.
Merci d'avance