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Aire maximale d'un triangle rectangle.

Posté par
axeldc
16-10-11 à 13:15

Bonjour,

J'ai un exercice à faire pour la semaine prochaine et je n'y arrive vraiment pas. Pourtant, ça m'a l'air super simple :

- Parmi les triangles rectangles d'hypoténuse C, quel est celui dont l'aire est la plus grande ?

Je sais que la réponse est le triangle rectangle isocèle.
J'ai supposé qu'il fallait dérivé la formule de l'aire d'un triangle, cherchez quand elle est égal à 0 et espérer tomber sur a=b.

Malheureusement, je tombe sur a=-b :
(AB/2)' = (AB)'2 - (2)'(AB)  /   4
= (A)'B+(B)'A - O  / 2
= (B+A)/2

(B+A)/2 = O quand B+A = 0, B+A = 0 quand A = -B.

J'ai aussi essayé en remplaçant le a ou le b par √(c^2-a^2)  mais je tombe toujours pas sur une bonne réponse.

Merci d'avance à ceux qui m'aideront !

Posté par
Glapion Moderateur
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 13:26

Bonjour, si x et y sont les cotés de ce triangle, on a donc C²=x²+y² y=(C²-x²)
l'aire vaut A=xy/2=x\sqrt{C^2-x^2}/2
Pour étudier le maximum de cette fonction, il faut la dériver :
A'=\sqrt{C^2-x^2}/2 - x^2/2\sqrt{C^2-x^2}=((C^2-x^2)-x^2)/2\sqrt{C^2-x^2}=(C^2-2x^2)/2\sqrt{C^2-x^2}
Ça s'annule pour x²= C²/2 (donc x=C2/2) et y=(C²-x²)=C²/2 donc y=C2/2 aussi et donc x=y et on tombe bien sur le triangle rectangle isocèle

Posté par
littleguy
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 13:32

Bonjour

Pour aller dans le sens de ta méthode, et en notant x et y les mesures des côtés :

x²+y² = c² donne y² = c²-x²

Or A = xy donc  A=x\sqrt{c^2-x^2}

A'(x)= (1)(\sqrt{c^2-x^2})+(x)(\dfrac{-2x}{2\sqrt{c^2-x^2}})

Il vient rapidement :  A'(x)=\dfrac{-2x^2+c^2}{\sqrt{c^2-x^2}}

La valeur clé pour x est donc \dfrac{c}{\sqrt{2}}

à partir de x²+y² = c² tu en déduis y et tu conclus.

Sauf faute de frappe.

Posté par
littleguy
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 13:33

Pas vu la réponse de Glapion. Désolé.

Posté par
Glapion Moderateur
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 13:40

Bonjour litleguy .Pas de problème, on trouve pareil en plus ! A une minute d'écart seulement. Pas toujours facile d'être rapide le dimanche matin

Posté par
littleguy
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 13:56

En plus j'ai oublié de diviser par 2. Bon, on passe.

Posté par
axeldc
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 14:00

Littleguy, je penses que tu as fait une erreur, tu as pas divisé la formule de l'aire par deux. Du coup il manque quelque chose dans tes calculs de dérivés.

Et Glapion, je comprends pas la fin de ton raisonnement : j'ai trouvé le même x que toi, mais ensuite le rapprochement avec y je le comprend pas. Tu as x = √2C/2  et y = √(c²-x²). ça fait y=√(c²- (√2C/2))   et je vois pas comment tu retombes sur √2C/2 = y..

Posté par
Glapion Moderateur
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 14:05

c'est pas c²-x c'est c²-x² sous la racine. Donc c²-c²/2=c²/2

Posté par
axeldc
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 14:07

-_- Faut vraiment que je fasses attention quand je bosses !

Merci beaucoup, je l'avais trouver et je bloquais sur une faute de frappe, merci de me l'avoir montrée

Posté par
littleguy
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 16-10-11 à 14:23

Une démonstration plus "esthétique" en remarquant que (x-y)² = x²+y²-2xy donne

2xy = x²+y²-(x-y)²

donc 2xy est toujours inférieur à x²+y² et l'égalité a lieu lorsque x = y.

Sauf erreur

Posté par
unjourgenie
Bonjour , voila je suis de la génération suivante et... 23-03-14 à 19:38

je sais que ce poste date de 2011 mais je suis confronté aux même exercices et je ne sais pas si c'est stupide ou non de posé cette question, mais pourquoi lorsque Glapion et littleguy font leur dérivé , ils ignorent le  
terme "Cx" qui devrais être additionné aux autres termes du numérateur (c²-2x²) du résultat de la dérivé?

Merci de m'aidé c'est important :'(

Posté par
Glapion Moderateur
re : Aire maximale d'un triangle rectangle. 23-03-14 à 21:37

je n'ai pas compris où tu vois un terme Cx dans A=xy/2=x\sqrt{C^2-x^2}/2 ?

on a dérivé la fonction, on a trouvé (C^2-2x^2)/2\sqrt{C^2-x^2} et on a annulé la dérivée. je ne vois pas ce que tu veux additionner à c²-2x² ?



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