Bonjour

Si f n'est pas monotone, tu peux simplement dire :

Ensuite, la continuité de    donne  

Ce serait même la continuité de    (et de  )  sur    qui justifie que :

Hmm ouais d'accord pour la notation mais il me semble que ton premier message ne fonctionne pas, dans le cas d'une fonction croissante puis décroissante ou l'inverse comme x²+4x+4, on peut avoir f(b) = f(b+h), si on prend supposons a = 0,h > b > a , si on prend b = 1.5, et h = 3, ça ne fonctionne pas non ?

Est-ce que on pourrait pas prendre ça dans le cas d'une fonction monotone sur I seulement et continue et même défini sur I. Et comme j'ai dis, si on prend la borne supérieur, b et qu'on prend l'air de [a;b[ c'est la même chose que [a;b], et donc je me dis que notre inégalité au dessus même si f(b+h) n'est pas défini , il le sera à un moment quand h tendra vers 0 et notre inégalité sera vrai au sens large ?

C'est pas envisageable ça ?

Quoique même vaudrait peut-être mieux aussi utiliser : dans notre inégalité pour vraiment laisser la possibilité que f(b) soit possible avec lim h tend vers 0. ?

C'est juste des idées

salut

si on travaille sur l'intervalle [a, b[ par exemple il semble raisonnable que que quand on écrit b + h alors h < 0 et que si on s'impose h > 0 alors on utilisera b - h

ensuite pour tes valeurs de 17h52 ne pas oublier que h est supposé "petit" par rapport à b (quelque soit b) puisqu'au final on va le faire tendre vers 0

enfin pour cette histoire de monotonie tout le pb est que sans cette monotonie alors les inégalités pourraient changer de sens à tout va ... et qu'on ne peut faire mieux en terminale avec les outils de terminale ...

pour revenir plus formellement au pb et avec un x plutôt qu'un b peu pertinent (à voir aussi ce qui est donné au départ)

si alors et sans monotonie de f ce nombre peut ne pas garder un signe constant et donc on ne pourrait pas écrire tes inégalités toujours dans un même sens

parce qu'on voudrait pouvoir écrire en gros

sauf qu'on a un problème du fait que ... qu'on peut régler dans une certaine mesure en s'imposant h > 0 ou h < 0 ...

faudrait que je revois la démo de Term pour voir exactement où le pb pèche ...

tu as raison...
Mais alors on peut écrire :



les écritures sont un peu lourdes mais j'espère qu'on s'y retrouve  

La continuité assure que ces inf et sup sont bien définies, car les fonctions continues sont bornées (et atteignent leurs bornes, on pourrait donc utiliser max et min) sur tout intervalle fermé borné
La continuité assure aussi que la limite est f(b)

certes mais en terminale on ne parle pas de inf et sup ...

Mais l'objectif pour moi c'est juste de démontrer que pour une fonction strictement monotone sur I, on a l'aire avec l'intégrale. Donc sur I = [a;b[

Avec ducoup :



Ça c'est pas possible ? C'est vraiment juste montrer que jusqu'au borne de I ou f est strictement croissante on a bien l'aire avec une integrale et ducoup après c'est terminé pour une fonction non monotone c'est pour ça.

Merci pour vos réponses

le pb c'est que tu dis que I = [a, b[ donc f n'existe pas à priori en b et on ne peut pas parler de f(b) ...

si I = [a, b] alors ce que tu écris me semble convenable avec h < 0 ...

Euh oui pardon I = [a;b], ducoup ça serait correct cette histoire de double limite ?

en fait je ne pense pas que ça aille ... parce que ton problème est mal posé ...

il faudrait le poser plus formellement comme je l'ai fait à 21h02

D'accord mais je vois pas trop comment le poser très clairement et rigoureusement pour pas passer pour quelqu'un de bête devant le grand oral ... ^^ si c'est possible que tu détailles un peu plus ça serait sympa ou juste poser le début proprement et je continuerai ^^.

ben par exemple

Citation :
Donc , primitive qui s'annule en a.

Ah oui ! Effectivement c'est plus propre, donc,

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur , et , on a donc la primitive de noté , qui s'annule en sur via :



Prenons , et on cherche à montrer que , où   est la fonction représentant l'aire entre l'axe des abscisses et la courbe représentative de , bornée par les droites d'équations : .

Soit un réel strictement positif tel que , on a donc comme est strictement montone :



Dans le cas ou est strictement croissante, sinon l'inverse. On a par conséquent pour strictement croissante  :



On fait tendre pour avoir la dérivé de S(x) :



Donc :
On sait que , car la surface serait nulle.
Donc est la primitive de qui s'annule en , soit :



Le raisonnement est le même pour une fonction strictement décroissante sur I, si , ou est la borne de définition de f, on a bien l'aire de à par limite.

L'intégrale de à représente donc l'aire sous une courbe représentative d'une fonction et l'axe des abscisses.

Par conséquent comme on a la relation :

, l'aire sous une courbe représentative d'une fonction continue et pas forcément monotone est l'intégrale de à .

À remplacer au lieu de mon dernier paragraphe au message d'avant ^^,

Vous en pensez quoi ? Je dois le présenter si jamais donc hésitez pas à critiquer ^^.