Niveau Reprise d'études

Al Kashi

Posté par
Tomy01 05-10-16 à 14:13

Bonjour,
Je cherche à démontrer la formule d'Al Kashi, et la démonstration que l'on me propose dit que, pour un triangle ABC, $\|\vec AC + \vec CB \|^2 = ( \vec AC+\vec CB,\vec AC+\vec CB) = ( \vec AC,\vec AC),(\vec AC,\vec CB)+(\vec CB,\vec AC)+(\vec CB,\vec CB)$
Par les parenthèse, je veux indiquer que ce sont des produits scalaires.
Je ne vois pas comment on arrive cette expression, pourriez-vous m'aider ?
Merci par avance !

Posté par re : Al Kashi 05-10-16 à 14:20

Bonjour Tomy01

Le produit scalaire est une forme bilinéaire. Donc, par définition :

$\blue ||x+y||^2=<x+y, x+y> = <x,x> + <x,y> + <y,x>+<y,y>=||x||^2 + 2<x,y> +||y||^2$

Posté par re : Al Kashi 05-10-16 à 14:24

Ou si tu veux détailler un peu :

$\blue <x+y,x+y> = <x,x+y> + <y,x+y>$

$\blue <x,x+y> = <x,x> + <x,y>$

$\blue <y,x+y> = <y,x> + <y,y>$

C'est une distributivité par rapport aux deux membres du produit scalaire.

Posté par re : Al Kashi 05-10-16 à 14:32

Merci pour la réponse rapide !! Il y a donc une faute dans mon énoncé entre les 2 premières parenthèses de mon résultat non ? Ce n'est pas une virgule mais un + qu'il devrait y avoir ?

Posté par re : Al Kashi 05-10-16 à 14:33

Oui, mais j'ai rectifié

Posté par re : Al Kashi 05-10-16 à 14:35

Oui, oui en effet, j'ai bien vu que dans ton message cette faute n'était pas là ! Merci pour l'éclaircissement en tout cas ! Bonne journée !