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Niveau Reprise d'études
algèbre de boole
Posté par Bilalh
Bonsoir,
Il y un exemple d'algèbre de Boole que je ne comprends pas :
B^n désigne l'ensemble des mots binaires de longueur n. On ordonne B^n par la relation :
a1a2...an b1b2...bn si ap
bp quel que soit p avec 1
p n.
Je ne comprends pas comment la relation fonctionne, comment par exemple à partir du plus petit élément 00 de l'ensemble B^2 on obtient ses deux majorants directs 01 et 10 ?
Merci !
Bonsoir,
Ce n'est par un ordre total.
Par exemple, les majorants de 00 sont effectivement 01, 10 et 11
01 et 10 ont pour majorant 11
Mais il n'y a pas d'ordre entre 01 et 10.
Oui j'ai le diagramme de hasse de cette relation sous les yeux et je vois bien que 00 a pour majorant 01, 10 et 11 et que 01 et 10 ont pour majorant 11 mais je ne comprends pas tout simplement le lien logique entre les éléments et leurs majorants, comment je passe d'un élément à son majorant ? Comment comprendre ce lien juste avec cette phrase : "a1a2...an b1b2...bn si ap
bp quel que soit p avec 1
p n"
Tout simplement, prenant par exemple n = 3 :
{a1a2a3 
b1b2b3} si et seulement si {a1 b1} ET {a2 b2} ET {a3 b3}
Par exemple, en binaire :
tous les triplets a1a2a3 sont 000
111 est supérieur à tous les triplets
101 est supérieur à 100
101 et 010 ne sont pas comparable (l'ordre n'est pas total)
Ok merci, je comprends la relation mais pour moi la manière dont la relation est définie est bizarre car à aucun moment il n'y a le comparateur "supérieur ou égal" entre ap et bp, je veux dire que si elle aurait écrite de cette manière, j'aurai compris tout de suite : "a1a2...an b1b2...bn si ap
bp quel que soit p avec 1 p n" alors que dans : "a1a2...an b1b2...bn si ap
bp quel que soit p avec 1
p n" la relation entre ap et bp pourrait très bien être
, ou bien encore un critère de divisibilité..
Bonjour,
As-tu réalisé que ton algèbre de Boole est (isomorphe à) l'algèbre de Boole des parties de {1,...,n} et que dans cet isomorphisme l'ordre sur les mots binaires correspond à l'inclusion ?
En effet non , tout ce que j'ai dans le cours est ceci : "Un treillis à la fois distributif et complémenté s'appelle une algèbre de Boole. Pour l'instant il faut voir une algèbre de Boole comme un ensemble ordonné dont la relation d'ordre possède des propriétés particulières." Et ensuite il donne l'exemple que j'ai posté plus haut
Cette approche me laisse un peu perplexe.
L'isomorphisme auquel je faisais allusion est celui qui envoie le mot binaire sur la partie de {1,...,n} formée des
tels que
.