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Niveau Reprise d'études
algèbre de boole
Posté par Bilalh
Bonjour,
Je suis en train de lire une démonstration de l'associativité de V dans un treillis :
"Posons t = x V (yVz); c'est un majorant de yVz. Il majore donc x et y et , comme il majore x, c'est un majorant commun de x, y et z.
Réciproquement tout majorant commun à x, y et z majore y et z, il majore donc yVz, et comme il majore aussi x, il majore x V (yVz).
Nous voyons donc que x V (yVz) est le plus petit élément parmi les majorants commun à x , y et z.
De façon analogue nous montrerions que (x Vy) V z est lui aussi le plus petit élément parmi les majorants communs à x, y et z.
Par conséquent x V (yVz) = (x Vy) V z."
Je ne comprends pas comment on arrive à la conclusion que x V (yVz) est le plus petit élément parmi les majorants commun à x , y et z. Tout ce que je comprends c'est que x V (yVz) majore x, y et z , et la réciproque qui dit que x, y et z ont un majorant commun qui est x V (yVz).
Merci !
je sais ce qu'est l'associativité ! mais sans définition précise des notations utilisées c'était incompréhensible !
Un treillis est un ensemble ordonné pour lequel je considère x et y deux éléments quelconques de cet ensemble, si leurs majorants communs admettent un plus petit élément z, alors l'ensemble des majorants communs à x et y coïncide avec l'ensemble des majorants de z.
Raisonnement identique pour l'ensemble des minorants
et donc "être le plus petit des majorant", ça veut dire :
1 : être un majorant
2 : être plus petit que tout autre majorant
donc si tu établis que c'est un majorant et qu'en plus n'importe quel autre majorant lui est supérieur, alors c'est bien le plus petit...
pour être rigoureux je pense qu'il faut plutôt parler de "borne inférieure des majorants" que de "plus petit des majorants"
une borne inférieure n'est pas la même chose que le plus petit élément qui n'existe pas toujours.
dans ta définition de "treillis" tu oublies un point important : tout couple d'éléments admet une borne inférieure et une borne supérieure
donc l'idée est de démontrer que
x V (y V z) = (x V y) V z
en montrant qu'ils sont tous les deux égaux à la borne supérieure de {x;y;z}
c'est à dire
1 : qu'ils majorent x, y et z
2 : que tout autre majorant de x, y et z les majore
Ok c'est bon j'ai compris , merci !
Oui il faut que je potasse encore un peu les majorants, maximums et bornes
Citation :
pour être rigoureux je pense qu'il faut plutôt parler de "borne inférieure des majorants" que de "plus petit des majorants".
pour être rigoureux je pense qu'il faut plutôt parler de "borne inférieure des majorants" que de "plus petit des majorants".
Non. Dans un ensemble ordonné, la borne supérieure de deux éléments
Exemple : pour la relation de divisibilité sur